第15讲 对数的概念与运算讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第15讲 对数的概念与运算 1.理解对数的定义，掌握指数式和对数式的双向转化，明确对数底数、真数的取值限制。 2.熟记对数常用特殊值，熟练运用对数三大基础运算法则完成拆分、合并化简。 3.掌握换底公式及其多个变形推论，能够实现不同底数对数的换算，适配混合对数计算。 4.梳理定义域、符号、公式混用等高频易错点，可完成对数代数式求值、整体代换类大题 一、对数的有关概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数， log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 二、对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N； logaax＝x(a>0，且a≠1)． 三、对数的性质 1．1的对数为零． 2．底的对数为1. 3．零和负数没有对数． 四、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 五、换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 考点一、对数的概念判断与求值 例1　(1)(多选)下列说法正确的有（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 【答案】ACD 【分析】根据对数的定义即可判断答案. 【详解】由对数的定义可知A,C,D正确； 对B，当且时，才能化为对数式. 故选：ACD. (2)使对数有意义的的取值范围为　　 A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】根据对数成立的条件，建立不等式即可得到结论． 【详解】要使对数有意义，则， 解得， 故选：B． （3）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 【答案】B 【分析】结合对数性质可逐一判断各选项. 【详解】对A，若，则均无意义，故A错； 对B，若，说明，则B项正确； 对C，若，则，不一定能推出，故C错； 对D，若，则无意义，故D错. 故选：B 跟踪训练1　(1)使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由式子有意义，则满足，解得且. 故选：C. （2）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）对数式中，真数是正数，据此求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得，即的取值范围为. （2）依题意，，解得或，即的取值范围为. （3）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出的值，再求即可. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 考点二、指数式与对数式的互化及应用 例2　(1)将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. (2)求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 跟踪训练2　(1)将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. (2)求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 考点三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3　(1)计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【详解】. 故选：D (2)求值：__________． 【答案】 【分析】利用分数指数幂、分数指数幂与根式的互化和对数运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得： . 故答案为：. 跟踪训练3 (1)计算（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂运算以及对数的定义分析求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. （2）关于的方程的解集为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. （3）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 【答案】B 【分析】根据指数幂运算结合对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：B. 考点四、对数运算性质的应用 例4 (1)计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． (2)计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 跟踪训练4 (1)（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据对数的运算法则，准确化简、运算，即可求解； 【详解】解：（1）由指数幂的运算公式，可得 又由对数的运算公式，可得： ， 所以. （2）由对数的运算公式，可得： (2)（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题设，，； （2）由题设，且，故， 所以，可得或（舍），故. （3）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算； （2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算； （3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 考点五、对数换底公式的应用 例5 (1)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． (2)设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 跟踪训练5 （1）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. （2）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C （3）（1）计算：； （2）已知，，试用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （2）依题意可得，，再根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2）因为，，所以，， 所以 . 考点六、对数的综合应用 例6 (1)若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. （2）若，且，则______． 【答案】3 【分析】将化为对数式，根据题干得到关于的方程，求解方程即可. 【详解】由可得，， 则， 因为，且， 所以， 即得，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：3. 跟踪训练6 （1）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. （2）已知及，则________________． 【答案】11 【分析】先使用换元法将两个等式进行化简，再构造函数找到两个等式的联系即可. 【详解】因为，所以，令， 则，因此，因为，所以， 令，则，故， 我们构造函数，因为为一次减函数，为增函数， 所以为增函数，因此为增函数，且， 所以的零点只有一个，所以，故，即， 解得 （3）设，求证： 【答案】证明见解析 【解析】变换得到，，，再利用对数的运算法则得到证明. 【详解】，故， 故，，，， ，故. 一、单选题 1．计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 2.已知，，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】由题意得，，所以. 3.若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意得， 则. 4．设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，取特殊值逐一计算判断即可. 【详解】对于①②③，由，令， ，①错误； ，②错误； ，③错误； 对于④，取，，④错误， 因此①②③④都错误. 5．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用指数对数互换，解出的值，利用对数的运算法则计算即可. 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 6．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 二、多选题 7．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 8．下列各式正确的是（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由， 所以，故C错误； 对于D，由 ，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 10．已知，，，则______． 【答案】8 【分析】根据结合换底公式可得或，由两边取对数，再结合换底公式可得，进而得到或，进而求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 四、解答题 11．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)4 (2) (3) (4) (5) 【分析】根据对数的运算公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式. （3）原式 ； （4）原式； （5）原式＝. 12．化简求值（需要写出计算过程） (1). (2)设，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用对数的运算性质、指数幂的运算性质以及对数恒等式分别化简各项，再进行计算； （2）先根据已知条件用对数表示出和，再代入进行化简求值. 【详解】（1） ； （2）由题意，，根据指对互换公式，可得，， 所以，， 所以. 13．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）利用对数和指数的运算性质可计算出所求代数式的值； （2）利用对数和指数的运算性质可计算出所求代数式的值； （3）利用对数和指数的运算性质、换底公式可计算出所求代数式的值. 【详解】（1） （2） （3） 14．（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 【答案】（1）①；②证明见解析； （2）①；② 【分析】（1）①直接写出换底公式；②利用对数换底公式证明； （2）①利用换底公式求值；②由已知得，再利用换底公式和对数运算性质求值. 【详解】（1）①对数的换底公式：； ②； （2）①； ②因为，则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 对数的概念与运算 1.理解对数的定义，掌握指数式和对数式的双向转化，明确对数底数、真数的取值限制。 2.熟记对数常用特殊值，熟练运用对数三大基础运算法则完成拆分、合并化简。 3.掌握换底公式及其多个变形推论，能够实现不同底数对数的换算，适配混合对数计算。 4.梳理定义域、符号、公式混用等高频易错点，可完成对数代数式求值、整体代换类大题 一、对数的有关概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数， log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 二、对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N； logaax＝x(a>0，且a≠1)． 三、对数的性质 1．1的对数为零． 2．底的对数为1. 3．零和负数没有对数． 四、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 五、换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 考点一、对数的概念判断与求值 例1　(1)(多选)下列说法正确的有（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 (2)使对数有意义的的取值范围为　　 A．且 B． C．且 D． （3）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 跟踪训练1　(1)使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， （2）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. （3）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二、指数式与对数式的互化及应用 例2　(1)将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) (2)求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 跟踪训练2　(1)将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). (2)求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 考点三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3　(1)计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 (2)求值：__________． 跟踪训练3 (1)计算（   ） A． B．7 C． D． （2）关于的方程的解集为______． （3）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 考点四、对数运算性质的应用 例4 (1)计算： (1)； (2)已知，求的值． (2)计算下列各题： (1)； (2). (3). 跟踪训练4 (1)（1）； （2）. (2)（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. （3）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 考点五、对数换底公式的应用 例5 (1)若，则（    ） A． B． C． D． (2)设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 跟踪训练5 （1）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． （2）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． （3）（1）计算：； （2）已知，，试用，表示. 考点六、对数的综合应用 例6 (1)若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． （2）若，且，则______． 跟踪训练6 （1）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （2）已知及，则________________． （3）设，求证： 一、单选题 1．计算（   ） A．14 B．49 C． D． 2.已知，，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3.若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．设，下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 6．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 二、多选题 7．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列各式正确的是（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 三、填空题 9．已知，，则________．（用，表示）． 10．已知，，，则______． 四、解答题 11．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 12．化简求值（需要写出计算过程） (1). (2)设，求的值. 13．计算： (1) (2) (3) 14．（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式； ②请依据对数的换底公式证明. （2）请分别计算下列两小问中x，y的值： ①； ②实数a，b满足. 学科网（北京）股份有限公司 $