第03讲 集合的基本运算讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第03讲 集合的基本运算 1．理解并集、交集、补集、全集的概念与表示； 2．了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定集合的补集； 3．掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算； 4．通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。 一、并集的概念与运算 1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集， 记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 二、交集的概念与运算 1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 三、全集与补集的概念与运算 1、全集 （1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. （2）符号语言：若，则为全集. （3）图形语言： 2、补集 （1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 四、德摩根律与容斥原理 1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 五、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 考点一、交集的概念与运算 例1　(1)设集合，，则（    ） A． B． C． D． (2)已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 跟踪训练1　已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． (2)已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 考点二、并集的概念与运算 例2　(1)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． (2)已知集合 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 跟踪训练2　(1)已知集合，，则________. (2)设集合 则中的元素个数为__________ 考点三、补集的概念与运算 例3　(1)已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． (2)设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 跟踪训练3 (1)若全集，集合，则 A． B． C． D． (2)已知全集，集合满足：，且当时必有，则______. 考点四、交并补的混合运算 例4 (1)已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． (2)已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 跟踪训练4 （1）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． （2）已知全集U为，集合，或.求： (1)； (2)； (3). 考点五、根据集合运算结果求参数 例5 (1)已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 (2)已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 跟踪训练5 （1）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 考点六、容斥原理的应用 例6 (1)（多选）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 跟踪训练6 （1）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 （2）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 考点七、集合运算的新定义 例7 (1)定义集合运算且，则以下集合是的正确结果为（    ） A． B． C． D． (2)定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 跟踪训练7 （1）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． （2）对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 5．设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（    ） A． B．8 C．16 D． 6．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 7．（多选）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 9．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 10．设，，若，则实数的值可以为_____． 11．设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 12．已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 13．设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 14．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 15．集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 16．给定非空数集，若对于任意，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，是否为闭集合，并加以证明； (2)证明：已知，是闭集合，且是闭集合，则或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的基本运算 1．理解并集、交集、补集、全集的概念与表示； 2．了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定集合的补集； 3．掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算； 4．通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。 一、并集的概念与运算 1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集， 记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 二、交集的概念与运算 1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 三、全集与补集的概念与运算 1、全集 （1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. （2）符号语言：若，则为全集. （3）图形语言： 2、补集 （1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 四、德摩根律与容斥原理 1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 五、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 考点一、交集的概念与运算 例1　(1)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以. (2)已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】或，则方程组解为或， 即，有2个元素， 从而的真子集个数为个. 跟踪训练1　已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合，再由交集的定义计算可得。 【详解】因为集合，又集合， 所以. (2)已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据集合的约束条件求出集合的所有元素，再根据交集的定义计算A与B的交集. 【详解】因为，且， 所以， 所以. 考点二、并集的概念与运算 例2　(1)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合运算即可求解. 【详解】因为,则, 故选：B. (2)已知集合 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以． 跟踪训练2　(1)已知集合，，则________. 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出集合，再根据并集的定义求出. 【详解】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. (2)设集合 则中的元素个数为__________ 【答案】 【分析】由题可得当时，，当时，，从而可得，两集合有个相同元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 考点三、补集的概念与运算 例3　(1)已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由全集，集合， 根据集合补集的定义与运算，可得. (2)设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【分析】用列举法表示出全集，根据补集的概念求得，再根据集合元素个数与真子集关系计算可得. 【详解】全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为. 故选：C 跟踪训练3 (1)若全集，集合，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别化简求解集合U,A，再求补集即可 【详解】因为，，所以. 故选C (2)已知全集，集合满足：，且当时必有，则______. 【答案】 【分析】利用反证法，假设不是正整数集，结合题意条件推出矛盾即可. 【详解】若为的真子集，则为由部分正整数组成的非空集合， 故中存在最小元素，故，从而，于是， 因为，若，由的性质可知，这与矛盾， 所以，但这又与是中的最小元素矛盾，所以不是的真子集， 即. 故答案为： 考点四、交并补的混合运算 例4 (1)已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，又， 故. (2)已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 跟踪训练4 （1）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, （2）已知全集U为，集合，或.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用交集、并集、补集的定义直接求解. 【详解】（1）集合，或， 所以. （2）或，而或， 所以或. （3）或，所以. 考点五、根据集合运算结果求参数 例5 (1)已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. (2)已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 跟踪训练5 （1）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：A． （2）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 考点六、容斥原理的应用 例6 (1)（多选）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 【答案】ACD 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成的人数为，赞成的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合，如图所示， 设对事件，都赞成的学生人数为， 则对，都不赞成的学生人数为， 赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为， 依题意，解得. 所以赞成的不赞成的有9人，故A正确； 赞成的不赞成的有12人，故B错误； 对，都赞成的有21人，故C正确； 对，都不赞成的有8人，故D正确. 故选：ACD 跟踪训练6 （1）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可. 【详解】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 因为全班共36名同学参加课外探究小组， 所以， 解得， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 故选：B. （2）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 考点七、集合运算的新定义 例7 (1)定义集合运算且，则以下集合是的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据新定义的概念即可得结果. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：A. (2)定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【答案】/ 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 跟踪训练7 （1）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． （2）对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】根据的定义求解即可. 【详解】（1）因为，，根据已知有：. （2）因为，所以. （3）从以上解题过程中可以看出，中元素的个数与集合和集合中的元素个数有关， 即集合中的任何一个元素与集合中的一个元素对应后，得到中的一个新元素. 若集合中有个元素，集合中有个元素，则中有个元素， 故有个元素，B有个元素，中有个元素. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知集合代表所有正整数，故. 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，即， 因为集合， 所以，故选项B正确. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故． 又因为，所以． 4．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 5．设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（    ） A． B．8 C．16 D． 【答案】B 【分析】根据交集的概念与子集个数的计算方法，计算满足条件的集合个数． 【详解】因为且，故集合中的元素必然包含3， 根据可知，集合中的元素可能包含， 故满足条件的集合等价于的子集，则集合的个数是个． 6．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 7．（多选）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 9．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 10．设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 11．设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）由题设，，则； （2）由，则； （3）由， 所以； （4）由， 所以； （5）由题设， 所以. 12．已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求出集合中的元素，进而判断其中的整数； （2）根据集合补集和交集的概念，判断集合之间的包含关系，分类讨论集合的情况，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意可得，即，解得，即， 所以集合中的所有整数为. （2）当时，可知， 当时，，解得； 当时，即时，可得，解得， 综上，当时，. 13．设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 14．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的运算性质进行求解即可； （2）根据并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1），，且， ， 故实数的取值范围为 （2）由，得， ， 故实数的取值范围为. 15．集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补集概念求出答案； （2）先求出，进而求出； （3）根据题意得到和，求出答案. 【详解】（1），故； （2），故； （3），，故. 16．给定非空数集，若对于任意，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，是否为闭集合，并加以证明； (2)证明：已知，是闭集合，且是闭集合，则或. 【答案】(1)不是闭集合；为闭集合，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）根据所给定义及并集的性质判断即可. 【详解】（1）解：因为，，，所以不是闭集合； 任取，设，，，则且， 所以，同理，，故为闭集合； （2）证明：任取，可得，因为是闭集合， 则，， 若，则，此时； 若，则，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $