第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的核心定义与内在关联，构建数形结合解题思维。 2.熟练求解一元二次不等式，掌握含参一元二次不等式的分类讨论解题思路。 3.能利用二次函数图像判断方程根的分布、不等式的解集，吃透数形结合核心考点。 4.掌握恒成立问题、存在性问题的解题模型，解决二次函数综合题型。 5.规避三者转化中的易错点，规范解题步骤 一、一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 二、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 四、分式不等式的解法 五、一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题 考点一、解不含参数的一元二次不等式 例1　(1)已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. (2)求下列不等式的解集 ① ② 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为． （2）将不等式， 化简为，即， 解得或， 所以解集为． 跟踪训练1　(1)解下列一元二次不等式： ①； ②. 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. （2）①解不等式. ②若不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求出结果即可； （2）根据一元二次不等式的解集，求出参数，进而求出新的一元二次不等式的解集. 【详解】（1），即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）因为不等式的解集是， 所以，解得， 所以即，得，解得. 即解集为. 考点二、解含参数的一元二次不等式 例2　(1)解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程， 当时，，的解集为， 当时，的解集为， 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当或时，不等式的解集为． (2)解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 跟踪训练2　(1)解下列关于x的不等式．． 【答案】答案见解析 【分析】将不等式转化为，分，和求解. 【详解】， 等价于， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 当时，即，不等式的解集为， 综上：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. (2)解下列关于的不等式： ①； ②． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 考点三、解分式不等式及绝对值不等式 例3　(1)已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， ， 所以 . (2)解关于的不等式. ①； ②； ③. 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）变形得到，求出不等式的解集； （2）分和两种情况，结合根的判别式和因式分解得到不等式的解集； （3）原不等式转化为，分，和三种情况，求出不等式解集. 【详解】（1）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为或； （2），当时，，，解集为， 当时，原不等式转为，即，解得， 所以不等式的解集为； （3）， 原不等式转化为， 当时，解得； 当时，解得， 当时，，解集为， 综上， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 跟踪训练3 (1)解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分式不等式化为且，求出解集； （2）将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且， 解得，不等式解集为. （2）令 当时，，解得，即； 当时，，解得，即； 当时，，解得，即； 综上所述：不等式解集为. （2）求下列不等式的解集． (1)； (2)． (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）利用公式法解含绝对值符号的不等式. （3）化不等式右边为0，通分并转化成一元二次不等式求解. 【详解】（1）不等式化为：，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：，则，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为，即，则， 解得或， 所以原不等式的解集为. 考点四、利用一元二次不等式的解集求参数 例4 (1)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的求解，结合两根大小关系，对分类讨论即可求解. 【详解】不等式可化为， ①时，不等式的解集为，不合题意； ②当时，不等式的解为，且， 若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得； ③当时，不等式的解为，且， 若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得． 综上可知，正数的取值范围为或． 故选：C (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】分别按照和讨论求出实数的取值范围； 【详解】①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. 跟踪训练4 (1)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的求解，结合两根大小关系，对分类讨论即可求解. 【详解】不等式可化为， ①时，不等式的解集为，不合题意； ②当时，不等式的解为，且， 若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得； ③当时，不等式的解为，且， 若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得． 综上可知，正数的取值范围为或． 故选：C (2)已知关于x的不等式，． ①若，求不等式的解集； ②若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解； (2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是； （2）若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是． 考点五、一元二次方程根的分布问题 例5 (1)“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. (2)（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 跟踪训练5 （1）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． （2）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 考点六、一元二次不等式中的恒成立问题与有解问题 例6 (1)若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. (2)．若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） （3）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 跟踪训练6 （1）．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. （2）若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由命题的否定为真命题，得到，，进而可求解. 【详解】由题意可知：，为真命题， 即，， 又当时，，当时取等号， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： （3）设函数， ①若命题：是假命题，求的取值范围； ②若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围. 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 考点七、一元二次不等式的实际应用问题 例7 (1)汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B (2)为迎接校运会，某班级计划用栅栏围成一个一面靠墙的矩形训练场地（如图所示）.已知靠墙的一边不需要栅栏，现有栅栏总长度为60米.    (1)当矩形的长和宽分别为多少米时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ (2)若需要围成一个面积不小于400平方米的训练场地，请求出矩形宽的取值范围. 【答案】(1)，（平方米） (2)米. 【分析】（1）法1，设一边长为米，另一边长为米，利用二次函数求最值；法2，一边长为米，另一边长为米，利用基本不等式求最值； （2）由面积不小于400平方米及（1）中范围，确定矩形宽的取值范围. 【详解】（1）方法一：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 面积， 又， 所以当时，（平方米）， 此时宽为15米，长为米. 方法二：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 且， 由已知，求的最大值. 因为 所以， 当且仅当且，即时，等号成立. （2）由（1）可知：， 由题意得，， 即， 解得， 所以，解得， 所以的取值范围是. 答：矩形宽的取值范围是米. 跟踪训练7 （1）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设花卉带的宽度为，由题设有且求范围，即可得答案. 【详解】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B （2）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层､每层2000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（元）.平均购地费用为购地总费用除以建筑总面积，平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和. (1)建立楼房每平方米的平均综合费用与楼层数的函数关系式； (2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (3)若楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，求该楼房可建层数的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由题可得楼房每平方米的平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和，结合条件即可求解； (2)利用基本不等式即可求解； (3)由题可得：，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）设楼房每平方米的平均综合费用为， 所以， 则 （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取到“”， 此时，平均综合费用的最小值为． 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元 （3）楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，则， 即， 解得：, 因为 解得： 则该楼房可建层数的范围 一、单选题 1．“ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】令，得到，化简得， 得到，解得或， 则“ ” 是 “ 或 ”的充分不必要条件． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 3．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解为，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解； 【详解】由，可得，解得或，即，所以充分性成立； 反之：若，可得，即，所以必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 4．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 5．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 6．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 二、多选题 7．已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据已知有是方程的两个根，且，利用根与系数关系得，进而依次判断各项的正误. 【详解】由题设是方程的两个根，且，A对， 所以，可得，则，C错， 由，B错， 由，可得或，D对. 故选：AD 8．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 三、填空题 9．关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】5 【详解】关于的方程有实数根， 当时，方程有实数根， 当时，需满足，解得，且， 综上，，则实数的最大整数值是5． 10．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 四、解答题 11．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)解关于的不等式 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解法即可求得结果； （2）利用绝对值不等式解法计算即可； （3）根据参数不等式的解法对参数进行分类讨论即可求出对应不等式的解集. 【详解】（1）由可得， 方程对应的两根为或； 所以不等式的解集为 （2）易知等价于或； 解得或， 因此该不等式的解集为或； （3）易知即为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 12．已知关于的不等式组，其中． (1)求不等式①的解集； (2)若不等式组的解集为空集，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知分式不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）求解不等式②，由不等式组的解集为空集得不等式①的解集与不等式②的解集交集为空集，由此可得实数a的取值范围． 【详解】（1）由，得， 所以，解得， 即不等式①的解集是． （2）由，得. 因为，所以或． ∵原不等式组的解集为空集， ∴不等式①与不等式②的解集的交集为空集． ． 即实数a的取值范围是． 13．已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 14．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的核心定义与内在关联，构建数形结合解题思维。 2.熟练求解一元二次不等式，掌握含参一元二次不等式的分类讨论解题思路。 3.能利用二次函数图像判断方程根的分布、不等式的解集，吃透数形结合核心考点。 4.掌握恒成立问题、存在性问题的解题模型，解决二次函数综合题型。 5.规避三者转化中的易错点，规范解题步骤 一、一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 二、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 四、分式不等式的解法 五、一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题 考点一、解不含参数的一元二次不等式 例1　(1)已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)求下列不等式的解集 ① ② 跟踪训练1　(1)解下列一元二次不等式： ①； ②. （2）①解不等式. ②若不等式的解集是，求不等式的解集. 考点二、解含参数的一元二次不等式 例2　(1)解下列关于的不等式：． (2)解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 跟踪训练2　(1)解下列关于x的不等式． (2)解下列关于的不等式： ①； ②． 考点三、解分式不等式及绝对值不等式 例3　(1)已知集合，，则( ) A． B． C． D． (2)解关于的不等式. ①； ②； ③. 跟踪训练3 (1)解下列不等式： (1)； (2). （2）求下列不等式的解集． (1)； (2)． (3) 考点四、利用一元二次不等式的解集求参数 例4 (1)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． (2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； 跟踪训练4 (1)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． (2)已知关于x的不等式，． ①若，求不等式的解集； ②若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 考点五、一元二次方程根的分布问题 例5 (1)“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 （1）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． （2）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 考点六、一元二次不等式中的恒成立问题与有解问题 例6 (1)若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． （2）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． （3）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 跟踪训练6 （1）．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. （2）若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. （3）设函数， ①若命题：是假命题，求的取值范围； ②若存在，使得成立，求实数的取值范围. 考点七、一元二次不等式的实际应用问题 例7 (1)汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 (2)为迎接校运会，某班级计划用栅栏围成一个一面靠墙的矩形训练场地（如图所示）.已知靠墙的一边不需要栅栏，现有栅栏总长度为60米.    (1)当矩形的长和宽分别为多少米时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ (2)若需要围成一个面积不小于400平方米的训练场地，请求出矩形宽的取值范围. 跟踪训练7 （1）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． （2）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层､每层2000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（元）.平均购地费用为购地总费用除以建筑总面积，平均综合费用为平均建筑费用与平均购地费用之和. (1)建立楼房每平方米的平均综合费用与楼层数的函数关系式； (2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (3)若楼房每平方米的平均综合费用不超过2500元，求该楼房可建层数的范围. 一、单选题 1．“ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 3．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 6．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 8．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 三、填空题 9．关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 10．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 四、解答题 11．解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)解关于的不等式 12．已知关于的不等式组，其中． (1)求不等式①的解集； (2)若不等式组的解集为空集，求实数a的取值范围． 13．已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 14．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $