第13讲 指数的概念与运算讲义-2026年新高一数学暑假衔接（人教A版）

第13讲 指数的概念与运算 1.理解n次方根、根式的基础定义，熟记根式的核心性质，能完成根式化简、简单求值运算。 2.掌握分数指数幂的含义，熟练实现根式与分数指数幂双向互化3.牢记实数指数幂全部运算公式，可对复杂代数式化简、整体代换求值，掌握指数计算题型。 4.区分奇偶次方根的取值规则，规避符号、底数范围等高频易错点，提升指数运算准确率 一、根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 二、分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 三、指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr ； (a>0，b>0，r，s∈R)． 考点一、n次方根的概念 例1　(1)以下说法正确的是（    ） A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数 C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*) D．a的n次方根是 (2)已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可) 跟踪训练1　(1)在实数范围内，的四次方根为__________. （2）若有意义，则的取值范围是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 考点二、利用根式的性质化简或求值 例2　(1)化简（   ） A． B． C． D． (2)若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）化简： (1)； (2)已知，化简. 跟踪训练2　(1)若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． (2)化简根式______. （3）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 考点三、根式与分数指数幂的互化 例3　(1)用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (2)用根式的形式表示下列各式（）. (1)； (2)； (3) 跟踪训练3 (1)用根式的形式表示下列各式（a>0）． (1) (2) (3) (4) （2）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 考点四、运用指数幂运算公式化简求值 例4 (1)化简求值: (1)； (2) (2)计算： (1)； (2). 跟踪训练4 (1)计算 (1)； (2)若，，求的值. (2)（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 考点五、分数指数幂运算的综合应用 例5 (1)化简求值：若，求下列各式的值： (1)； (2). (2)（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 跟踪训练5 （1）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． （2）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 3．化简：（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．使等式成立的实数的取值范围为_____. 10．已知，，则__________. 四、解答题 11．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 12．（1）； （2）若，，求的值. 13．计算或化简： (1)化简：； (2)已知，求以及的值． 14．化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $第13讲指数的概念与运算 目标导航。 1.理解n次方根、根式的基础定义，熟记根式的核心性质，能完成根式化简、简单求值运 算。 2.掌握分数指数幂的含义，熟练实现根式与分数指数幂双向互化3.牢记实数指数幂全部运 算公式，可对复杂代数式化简、整体代换求值，掌握指数计算题型。 4.区分奇偶次方根的取值规则，规避符号、底数范围等高频易错点，提升指数运算准确率 知识精讲 一、根式 (1)如果x=a,那么x叫做a的n次方根. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)0=a 当n为奇数时，=a, 当n为偶数时，=d= 二、分数指数幂 正数的正分数指数幂，a”=(a心0，m,n∈N,心1). 1 m 正数的负分数指数幂，a”=a=心0，，n∈N,心1). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 三、指数幂的运算性质 a aa=d";(d)=a;(aby=db a' (心0，b>0,r,s∈R). 典例精析。 考点一、n次方根的概念 例1(1)以下说法正确的是() A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 C.0的n次方根是0（其中>1且n∈N) D.a的n次方根是 √a 【答案】C 【分析】根据根式的概念即可判断各选项的真假， 【详解】由于正数的偶次方根是互为相反数的两个方根，故A错： 由于负数的偶次方根无意义，故B错： 根据定义可知，C显然正确： a 当a<0时，只有n为大于1的奇数时才有意义，故D错. 故选：C ②已知aeR,N,给出四个式了：08-2，②匠，③3,0云，其中 没有意义的是 (只填式子的序号即可) 【答案】③ 【分析】根据根式的定义及其运算性质即可得到. 【详解】①中，(-2P0,÷-2) 有意义： ②中，根指数为5，：a 有意义： ③中，(-3<0，：-32 没有意义： ④中，根指数为9，a 有意义 故答案为：③ 81 跟踪训练1 (1)在实数范围内，16的四次方根为 【案1号 【分析】根据给定条件，利用4次方根的意义列式计算. 【详解】在实数范围内。6的四次方报为6生停=±号 81 81 故答案为：±2 (2)若a-2+a-4有意义，则°的取值范用是() A.[2,+o) B.[2,4)LU(4,+0) C.（-0,2)U(2.+∞) D.（-0,4)U(4.+∞) 【答案】B 【分析】根据被开方数是非负数，以及x°中对x的限制，列出不等式，求解即可. a-2.0, 【详解】由题意可知a-4≠0， 六a2且a≠4」 故选：B 考点二、利用根式的性质化简或求值 1 例2（化简Va() -a B.-Va c.-va 0哈 【答案】B 【分析】根据根式运算求得正确答案。 1 【详解】因为Va有意义，所以a<0,所以a=-√匠， 所日x日日- (②若代数式2x+2-有意义，则4r-4+1+2y6-2列={) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解x的范围，再根据根式的性质化简即可。 2x-120 1 【详解】由题意得： 2-x≥0，解得2 ≤x≤2 故 4x2-4x+1+2(x-2)=V(2x-1)2+2/x-2)2x-1川+21x-22x-1+4-2x=3 故选：C (3)化简： 1)x-x(<元，n∈N): (2)已知a<b<0,n>l,n∈N,化简(a-b)+(a+b). 【答案】ax-= π-x,n为偶数且neN x-元，n为奇数且neN 2)(a-b)+ia+b 2a,n为偶数且neN -2a,n为奇数且neN 【分析】(1)先分析x-π的正负，再根据n的奇偶进行分类讨论即可： (2)先分析a-b,a+b的正负，再根据n的奇偶进行分类讨论即可. 【详解】(1)x<π，x-π<0 当n为偶数时， (x-元)”=k-元=元-x:当n为奇数时， x-”=x-π； x-= π-x,n为偶数且neN 综上所述 x-元，n为奇数且neN. (2)a<b<0,∴a-b<0,a+b<0 当”是奇数时，原式(a-b)+(a+b)=2a 当”是偶数时.原式a-++=(b-a)+(-a-b)=-2a 2a,n为偶数且neN 综上所述， a-b”+(a+b) -2a,n为奇数且neN. 跟踪训练2（①）若a<2,则化简V(2a- 的结果是() A 2a-1 8.1-2a c.-2a 0 -v1-2a 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】a<2,2a<1,2a-1<0 V(2a-1)}=2a-1=1-2a 故选：B. (2②)化简根式 -x√-x+V-x 【答案】 【分析】先求x的取值范围，然后根据根式计算得到答案 【详解】因为>0，所以x<0 厚ww网 =-xx+x xx+x 故答案为： (3)化简下列各式： 3-2： 2Vπ-4+π-4； 3)3a-3)(a≤)： 4派+0-a. 【答案】(1) -2 (2) 0 (3) 3-3a (4) 当a≥1时，近+0-a可=2a-l,当a<1时，后+0-aj-1 【分析】利用根式的运算性质求解即可 【详解】(1-2=-2 (2)V元-4}+π-4 =π-4+π-4 =4-π+元-4=0； 3)3a-3)(as1) =3a-3引 =3a-1 =31-a)=3-3a 4)匠+-a =a+1-a 当a≥1时，a+1-4=a+a-1=2a-1 当a<l时，a+l-d=a+1-a=1 所以当a≥1时， a+1-a)°=2a-1, 当a<1时，派+-a可=1 考点三、根式与分数指数幂的互化 例3(1)用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： (1)Va 2m 3)V(m-m)3(m>m) 46 (5)Vavava 【答案】)ab (2)m3 3)(m-n)月 (4)a6 o 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案 【详解】(1)Vab=(ab)=ab2, 2 2)m=m3: (3)由于m>n,故vm-m)=(m-n): 11115 (4)Ja.Va=a2.a=a23=a6 w-6--o-j- (②)用根式的形式表示下列各式(x>0,y>0). (a)x3; 2 (2)x3: 12 (3)x2y3 1 【答案】(1) R深 √ 3)7 【分析】直接由分数指数幂的定义求解即可， 1 1 x3= 【详解】(1) x3 2)x=F: 12 x2y 3= x2 (3) y3 跟踪训练3()用根式的形式表示下列各式(>0)· 1 (1)a2 3 (2)a4 3 a 【答案】但)6 R刨a 1 (3)3a 1 4)3a 【分析】根据根式与分数指数幂互化公式一一求解即可. 【详解】(1)a2=Va 3 (2)a4=a 3 1 (3) (4) a园 (2)用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： a.b (1)√a.b; 2,5-V27)÷5 )g2( 【答案】(a(ab)5: 236-35； 57 3)x6y6 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案 近56时-b-(时 【详解】(1)√a. 25-列小6=3-=-- a可-(wj- 考点四、运用指数幂运算公式化简求值 例4(1)化简求值： al-5-2-oos V4+2W5 【答案】(1)0.5 (2)9 【分析】(1)根据指数幂运算公式计算即可； (2)根据指数幂运算公式及根式的运算公式即可求解. 【详解14原式=3-104-05 (2)原武8+2+5-5+1)=9 (2)计算： 2-8+5-2）-2-5 【答案】)2 2)-8 【分析】(1)分数开方等于分子分母分别开方： a= a(n=2k+1,kEZ) (2)由 d(n=2k,k∈Z)得出各项结果后再合并即可得到结果. 6 33 【详解】(1)V°4 +30.125 8 25_3 53,1 F22+2 - (2)-8)+W3-2-2-5 =-8+5-2-(2-V5) =-8+2-V5-2+V5 =-8 跟踪训练4(1)计算 【答案】(1)43 (2)8 【分析】(1)借助指数幂的运算法则计算即可得： (2)借助指数幂的运算法则计算即可得. 159 【详解】(1)原式0.0134 2×8-33=100-30-27=43. 7155 =4.a66b66=4ab°=4a=8 (2)原式-3 (2)(1)求值： 目]o (2)求值： (Vab.v (3) 化简： -(a>0,b>0) 6.a2b 【答案142：(2；(3)分 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算： 【详解】 (1) 自]听s 伊伊 a份a*e-aonr-1*-[o 21)2 (ab.ila a3b3 a3 52 (3) asb3 a b.ab 24 25 b3.ab3 ab3 b 考点五、分数指数幂运算的综合应用 例5(1)化简求值：若x+x=3,求下列各式的值： (1)+x 2r-x月 【答案】(1)7 (21或-1 【分析】(1)将已知等式两边平方化简可得所求： (2)由题可知x>0,设x2-x2=1,结合完全平方公式化简运算即可得所求. 【详解】(1)：x+x=3,(+x=9。 即x2+2x·x+x2=9, .x2+2+x2=9,x2+x2=7: ②可>0- 即x-2x2x2+x=,x+x-2=, 又x+x=3,.=3-2=1,.t=1, .x2-x2=1或x2-x2=-1 1_1 x2-x2 (②)(1)已知0<x<1且，+x-6,求x+x的值. a2+a2+1 (2)已知a3+a3=3(aeR),求a+a+1的值. 2 【答案】(1)4：(2)6 【分析】(1) =x+x-2计算可得： 1 1) (2)由a+a= a2+a2 -2a3.a2及d+a2=(a+a-2aa计算可得 【详解】(1)由题意可知 x2+x2=x+x+2=6,x+x1=4 =4-2-2 0<x<1,x2<xi,.x2-xi=-2) x2-x x+x=- 4. 2 (2)a+a-a+a'a+a -2a2.a2=7 a2+a2=(a+a-2aa1=47 a2+a2+147+1 =6 a+a+17+1 跟踪训练5(1)已知a2+a2=3,求下列各式的值： ata-l (1 33 a84a 【答案】(1)7 1 (23 【分析】(1)由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解 (2)由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（)由题意a+a-3所以a+a' a2+a2 -2=32-2=7 (2)由题意a2+a2=3, 3 a2+a2 a-a2.a2+a -3 a2+a2-3 3×(7-1)-3151 所以 a2+a2-2 (a+a-4 72-44531 (2)已知-x=25(x>0) 求下列各式的值： x2-x2 1)2+x7: x+x1 2)x+x 45 【答案】(1)7 26 (2)3 【分析】(1)将原式平方后可得x2+x2=14,再配方后可得x+x=4,故可求原式的值， (2)结合(1)中的结果配方可得x2+x2=6,故可求原式的值 【详解】四因为-r=25.放+r=12+2=14 故x2+x2+2=16,而x>0,故x+x=4, -x2（x-x）+x）_23x4_45 故x2+x2 14 14 7. (2)由(1)可得x+x=4,故x+x+2=6, x+x142V6 故6+6。 的 过关检测 一、单选题 2 3 A.3 B.8 8 c.2 D. 【答案】A 【详解】 9-周 2.“为不为1的任意实数，则4近= 5 A.a2 B.a3 C.a2 D.a3 【答案】B 1+ 4 【详解】由a≠l,则a:a=aa3=a5=a3 3.化简： π-3+4-=() A.1 B.-1 C.2π-7 D.7-2π 【答案】A 【分析】借助平方根与立方根性质计算即可得 【详解】V-3+4-=k-3+(4-)=元-3+4-元=1 故选：A. x2-x2 4.已知x2+x2=9,则x+x的值是() C. D. 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得《一x=士 ，再根据平方差 公式化简即可求解。 【详解】解：由x2+x2=9,得x2-2+x2=7, 则-xヅ=7，因此x-x=±万， x2-x2(x-x)x+x 所以x+x x+x 2=x-x1=±√万 故选：C 5.已知a<b,且ab≠0，化简二次根式-ab 的正确结果是() A.-avab B -aab aab D.avab 【答案】A 【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及a<b,且ab≠0，可确定出a的正负情况， 再依据√厅-口进行化简，最后化简绝对值即可： 【详解】解： .-ab 有意义，-ab≥0，ab≤0 又"a<b,∴a<0,b>0.V-ab=-a√-ab 故选：A 6.若v2026-V2025=F-V2024 则() A.2024<x<2025 B.x=2025 C.2025<x<2026 D.x=2026 【答案】A 【分析】利用放缩法，结合代数运算确定正确答案。 √F=√2024+V2026-√2025 【详解】依题意， √2026-√2025>0 ①因为 所以F>V2024 ②由于√2026+V2025>√2025+V2024,所以J2026+V2025<J2025+V2024, √2026-√2025<√2025-√2024 即： 因此， √=V2024+(W2026-√2025)<2024+(V2025-V2024)=V2025 所20cGcv2丽.所y22<r20g 故选：A 二、多选题 7.(多选)下列各式一定成立的是() A.(-2)=2 B.21= 2 C.a"=a(neN") D.(a")=la 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A:由5-2列-2=2正=25=2，故A正确： 对于8：由2 =2,故B正确： 对于C:当”为正奇数，则0=a,当n为正偶数，则匠=4， 如-2)=2，故c错误： 对于D:由(a)=V反=4，故D正确， 故选：ABD 8。(多选)已知45+a5=3 下列各式正确的是() A.a6-a5=t5 B,a25+a26=7 c.a2+a2=V5 D.a5+a35=24 【答案】ABC 【分析】设，=a,则a5= ,由题意可得1+3，则1>0，由此逐一判断即可。 【详解】设，=a,则a5 7,由题意可得+3，则1>0 对于A,因为a6-a5=1 t 又因为0=(+2-4=9-4=5， 所以1=±5，即a5-a5=士5，故A正确： 对汗8，因为0+ad=+月=+-2=7，放正南 故C正确； 对于0，因为+a=r+-+- -6=,D获 故选：ABC 三、填空题 g.使等式Va-3a-9=6-ana+3 成立的实数a的取值范围为 [-3,3] 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解 出a的取值范围 【详解】因为va-3(a2-9)=V(a-3'(a+3)=la-3引a+3, 要使a-3引a+3=6-aa+3成立， a-3≤0 需a+3≥0，解得-3≤a≤3， 即实数“的取值范围是3,3) 34 10.己知67=27,603”=81，则xy 【答案】-2 43 【分析】利用分数指数幂运算法则求出3=32，求出答案， 4 【详解】由67”=3，得67=3，由603'=34，得603=3， 43 3-603=9=3 -2 43 34=-2 所 67 ,所以yx,故xy· 故答案为：-2， 四、解答题 11.用分数指数幂表示下列各式： (1)a.Va (2)VVaVb -(a>0,b>0) (3)Va "bilabi(a>0,b>0) 【答案】(1)a3 13 (2)a4b4 114 (3)a6b3 【分析】应用指数幂运算律计算求解： 【详解】a)a=da-a号-号 (2)因为a>0,b>0, 所以VVa‘Vb =V(ab）月-(a2b)月 (ab) 13 =a4b4 (3)因为a>0,b>0, 12 所以Va4b2ab2=√a4b2a3b3 118 =Va 3.b3 2 114 a3b3 =a6b3 2 1)4 12.(1) 16 +3× 64 2 -(6+: (-2Vab)x(-8V/a-B5 (2)若a=27 b=16’ 求 a2b7×4a2b 的值 35 【答案】(1)6：(2)6 【分析】(1)利用分数指数幂的性质化简求值可计算结果： (2)利用根式的性质以及分数指数幂的运算性质化简式子，再代入求值计算即可 814, 【详解】(1) 16 (3+π)° 3 -1=3+16-1=3 23 6 (-2ab)×(-8ab 16(ab)(a2b),1,1 =4a3b4 (2) a2b×4a2b 4(a2b(ab)月 =4xab=4×3x=6 因为a=27,b=16,所以原式 2 13.计算或化简： ab.ab (1)化简：ab√ab +a-b)+(a-b'(0<a<b) 3 3 x2+x2+2 2已知+x=3求，-x以及产++5的值 11 【答案】(1)ab6 3 3 x2+x2+22 2-x=士5，+x+55 【分析】(1)利用根式的性质化简根式与分数指数幂即可； 2)利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出-弓、+片、十x的值即可求 解。 ab.ab 【详解】(1)化简ab√ab, 分子为Nabi/ab= - 分母为abad=。 22 2121 11 则 abab abi 1=a32b32=a6b6 化简a-b)和a-b)」 对于a-b 因为0<a<b,所以a-b<0, 可得(a-b°a-bb-a 对于a-b),可得a-b)°=a-b: ab ab 11 综上所述， +(a-b)+a-b)3=ab5+(b-a)+(a-b)=a5b5 ab ab 1)2 (2)对r+x=3两边平方可得 x2+x2 x+2+x=9,则x+x=7 1)2 对-x平方可得 x2-x2 2+,所-7-25 即x2-x2=±V5, 3 根据立方和公式可得 所以x2+x2=3×(7-1)=18, 对x+x=7两边平方，可得(+=+2+x2=49,则2+x2=47, 3 3 x2+x2+22 所以x2+x2+35 14.化简并求值. a+da2b)÷b+ab2）-11 (1)若。=26=4求 a-6 的值； (2)设a= 2023"-2023 2 (aeN),求+a-a的值， 1 【答案】(1)2 1 (2)2023 【分析】(1)根据指数的幂的运算可得答案： 2023n-2023 (2)由a= 2 (eN),构造出、+a,再由幂的运算法则可得答案 a-b+a'b-ab2 1 【详解】(1)原式(a-b)b+ab)6 (a-b)a+a+B)+而(a-6)1 (a-b)b+ab】 6 (a+61(a+61a b+ab2 拓6(a+6拓 当a=2,b=4时， 221 原式16252： 2 （2)因为a-2023,2023,所以+a2= 2023:+2023n 所以V1+d-4=2023+20232023-20232x2023 2 -20237 2 所以1*7--203=8，