第15讲 对数运算 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第15讲 对数运算 目录 一、对数的概念 1 二、对数的运算 1 题型1 对数的概念 3 题型2指数式与对数式的互化 4 题型3对数运算性质的应用 5 题型4换底公式的应用 7 题型5对数与指数的综合应用 8 题型6对数运算的实际运用 9 01 学习新知 一、对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3．指数与对数的互化 当时，. 4．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 二、对数的运算 1．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3）． 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 2．对数换底公式 若，且，则(，且)． 3．由换底公式推导的重要结论 （1）.（2）.（3） 02 经典题型 题型1 对数的概念 1. 若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞) C.(-∞，2) D.(2，+∞) 答案　B 解析　要使对数式log(t-2)3有意义， 需解得t>2，且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞). 2. 对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 3. 若对数式log(t-2)(t-3)有意义，求实数t的取值范围. 解　由题意可得 解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，+∞). 4. 给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④， 故选：C. 题型2指数式与对数式的互化 5. (课本例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54=625； (2)2-6=； (3)16=-4； (5)lg 0.01=-2； (6)ln 10=n. 解　(1)log5625=4； (2)log2=-6； (3)lo=16； (5)10-2=0.01； (6)en=10. 6. (课本例2)求下列各式中x的值： (1)log64x=-； (2)logx8=6； (3)lg 100=x； (4)-ln e2=x. 解　(1)因为log64x=-，所以x=6 (2)因为logx8=6，所以x6=8.又x>0，所以x= (3)因为lg 100=x，所以10x=100，10x=102，于是x=2. (4)因为-ln e2=x，所以ln e2=-x，e2=e-x，于是x=-2. 7. 求下列各式中x的值： (1)-lg x=2； (2)logx=-3； (3)x=lo27； (4)ln=x. 解　(1)由-lg x=2得lg x=-2，∴x=10-2=. (2)由logx=-3得x-3==4-3，∴x=4. (3)由x=lo27得=27，即3-x=33，∴-x=3，即x=-3. (4)由ln=x得ex=即ex=e-2，∴x=-2. 8. 若，，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，，则，， 所以．故答案为：. 9. 求下列各式中x的值： (1)； (2). 【答案】(1)16(2)2 【详解】（1）由可得，； （2）由可得，，因且，故. 题型3对数运算性质的应用 10. 求下列各式的值. ①log981=　　　　. ②log0.41=　　　　. ③ln e2=　　　　.  答案　①2　②0　③2 解析　方法一　①设log981=x， 所以9x=81=92， 故x=2，即log981=2. ②设log0.41=x，所以0.4x=1=0.40， 故x=0，即log0.41=0. ③设ln e2=x，所以ex=e2，故x=2，即ln e2=2. 方法二　①log981=log992=2.②log0.41=0.③ln e2=2. 11. 计算：（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】 . 故选：D. 12. = ． 【答案】 【详解】 故答案为： 13. 已知，则 ． 【答案】 【详解】由题意，可得， 又， 故， 故答案为：． 14. 已知，，用表示. 【答案】 【详解】因为，又，， 所以. 题型4换底公式的应用 15. 计算：(log43+log83)(log32+log92)； 解　(1)原式= ==. 16. 已知，，则用，表示 【答案】 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 17. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ； （2） . 18. 求值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)0 【详解】（1）原式. （2）. 题型5对数与指数的综合应用 19. 已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由，可得，则， 则. 故选：D. 20. 若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 故选：A 21. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， ，故. 故选：A. 22. 已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 题型6对数运算的实际运用 23. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为 lg E=4.8+1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)？ 解　设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2. 由lg E=4.8+1.5M，可得lg E1=4.8+1.5×9.0，lg E2=4.8+1.5×8.0. 于是，lg=lg E1-lg E2=(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5. 利用计算工具可得，=101.5≈32. 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 24. 某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　C 解析　设至少需要过滤n次，则0.02×≤0.001，即. 所以nlg≤lg即n(lg 2-lg 3)≤-lg 20， 即n≥≈7.4.又n∈N，所以n≥8. 所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $第15讲对数运算 目录 一、对数的概念 1 二、对数的运算… 题型1对数的概念… .3 题型2指数式与对数式的互化 .4 题型3对数运算性质的应用 5 题型4换底公式的应用.… ,7 题型5对数与指数的综合应用… 8 题型6对数运算的实际运用9 01 学习新知 一、对数的概念 1.对数的定义 一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x=log。N,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为gV·在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828.…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为hN 3.指数与对数的互化 当a>0,a≠1时，a=N台x=log。N. 1 指数或对数 底数 -x=log N 幂或真数 4.对数的性质 (1)1og。1=0:(2)10g。a=1(3)零和负数没有对数. 2 二、对数的运算 1.对数运算性质 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： (1)log,(M.N)=log,M+log,N:(2)log. M=log.M-log.N:(3) log,M"=nlog,M(n∈R) 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式 才成立 例如，1og2[(-3)(-5)]=1og2(-3)+log2(-5)是错误的. 2.对数换底公式 古c>0且c1”则gh-g6 =1og.aa>0'且a≠l,b>03, 3.由换底公式推导的重要结论 (1 logog ogloog m 3 02 经典题型 题型1对数的概念 1.若对数式1og23有意义，则实数t的取值范围是() A.[2,+∞) B.(2,3)U(3,+∞) C.(∞，2) D.(2,+∞) 2对数式g,-3中的取值范围为一 3.若对数式log.2(-3)有意义，求实数t的取值范围. 4. 给出下列说法： ①零和负数没有对数： ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫作常用对数： ④以e为底的对数叫作自然对数 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4 题型2指数式与对数式的互化 5.(课本例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54-625；(2)2=1 64 3-573:4og 6=4: (5)lg0.01=-2;(6)n10=n 6.(课本例2)求下列各式中x的值： ()log4=.2; (2)l0gx8=6: (3)1g100=x: (4)-lne2=x. 7.求下列各式中x的值： @e2a咖ke43 1 6)x=1o927 4④l血2 5 8若a=log02,b=1ogo3,则1002的值为 9.求下列各式中x的值： (og,=2 1og.4=2 (2) 题型3对数运算性质的应用 10.求下列各式的值 ①logg81= .0 2log4l=.③he2= 1L.计算.P+e-052+l1e25+22=（) A.-2 B.-1 C.0 D.1 12 og 1og,I-og.o 6 4-,x≥0 13.已知={og,0-x)x<0,则fU(4》 Ig12 14.已知lg2=a,g3=b,用a,b表示1g15. 题型4换底公式的应用 15.计算：(1og43+log83)1og32+log92); g,5=m.1og,7=”,则用m,”表示 16.已知 l0g359= 17.计算： 0lbg曾+g3-gu5 1 e2g旷经号g. (2) 18.求值： 7 (a)og,3+1og,3)log,2+1og,8) 8025×2+1log,10-1。-23 (2 log,5 题型5对数与指数的综合应用 19.己知2m=3”=5,则4=() A.5 B.6 C.8 D.9 20若4-34则后号() A.2 B.log24486 c.2 D.log24566 21.已 2=b.2=3,loe6=c,则（) A.b+1=ac B.3b+a=c C.ac+a=2b D.b=ac 1+1=1 22.已知2=5'=m,且xy，则m的值为一 8 题型6对数运算的实际运用 23.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例 如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为 lgE=4.8+1.5M 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是 2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 24.某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过01%若初始时含杂质2%，每 过滤一次可使杂质含量减少 3,要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（尼知： lg20.3010,lg3≈0.4771)() A.6 B.7 C.8 D.9 9