解答题专训13 圆锥曲线的范围最值问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦圆锥曲线范围最值问题，构建“方法提炼-题型突破-分层训练”体系，以题载法培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|4类核心方法|不等关系法、基本不等式法、函数性质法及5项注意要点|从圆锥曲线定义（如椭圆焦半径范围）到最值求解方法，形成概念-原理-应用链条| |题型通法及变式|4题型（1典例+2变式/题型）|弦长/面积/斜率/向量背景问题的通性解法|题型与方法对应，变式拓展考查维度，强化知识迁移| |分层过关练|巩固12题+创新4题|综合应用前述方法解决复杂情境问题|由基础到创新，覆盖高频考法，提升解题系统性|

解答题专训13 圆锥曲线的范围最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 2 题型2 以面积为背景的最值与范围问题 2 题型3 以斜率为背景的最值与范围问题 3 题型4 以向量运算为背景的最值与范围问题 4 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 1.利用不等关系求最值（范围）的三种方法 2.构造基本不等式求最值的步骤 3.利用函数性质求最值（范围）的方法 根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或导数等分析函数的单调性，从而确定最值（范围）. 4.求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点: （1）圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长);(ii)在双曲线的两支上各取一点,两点间的最小距离为2a(实轴长);(iii)椭圆的焦半径的取值范围为[a－c,a+c],a－c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最长距离;(iv)抛物线的顶点与抛物线的准线距离最近。 （2）求圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常把两点间的距离转化为区间上的二次函数的最值问题,有时也用圆锥曲线的参数方程转化为三角函数的最值问题解决。 （3）圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法。 （4）当点在圆锥曲线上时,求相关式子(目标函数)的取值范围,常把参数方程代入转化为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识,或引入一个参数(有几何意义)转化为函数进行处理。 （5）由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围解题方法是把所求参数转化为关于另一变元的函数求解。 题型通法及变式提升 题型1 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 【典例1】（2026·北京西城·二模）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【变式1】（2026·北京顺义·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于，两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 【变式2】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 题型2 以面积为背景的最值与范围问题 【典例2】（2026·宁夏·一模）已知椭圆：（）的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； 【变式1】（2026·北京大兴·三模）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 【变式2】（2025·北京海淀·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l与圆相切，与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值． 题型3 以斜率为背景的最值与范围问题 【典例3】已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【变式1】已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【变式2】（2026·浙江杭州·模拟）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 题型4 以向量运算为背景的最值与范围问题 【典例4】（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【变式1】（2026·北京海淀一模）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【变式2】（25-26高三上·北京密云期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.（24-25高三下北京延庆一模）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 2.（25-26高三上·北京丰台·期末）已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右顶点为A，过点P (4，0)且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N. 求|PM|+|PN|的取值范围 3.（2026·北京西城·二模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 4．（2026·北京·模拟预测）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P． (1)求点P的坐标； (2)证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值． 5.已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 6．（2026·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 7．（2026·北京石景山·一模）已知椭圆:过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围. 8．已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值. 9．（25-26高三下·北京怀柔期末）已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （i）求点的轨迹方程； （ii）设，，点不在x轴上，若，求的取值范围． 10.（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围． 11．（2026·北京丰台·一模）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点．若，求点横坐标的取值范围． 12．（2026·北京门头沟·一模）已知椭圆： 的离心率为，长轴的右端点为． (1)求的方程； (2)直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上. ①试证明直线过一定点，并求出此定点； ②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）． 创新提升 13．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求； (3)求的面积的最大值． 14．（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N. (1)求椭圆E的方程； (2)若，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围. 15.（2026·山东潍坊一模）已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 16．（2026·广东珠海一模）已知抛物线：，点A在上，点，其中. (1)若，求的最小值； (2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C； （ⅰ）若A是B，Q中点，证明：； （ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训13 圆锥曲线的范围最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 2 题型2 以面积为背景的最值与范围问题 5 题型3 以斜率为背景的最值与范围问题 9 题型4 以向量运算为背景的最值与范围问题 13 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 32 解题方法及技巧提炼 1.利用不等关系求最值（范围）的三种方法 2.构造基本不等式求最值的步骤 3.利用函数性质求最值（范围）的方法 根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数或导数等分析函数的单调性，从而确定最值（范围）. 4.求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点: （1）圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长);(ii)在双曲线的两支上各取一点,两点间的最小距离为2a(实轴长);(iii)椭圆的焦半径的取值范围为[a－c,a+c],a－c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最长距离;(iv)抛物线的顶点与抛物线的准线距离最近。 （2）求圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常把两点间的距离转化为区间上的二次函数的最值问题,有时也用圆锥曲线的参数方程转化为三角函数的最值问题解决。 （3）圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法。 （4）当点在圆锥曲线上时,求相关式子(目标函数)的取值范围,常把参数方程代入转化为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识,或引入一个参数(有几何意义)转化为函数进行处理。 （5）由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围解题方法是把所求参数转化为关于另一变元的函数求解。 题型通法及变式提升 题型1 以弦长或线段长度为背景的最值与范围问题 【典例1】（2026·北京西城·二模）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【解】（1）由题意知，，∴， ∴椭圆的方程为，焦距为． （2）由直线与轴平行，可设， 则，， 根据椭圆与圆的对称性，不妨取， ∵，， ∴直线的斜率为，线段的中点为， ∴线段的垂直平分线为， 令，则， 而，则， 圆在点处的切线方程为， 令，则， ∴线段长度为， 当且仅当，即时，等号成立， 故线段长度的最小值为．    【变式1】（2026·北京顺义·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于，两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 【解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题得​， 由椭圆定义得​的周长为​， 所以​， 所以椭圆​的方程为​． （2）当轴时，与轴重合，不符合题意； 当直线与轴重合时，点的横坐标为， 代入椭圆方程可得​，故， 不妨设，则， 所以， 所以； 当直线斜率存在且不为时， 设，， 则， 联立， ， 由韦达定理，得， 所以， 同理， 所以． 综上所述，的取值范围是． 【变式2】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 【解】（1）由题意可设椭圆，且 所以，解得 所以的方程为. （2）解法一：设点，所以， 由，得，解得. 又，所以，化解得， 所以，由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，则，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 解法二：设点，所以， 由，得，解得. 由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 题型2 以面积为背景的最值与范围问题 【典例2】（2026·宁夏·一模）已知椭圆：（）的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，设为坐标原点，求的面积的最大值； 【解】（1）依题意可得，解得：，所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令， 则，当且仅当，即， 也就是时等号成立，此时的面积达到最大值为. 【变式1】（2026·北京大兴·三模）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 【解】（1）       . 又在椭圆上       . 所以，椭圆方程为. （2）由已知直线的斜率存在. 设直线方程为，，， 由， 得． 由，得．① ，．          又中点在直线上，     即， 将之代入①得 ，所以． ， 点到直线的距离， ． 设，． ． 时，的最大值为． 【变式2】（2025·北京海淀·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l与圆相切，与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值． 【解】（1）由题意可得：，解得：. 故椭圆的标准方程为：； （2）圆的方程为，圆心为，半径为， ①当直线斜率不存在时，的方程为或， 直线与椭圆交点为，的面积为， 根据对称性，直线时，的面积为； ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 由得， 由，得， 则，得. 因为，所以，所以恒成立， 设，则， 所以 ， 所以， 令， 则的面积为， 令， 令，, 所以 因为，从而的面积的最大值为为, 综上，的面积的最大值为. 题型3 以斜率为背景的最值与范围问题 【典例3】已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【解】（1）将点和点代入（）得， 解得，，所以的方程为． （2）由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． （3）设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 【变式1】已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【解】（1）因为是的焦点，所以，得. （2）由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. （3）由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【变式2】（2026·浙江杭州·模拟）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【解】（1）由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. （2）设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. （3）设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 题型4 以向量运算为背景的最值与范围问题 【典例4】（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【解】（1）由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点. 因为 ，所以，即. 因为，所以. 椭圆的方程为，离心率为. （2）由题可知.                                    当直线斜率不存在时，， 所以 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为. 由可得. . 设. 则 因为， 所以 因为，所以. 所以 综上所述，的取值范围为 【变式1】（2026·北京海淀一模）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【变式2】（25-26高三上·北京密云期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【解】（1），，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. （2）直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以， 即取值范围是. 综上，的取值范围为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.（24-25高三下北京延庆一模）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【解】（1）因为的离心率为，且焦距为， 可得且，解得，，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部， 设直线：，且， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 因此 ， 由，可得，即， 所以的取值范围为. 2.（25-26高三上·北京丰台·期末）已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右顶点为A，过点P (4，0)且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N. 求|PM|+|PN|的取值范围 【解】（1）依题意知 解得 所以椭圆E的方程为 （2）由（1）知(2，0)， 设直线的方程为， 由得， ， 由得，且. 设(，)，(，)，， 则， 设(4，)，(4，),依题意有:， 因为，所以.      所以 因为，且，所以， 所以|PM|+|PN|的取值范围是 (，). 3.（2026·北京西城·二模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 【解】（1）由题设                                  解得      所以椭圆的方程为．                             的离心率为． （2）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．             由  得．                      设，则，．          由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等． 所以四边形的面积为面积的倍．                 又， 所以 ．                 所以．             设，则． 所以．              当且仅当，即时，． 所以四边形的面积最大时，． 4．（2026·北京·模拟预测）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P． (1)求点P的坐标； (2)证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值． 【解】（1）设，，，的斜率必存在，设 与抛物线联立可得， ∴， 可知：. ∵，∴ ∵，∴，则 ∴，即. （2）由，可知：， 当与x轴平行时，， ∴存在点T在y轴上，设，， ∴TP为的角平分线，有， ∴， ∵， ∴，∴， ∴存在，使得：恒成立， ∴ ， 当且仅当轴时，面积的最小值为8. 5.已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 【解】（1） 易知点是抛物线的焦点，， 依题意， 所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4， 设该椭圆的方程为， 则， ， 故点的轨迹的方程为. （2）易知直线1的斜率存在， 设直线1：， 由得：， ， 即①又， 故，将，代， 得：， 将②代入①，得：， 即， 即，即， 且， 即的取值范围为或. 6．（2026·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 7．（2026·北京石景山·一模）已知椭圆:过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围. 【解】（1）椭圆:过点，且离心率为 所以，解得，所以椭圆的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，则直线：，代入椭圆方程得， 所以；直线：，代入椭圆方程得，所以， 所以； 当直线的斜率不存在时，同理可得； 当直线,的斜率均存在，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，， 则，消去得， 恒成立，所以， 所以 ； 同理可得，将换成可得 所以， 综上所述，的取值范围是. 8．已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形. (1)求椭圆的方程; (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值. 【解】（1）由题知抛物线的准线为,, 因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,, 故椭圆的标准方程为:; （2）由(1)得椭圆的方程为, 的垂线交轴于,的斜率存在, 连接交椭圆于两点,的斜率不为0, 不妨设,则, 联立,即, , , 设,, ,解得:, 到直线的距离为:, , 当且仅当,即时取等, 故面积的最小值为. 9．（25-26高三下·北京怀柔期末）已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （i）求点的轨迹方程； （ii）设，，点不在x轴上，若，求的取值范围． 【解】（1）设双曲线的右焦点， 其中一条渐近线为：，即， 又因为右焦点到渐近线的距离为：， 由题意可知：，所以，， 将点代入双曲线方程：， 因此双曲线的方程为：. （2）（i）由（1）可知：，， 所以双曲线的渐近线为和， 设，，中点， 则：， 又因为​，所以，即， 将中点代入化简得， 即：点的轨迹方程为：. （ii）设，则，在中， 由正切函数定义可得：， 由二倍角公式​得：， 又因为满足，化简可得：， 即 在中，由大角对大边得，所以​， 又因为，故，得， 因此：，故的取值范围为：. 10.（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围． 【解】（1）如图所示，    由题意知，，即， 故以短轴端点和焦点为定点的四边形为正方形，且边长为， 所以，解得， 所以， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 如图所示，    此时为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以. 当直线的斜率存在时，设的方程为. 如图所示，    由方程组得， 因为直线与椭圆有两个公共点，即，得； 设，则，. 设的中点，则，， 所以.所以， ， 因为点总在以线段为直径的圆内，所以对于恒成立， 所以， 化简，得，整理得， 而（当且仅当时等号成立）所以， 由，得， 综上，的取值范围是. 11．（2026·北京丰台·一模）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点．若，求点横坐标的取值范围． 【解】（1）由题意得 解得，． 所以椭圆的方程是． （2）设（）， 由已知得，， 所以直线，的方程分别为，． 令，得点的纵坐标为，点的纵坐标为， 所以． 因为点在椭圆上，所以， 所以，即． 因为，所以，即． 所以． 整理得，解得． 所以点横坐标的取值范围是． 12．（2026·北京门头沟·一模）已知椭圆： 的离心率为，长轴的右端点为． (1)求的方程； (2)直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上. ①试证明直线过一定点，并求出此定点； ②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）． 【解】（1）解：椭圆：的离心率为，长轴的右端点为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）①联立方程组，整理得， 可得， 设，所以， 因为，即， 可得 ， 所以，解得或， 当时，直线方程为，此时过，不符合题意（舍去）； 当时，直线方程为，此时过，符合题意， 综上可得，直线过定点. ②由题意，从点作垂足为，点， 如图所示，点落在以为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为， 则，所以的最小值为. 创新提升 13．（25-26高三上·北京昌平·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求； (3)求的面积的最大值． 【解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2）    当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设， ， ， 解得， 所以． （3）当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去， 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为：， 联立消去得，， 由，解得， 设， ， 设，则， ， 当且仅当，即时等号成立，即， 解得时取等号，满足， 所以的面积最大为. 14．（2026·北京顺义·二模）已知椭圆的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N. (1)求椭圆E的方程； (2)若，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围. 【解】（1）长轴长为，所以， 又焦点为，所以， 所以， 所以椭圆E的方程为； （2）设，，直线的方程为， 联立，消去y得， 易知，所以， 又M为的中点，所以，， 因为，即，又N为的中点， 不妨用代换，可得，， 讨论：①当时，直线的斜率不存在， 此时，解得， 当时，，，此时的方程为， 所以，点到直线的距离d为， 同理，当，， ②当时，，此时， 所以直线的方程为， 化简可得， 法一：点到直线的距离， 又，所以， 因为，所以， 所以 综上可知，. 法二：直线的方程为， 令，可得，综上可知，直线恒过定点， 故点到直线的距离d的最大值为，此时直线的斜率不存在， 又直线的斜率一定不为0， 所以. . 15.（2026·山东潍坊一模）已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 【解】（1）根据题意可得双曲线的方程为(). 由直线是渐近线，可得. 由，可得. 联立以上两式，解得， 所以双曲线的方程为. （2）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称. 当时，设曲线上的两点关于直线对称， 则且线段的中点在直线上. 设直线的方程为， 联立 消去得. 所以,, 则.① 设线段的中点为， 则，. 因为点在直线， 所以，则.② 由①②可得， 整理可得，解得或.   所以的取值范围是. 16．（2026·广东珠海一模）已知抛物线：，点A在上，点，其中. (1)若，求的最小值； (2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C； （ⅰ）若A是B，Q中点，证明：； （ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围. 【解】（1）当时，，设， 所以， 当，等号成立，即，所以最小值为； （2）（ⅰ）设直线：，，，， 不妨设，因为A是B，Q中点，所以，得，即， 由，所以，即， 所以，由，所以，即； （ii）由（ⅰ）有，所以， 设B，C的中点为，所以，由有，所以，即， 所以，即在点处的切线为， 由在切线上，所以， 又因为，所以，即， 由，解得：， 记为，由对称性不妨设， 所以，令，得，即， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，所以，由对称性有. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $