17.4 解析几何参数范围与最值问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何参数范围与最值问题，以判别式法和几何意义法为核心，按“知识梳理（步骤、题型、注意事项）—典型例题（相切、弦长、面积等）”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导（如“联立—消元—判别式”步骤）、真题训练等环节，帮助学生系统掌握解题方法，突破高考难点。 资料突出代数与几何方法综合应用，如例3过定点直线斜率范围问题，引导学生用判别式法联立方程推理参数范围，培养数学思维与模型观念。设置分层例题（基础到综合）配合参考答案即时反馈，确保高效突破，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

解析几何 17.4 参数范围与最值问题 学习目标 ● 掌握利用判别式求参数范围的方法 ● 掌握利用几何意义求最值的方法 ● 能综合运用代数与几何方法解决圆锥曲线中的范围与最值问题 知识点一 利用判别式求范围 1. 知识梳理 （一）判别式法的基本步骤 1. 联立直线与曲线方程，消元得一元二次方程 2. 计算判别式 3. 由 （相交）得到参数的不等式 4. 解不等式得参数范围 （二）常见题型 1. 直线与曲线有两个交点： 2. 直线与曲线相切： 3. 求参数的取值范围：利用 或 （三）注意事项 1. 设直线时注意讨论斜率是否存在 2. 消元时注意二次项系数是否为零 3. 验证端点值是否可以取到 📌 提示：判别式法是求参数范围的基本方法。关键步骤为"联立→消元→判别式→解不等式"。注意检验二次项系数是否为零。 2. 典型例题 例1 （判别式求参数范围） 已知椭圆 ，直线 与 有且仅有两个交点，求 与 满足的关系。 例2 （直线与椭圆相切） 已知椭圆 ，求过点 且与 相切的直线方程。 例3 （判别式与斜率范围） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求直线 斜率的取值范围。 例4 （判别式与弦长） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的值。 例5 （判别式与面积范围） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 知识点二 利用几何意义求最值 1. 知识梳理 （一）几何意义法的基本思想 将代数问题转化为几何问题，利用几何图形的性质（如距离、角度、面积等）直接求最值。 （二）常见几何意义法 1. 点到直线的距离： 2. 两点间距离： 3. 焦半径公式：（椭圆） 4. 焦点三角形面积： （三）利用椭圆性质求最值 1. 椭圆上点到定点的距离最值：，（ 为椭圆中心） 2. 焦半径的最值：， 3. 弦长的最值：通径最短，长轴最长 📌 提示：几何意义法的关键是找到代数表达式对应的几何意义。如 可以用三角形不等式， 可以用双曲线定义。 2. 典型例题 例1 （点到直线距离最值） 已知椭圆 ， 为 上一点，求 到直线 距离的最小值。 例2 （焦半径最值） 已知椭圆 ， 为左焦点， 为 上一点，求 的取值范围。 例3 （焦点三角形面积最值） 已知椭圆 ，、 为焦点， 为 上一点，求 面积的最大值。 例4 （弦长最值） 已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 例5 （离心率范围） 已知椭圆 （），、 为焦点， 为 上一点，，求离心率 的取值范围。 参考答案汇总 知识点一 例1答案：。 例2答案： 或 。 例3答案：。 例4答案：。 例5答案：。 知识点二 例1答案：最小值为 。 例2答案：。 例3答案：。 例4答案：。 例5答案：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 17.4 参数范围与最值问题 学习目标 ● 掌握利用判别式求参数范围的方法 ● 掌握利用几何意义求最值的方法 ● 能综合运用代数与几何方法解决圆锥曲线中的范围与最值问题 知识点一 利用判别式求范围 1. 知识梳理 （一）判别式法的基本步骤 1. 联立直线与曲线方程，消元得一元二次方程 2. 计算判别式 3. 由 （相交）得到参数的不等式 4. 解不等式得参数范围 （二）常见题型 1. 直线与曲线有两个交点： 2. 直线与曲线相切： 3. 求参数的取值范围：利用 或 （三）注意事项 1. 设直线时注意讨论斜率是否存在 2. 消元时注意二次项系数是否为零 3. 验证端点值是否可以取到 📌 提示：判别式法是求参数范围的基本方法。关键步骤为"联立→消元→判别式→解不等式"。注意检验二次项系数是否为零。 2. 典型例题 例1 （判别式求参数范围） 已知椭圆 ，直线 与 有且仅有两个交点，求 与 满足的关系。 【解析】 联立 与 ： 答：。 例2 （直线与椭圆相切） 已知椭圆 ，求过点 且与 相切的直线方程。 【解析】 设切线 ，即 。 联立 ： ： 化简得 或 。 当 时，，代入椭圆 ，，只有一个交点，是切线。 当 时，，代入椭圆 ，是切线。 答： 或 。 例3 （判别式与斜率范围） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求直线 斜率的取值范围。 【解析】 设 ，联立 ： 恒成立，即过 的直线恒与椭圆有两个交点。 答：。 例4 （判别式与弦长） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且 ，求 的值。 【解析】 联立 与 ： ，。 由于 ，必有一个根为 （即点 ）。 当 时，，，退化。 当 时，，。 因为 ，，。 。 令 ，解得 ，。 答：。 例5 （判别式与面积范围） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 【解析】 设 ，联立 ： 到 的距离 。 令 ，。 在 上单调递减，最大值在 时取得。 答：。 知识点二 利用几何意义求最值 1. 知识梳理 （一）几何意义法的基本思想 将代数问题转化为几何问题，利用几何图形的性质（如距离、角度、面积等）直接求最值。 （二）常见几何意义法 1. 点到直线的距离： 2. 两点间距离： 3. 焦半径公式：（椭圆） 4. 焦点三角形面积： （三）利用椭圆性质求最值 1. 椭圆上点到定点的距离最值：，（ 为椭圆中心） 2. 焦半径的最值：， 3. 弦长的最值：通径最短，长轴最长 📌 提示：几何意义法的关键是找到代数表达式对应的几何意义。如 可以用三角形不等式， 可以用双曲线定义。 2. 典型例题 例1 （点到直线距离最值） 已知椭圆 ， 为 上一点，求 到直线 距离的最小值。 【解析】 设 ， 到直线的距离： 令 ，其中 。 。 答：最小值为 。 例2 （焦半径最值） 已知椭圆 ， 为左焦点， 为 上一点，求 的取值范围。 【解析】 ，，。 焦半径公式：（ 为 的横坐标）。 ，。 答：。 例3 （焦点三角形面积最值） 已知椭圆 ，、 为焦点， 为 上一点，求 面积的最大值。 【解析】 ，。 当 在短轴端点时， 最大。此时 ，。 由余弦定理： 答：。 例4 （弦长最值） 已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 【解析】 ，，，。 通径（ 轴）：（最小）。 长轴（ 过原点）：（最大）。 答：。 例5 （离心率范围） 已知椭圆 （），、 为焦点， 为 上一点，，求离心率 的取值范围。 【解析】 的最大值在 为短轴端点时取得。 。 需 ，即 ，，。 又 ，所以 。 答：。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 判别式法是求参数范围的基本方法，关键步骤为"联立→消元→判别式→解不等式"。 ● 几何意义法将代数问题转化为几何问题，利用图形性质直接求最值。 ● 椭圆的焦半径公式和焦点三角形面积公式可直接用于求最值。 ● 求最值时注意检验参数的取值范围（由 确定）。 二、常见学生错误 ● 判别式计算错误，特别是展开合并时符号出错。 ● 忘记讨论二次项系数为零的情况。 ● 求最值时忘记检验端点值是否可以取到。 ● 几何意义法中，未能正确识别代数表达式对应的几何意义。 三、课时建议 本节内容建议安排 2 课时： ● 第 1 课时：知识点一（利用判别式求范围） ● 第 2 课时：知识点二（利用几何意义求最值） 学科网（北京）股份有限公司 $