第31讲 ω的取值范围与最值问题 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦三角函数ω参数问题，以六大考点为框架，通过14类考法系统整合零点、单调等性质应用，形成从单一到综合的递进训练体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点与交点问题|4考法10题|结合区间、平移、单调性等求参数|从基础零点个数到多性质综合，构建问题转化逻辑| |单调问题|2考法6题|给定单调区间或结合对称性求范围|以单调性判定为核心，关联函数对称性| |最值问题|3考法7题|恒等变换、区间最值与参数综合|从化简求最值到结合对称轴等多条件参数求解| |极值问题|2考法4题|区间极值点个数及与周期综合|基于导数与周期性，建立极值点与参数关系| |对称性问题|1考法4题|对称轴与零点、极值点综合|以对称性性质为基础，整合函数零点与极值特征| |性质综合问题|2考法5题|周期、单调性等多性质综合应用|融合前述单一性质，提升复杂情境问题解决能力|

第31讲 ω的取值范围与最值问题 · 分类练习 考点一：零点与交点问题 1 考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围 1 考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围 1 考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围 2 考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值 2 考点二：单调问题 2 考法5：根据给定单调区间求参数范围 2 考法6：结合单调性与对称性求参数范围 3 考点三：最值问题 3 考法7：恒等变换化简求最值 3 考法8：结合区间最值与相位范围求参数 3 考法9：结合最值与对称轴、零点求参数 4 考点四：极值问题 4 考法10：根据区间内极值点个数求参数范围 4 考法11：结合极值点与周期、对称性求参数 4 考点五：对称性问题 4 考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数 4 考点六：性质的综合问题 5 考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式 5 考法14：结合图象平移或绝对值综合判断函数性质 5 考点一：零点与交点问题 考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围 1.（2025·江苏高邮·一模）已知函数，若在区间内恰好存在三个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2025·衡水中学·检测）已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·浙江稽阳·4月联考）已知函数在内恰好有2027个零点，则实数与正整数的值分别为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·百师联盟·一模）已知函数，若在部分的图象与直线恰好产生了三个交点，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·广东佛山·检测）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是＿＿＿＿＿＿. 考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围 6.（2024·新南方联盟·4月联考）设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 7.（2025·湖北黄冈·9月调研）已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围 8.（2026·河北衡水·4月检测）若为函数的一个零点，且的最小正周期，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值 9.（2026·山东枣庄·一模）记函数的两个零点为和，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·山东潍坊·一模）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考点二：单调问题 考法5：根据给定单调区间求参数范围 11.（2026·名校协作体·二模）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 12.（2026·黄骅中学·一模）函数恒有，且在上单调递增，则＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·湖南衡阳·一模）已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考法6：结合单调性与对称性求参数范围 14.（2026·安徽淮南·二模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 15.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（ 　　） A. 在区间上有且仅有3个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 16.（2026·浙江桐乡·检测）若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（ 　　） A. B. 3 C. 2 D. 考点三：最值问题 考法7：恒等变换化简求最值 17.（2026·湖北黄冈·4月模拟）已知函数，若，，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 18.（2025·江西新余·二模）函数的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考法8：结合区间最值与相位范围求参数 19.（2026·楚天协作体·12月联考）已知函数在上的最小值为，那么实数的最小值为（ 　　） A. B. C. 2 D. 3 20.（2025·衡水中学·检测）（多选）已知函数在上有最大值，无最小值，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 考法9：结合最值与对称轴、零点求参数 21.（2026·金科大联考·2月联考）已知函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 考点四：极值问题 考法10：根据区间内极值点个数求参数范围 22.（2025·南阳一中·三模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 23.（2026·浙江温州·二模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ 　　） A. B. C. 2 D. 4 考法11：结合极值点与周期、对称性求参数 24.（2024·上饶六校·5月模拟）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（ 　　） A. 1 B. C. D. 2 考点五：对称性问题 考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数 25.（2026·山东聊城·二模）已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（ 　　） A. B. C. D. 26.（2025·金科新未来·5月联考）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ 　　） A. 在上有3个零点 B. 在上有3个极值点 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 27.（2026·河南濮阳·二模）已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考点六：性质的综合问题 考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式 28.（2026·前黄高中·检测）已知函数的最小正周期为，若函数在区间上单调递减，且，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 29.（2025·衡水中学·检测）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且. （1）求图象的一条对称轴； （2）若，求. 考法14：结合图象平移或绝对值综合判断函数性质 30.（2026·北斗星盟·5月联考）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ 　　） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 ω的取值范围与最值问题 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 考点一：零点与交点问题 1 考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围 1 考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围 4 考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围 5 考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值 5 考点二：单调问题 6 考法5：根据给定单调区间求参数范围 6 考法6：结合单调性与对称性求参数范围 8 考点三：最值问题 9 考法7：恒等变换化简求最值 9 考法8：结合区间最值与相位范围求参数 10 考法9：结合最值与对称轴、零点求参数 11 考点四：极值问题 12 考法10：根据区间内极值点个数求参数范围 12 考法11：结合极值点与周期、对称性求参数 13 考点五：对称性问题 13 考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数 13 考点六：性质的综合问题 15 考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式 15 考法14：结合图象平移或绝对值综合判断函数性质 17 答案速查表 1 2 3 4 5 A A B C 6 7 8 9 10 A （1） （2） C D 11 12 13 14 15 A 1 C A 16 17 18 19 20 C B CD 21 22 23 24 25 A C C C 26 27 28 29 30 BC 3 D （1） （2） AD 考点一：零点与交点问题 考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围 1.（2025·江苏高邮·一模）已知函数，若在区间内恰好存在三个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】问题化为且上恰好存在三个不同的根，结合余弦函数的性质列不等式求，进而确定最小正周期的范围，即可得答案. 由题设且上恰好存在三个不同的根. 结合余弦函数的图象及性质知，，可得. 所以最小正周期为. 故选：A. 【点拨】本题考查三角函数的零点问题，利用换元法结合余弦函数的图象列出不等式是解题关键. 2.（2025·衡水中学·检测）已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令，则. 因为，所以. 要使在上能取到3个零点，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为（当时），故需满足，解得. 要使在上能取到4个零点，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为（当时），故需满足，解得. 为使在内恰有3个零点，需同时满足和，因此的取值范围为. 故选：A. 【点拨】本题考查三角函数的零点问题，利用整体代换法求出相位的范围，结合正弦函数的图象列出不等式组即可求解. 3.（2026·浙江稽阳·4月联考）已知函数在内恰好有2027个零点，则实数与正整数的值分别为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法1：当，即时，此时，方程不成立，因而可等价于，. 令，.显然函数的周期为，且为奇函数，故研究在时，图象与的交点情况即可.由，故为函数图象的一条对称轴，由复合函数的单调性可知，在区间上，单调递增，且值域为在区间上单调递减，且值域为. 因而在一个周期上，当时，图象与在上无交点，在上有2个交点；当时，图象与在与上均有2个交点；由函数的周期性可知，当时，图象与在上总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得图象与在内恰有2027个交点.又当或时，图象与在上有3个交点，由周期性，所以有2025个解，因而在必须有2个解，所以. 法2：.令，则. 为奇数，有两个根，且，在时可产生3个根，将代入得. 【点拨】本题考查三角函数的零点问题，通过分离参数法或换元法将问题转化为二次方程根的分布问题是解题关键. 4.（2026·百师联盟·一模）已知函数，若在部分的图象与直线恰好产生了三个交点，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】. 令，，，所以. 问题转化为直线与函数，当时，有三个交点. 由. 于是有. 故选：C. 【点拨】本题考查三角函数的交点问题，利用辅助角公式化简函数解析式，再利用整体代换法求出相位的范围是解题关键. 5.（2026·广东佛山·检测）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】函数零点满足，，即，. 因为且，所以为正整数. 因为函数在区间上至少有2个零点， 所以即至少有两个正整数解. 为保证区间至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数和. 所以，即，为使该不等式有解，须满足. 得，又，所以，当时，所以，即的最小值为. 【点拨】本题考查三角函数的零点问题，根据零点表达式结合区间范围列出不等式组求参数范围是解题关键. 考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围 6.（2024·新南方联盟·4月联考）设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将的图象向左平移个单位长度后得到. 令，得. 因为，所以. 因为在上有且只有两个零点， 所以，解得. 故选：A. 【点拨】本题考查三角函数的图象变换及零点问题，根据平移规则求出平移后的解析式，再结合余弦函数的零点分布列出不等式组是解题关键. 7.（2025·湖北黄冈·9月调研）已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） 1 （2） 【解析】（1） . 又的最小正周期为，，则，所以. （2）由（1）知，所以. 由时，得到，所以或. 即或. 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得. 由，令，得；，得. 所以. 故的取值范围是. 【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的图象变换、零点问题，熟练掌握辅助角公式及平移规则，结合正弦函数的零点分布列出不等式组是解题关键. 考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围 8.（2026·河北衡水·4月检测）若为函数的一个零点，且的最小正周期，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题得，所以. 则，因为，所以. 所以，所以，所以，则. 故选：C. 【点拨】本题考查三角函数的零点与周期性，根据零点求出参数的表达式，再结合周期范围确定参数的值是解题关键. 考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值 9.（2026·山东枣庄·一模）记函数的两个零点为和，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，其中. 由，得. 因为，所以. 因为，. 所以直线与曲线在上有两个交点，且关于对称. 所以，即. 所以. 故选：D. 【点拨】本题考查三角函数的零点与对称性，利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的对称性求出两零点之和是解题关键. 10.（2026·山东潍坊·一模）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】. 由，得，解得，即. 因为，所以可取0,1，此时. 因为函数在区间有且仅有两个零点， 所以. 所以实数的最大值为. 【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的零点问题，利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，求出零点表达式是解题关键. 考点二：单调问题 考法5：根据给定单调区间求参数范围 11.（2026·名校协作体·二模）已知函数在区间上单调递增，则取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 因为在区间上单调递增，所以. 解得. 由于区间包含原点附近的正负区间，仅当时的递增区间可以覆盖该区间， 因此，解得. 又，所以. 故选：A. 【点拨】本题考查三角函数的单调性，利用降幂公式化简函数解析式，结合正弦函数的单调区间列出不等式组是解题关键. 12.（2026·黄骅中学·一模）函数恒有，且在上单调递增，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即. 所以，所以. 已知在上单调递增，所以，即，解得. 当时，因为，所以. 因为在上单调递增，所以. 解得，所以. 解得，故. 当时，因为，所以或. 取，则，因为. 所以，故在上单调递减，不满足题意. 同理可得，时，也不满足题意. 综上可得：. 【点拨】本题考查三角函数的单调性与最值，根据最值条件求出参数的表达式，再结合单调区间列出不等式组是解题关键. 13.（2026·湖南衡阳·一模）已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】1 【解析】. ，. ，，，的最大值为1. 【点拨】本题考查三角函数的单调性，利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的单调区间列出不等式是解题关键. 考法6：结合单调性与对称性求参数范围 14.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（ 　　） A. 在区间上有且仅有3个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 【答案】C 【解析】函数. 令，得. 函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数满足. 得，可得. 则. ，即的取值范围是，故C正确. ，，由于得. 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误. 周期，由，得. ，的最小正周期不可能是，故B错误. ，. 又，. 又，在区间上不一定单调递增，故D错误. 故选：C. 【点拨】本题考查三角函数的对称性与零点、单调性，根据对称轴的表达式及区间内对称轴的个数列出不等式组求出参数范围是解题关键. 15.（2026·浙江桐乡·检测）若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（ 　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】函数. 由得，是函数图象的一条对称轴. 则，解得. 当时，. 由函数在有唯一零点，得，解得. 所以当时，取得最大值. 故选：A. 【点拨】本题考查三角函数的对称性与零点，利用辅助角公式化简函数解析式，结合对称性求出参数的表达式，再根据零点个数列出不等式是解题关键. 16.（2026·安徽淮南·二模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为偶函数，则，即①. 又为奇函数，则，即②. 由①-②，整理得，则，其中. 故当时，即时，的最大值为. 【点拨】本题考查三角函数的奇偶性与最值，利用奇偶性的定义列出方程组求出函数解析式，再结合辅助角公式求最值是解题关键. 考点三：最值问题 考法7：恒等变换化简求最值 17.（2026·湖北黄冈·4月模拟）已知函数，若，，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于的取值范围是，，所以当且仅当且. 因为，所以. 要使在上能取到2，则区间内至少要包含一个形如的数. 其中最小的可能值为（当时），故需满足，解得. 要使在上能取到，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为（当时），故需满足. 解得；为使均在内，需同时满足和，因此最小的为. 故选：C. 【点拨】本题考查三角函数的最值问题，根据最值乘积为转化为函数在区间内能同时取到最大值和最小值是解题关键. 18.（2025·江西新余·二模）函数的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由函数 . 当时，即时，函数取得最小值. 【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的最值，利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式是解题关键. 考法8：结合区间最值与相位范围求参数 19.（2025·楚天协作体·12月联考）已知函数在上的最小值为，那么实数的最小值为（ 　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】函数在区间上的最小值为. 令，故只需，即. 故选：B. 【点拨】本题考查三角函数的最值问题，利用换元法将问题转化为正弦函数在给定区间上取得最小值是解题关键. 20.（2025·衡水中学·检测）（多选）已知函数在上有最大值，无最小值，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 【答案】CD 【解析】. 当时，. 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得. 整理得，，所以，解得. 又因为，故，得. A. ，所以函数不是奇函数，故A错误； B. 当时，，因为，所以函数在上不单调递增，故B错误； C. 令，，则，，所以离轴距离最近的对称轴方程为，故C正确； D. 的最小正周期为，故D正确. 故选：CD. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，结合最值条件列出不等式组求出的值是解题关键. 考法9：结合最值与对称轴、零点求参数 21.（2026·金科大联考·2月联考）已知函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为，所以为的对称轴. 所以，即. 因为，，所以. 解得，又，所以. 因为，所以. 所以. 又因为，所以，解得. 又因为，所以. 所以，. 当时，. 所以. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，根据最值条件求出对称轴，结合周期范围求出参数的值是解题关键. 考点四：极值问题 考法10：根据区间内极值点个数求参数范围 22.（2025·南阳一中·三模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以当时，有. 因为在区间内恰有一个极值点，结合正弦函数图象，得，解得，所以的取值范围为. 故选：A. 【点拨】本题考查三角函数的极值点问题，根据正弦函数的极值点分布列出不等式是解题关键. 23.（2026·浙江温州·二模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ 　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】因为，所以. 根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点， 所以，又，所以. 故的取值范围为. 故选：C. 【点拨】本题考查三角函数的极值点问题，根据正弦函数的极值点分布列出不等式求出参数范围是解题关键. 考法11：结合极值点与周期、对称性求参数 24.（2024·上饶六校·5月模拟）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（ 　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】由题意得，，则，由为两个极值点，则，解得，所以. 故选：C. 【点拨】本题考查三角函数的极值点问题，利用辅助角公式化简函数解析式，结合极值点求出两极值点之和是解题关键. 考点五：对称性问题 考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数 25.（2026·山东聊城·二模）已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若，当时，. 因为函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点， 所以，无解. 若，当时，. 因为函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点， 所以，解得. 故选：C. 【点拨】本题考查三角函数的对称性与极值点，根据对称轴和极大值点的分布列出不等式组是解题关键. 26.（2025·金科新未来·5月联考）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ 　　） A. 在上有3个零点 B. 在上有3个极值点 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】由题意得，即，因为，故，. 对于A选项，令可得，令，解得，即或2，故在上有2个零点，A选项错误. 对于B选项，令可得，令，解得，即，故在上有3个极值点，B选项正确. 对于C选项，令，，故的图象关于点对称，C选项正确. 对于D选项，令，，故不是图象的对称轴，D选项错误. 故选：BC. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，根据对称轴求出参数的值，再逐项判断零点、极值点和对称性是解题关键. 27.（2026·河南濮阳·二模）已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】3 【解析】因为是的零点，直线为图象的一条对称轴， 所以，即，所以. 又因为，， 所以，解得. 因为，所以. 又因为在区间上单调，所以，即，所以. 所以. 当时，，因为，所以无解； 当时，，因为，所以无解； 当时，，取，得，此时. 当时，，即. 此时在区间上单调递减，符合题意. 所以的最大值为3. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，根据零点和对称轴求出参数的表达式，结合单调区间求出参数的最大值是解题关键. 考点六：性质的综合问题 考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式 28.（2026·前黄高中·检测）已知函数的最小正周期为，若函数在区间上单调递减，且，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 . 其最小正周期为，解得，又因为，所以. . 因为， 得. . . 由和差化积公式得： . 即，下面分和两种情况讨论. 因为函数在区间上单调递减，所以，所以. 故当时，必有. 分析的单调递减区间：令. 得的递减区间为，，结合. 可得，，. 且当时，有，，此时不等式的等号成立. 若，则，. 因为的递减区间为，. 所以，，所以，即. 又因为关于在时递增，在时递减. 所以的最小值为. 所以的最小值为. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，利用积化和差公式化简函数解析式，结合单调区间和和差化积公式求出两根之和的最小值是解题关键. 29.（2025·衡水中学·检测）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且. （1）求图象的一条对称轴； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为函数在区间单调， ，. 在同一个周期内， ， 图象的一条对称轴为. （2）由（1）知，，即. 又为正整数，所以. 由（1）知，在处取得最值， 所以，，即，. 当时，，，由，知，所以. 所以，不符合题意； 当时，，. 由，知，所以. 所以，符合题意； 当时，，. 由，，所以. 所以，不符合题意. 综上所述，. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，根据对称性求出对称轴，结合单调区间求出参数的值是解题关键. 考法14：结合图象平移或绝对值综合判断函数性质 30.（2026·北斗星盟·5月联考）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ 　　） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 若满足，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】AD 【解析】对于选项A，当时，，. 由，得到或，由，得到. 所以单调递增区间为，；减区间为. 故在处取到极大值，在处取到极小值. 若有三个零点，则，得到，故选项A正确. 对于选项B，当时，. 又，即，由选项A知，在区间上单调递减. 所以，当时，等号成立，故选项B错误. 对于选项C，因为，即，所以关于点中心对称. 又的定义域为. 所以，整理得到，所以选项C错误. 对于选项D，因为，所以. 由题有，即. 由，得到. 令，则，又，所以. 得到. 整理得到，又. 代入化简得到，又，，所以. 得到，即，所以选项D正确. 故选：AD. 【点拨】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，结合对称性判断选项是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $