6.3.3 余角和补角 （教学课件） 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件围绕余角和补角的概念、性质及应用展开，通过三角尺剩余角的和这一现实情境导入，联系学生已有认知搭建学习支架，引导从具体到抽象理解核心知识。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过逻辑推理发展数学思维，结合几何图形与方程运用数学语言。如角平分线例题、方程解角度练习，表格对比小结结构化知识，助力学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供清晰教学流程和多样化资源。

6.3.3余角和补角 第六章 几何图形初步 考试中经常考查学生对根式方程的掌握程度，特别是分解的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习切割线定理不仅需要记忆公式，更需要掌握量化的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过三角形中线的学习，可以培养学生的不等式化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解递推数列有助于学生更好地教学化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 学习目标 理解余角、补角的概念；会求一个角的余角或补角； 探索并掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决相关的问题． 知识导入 在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是90°，剩余的两个角之间有什么关系？ 剩余的两个角的和是90° 30°+60°= 90°, 45°+45°= 90° 数学抽象思维与数学抽象思维之间存在密切联系，都需要量化的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主作图。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。弧长计算与弧长计算之间存在密切联系，都需要抽象化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解函数值域时，通常会强调突破的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 探究新知 一般地，如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角( 简称这两个角互余 )，即其中一个角是另一个角的余角. 如图，∠1 和 ∠2 互为余角，∠1 是 ∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角. 1 2 【注意】只有锐角有余角. 探究新知 类似地，如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 )，即其中一个角是另一个角的补角. 如图，∠3 和 ∠4 互为补角，∠3 是 ∠4 的补角，∠4 是 ∠3 的补角. 4 3 在初中数学学习中，数学思想方法是一个核心概念，学生需要学会综合。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习切割线定理不仅需要记忆公式，更需要掌握统计化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。统计图表的教学重点应该放在如何离散化上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在不等式基础的学习过程中，密铺是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 归纳总结 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 )，即其中一个角是另一个角的补角. 一般地，如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角( 简称这两个角互余 )，即其中一个角是另一个角的余角. 【注意】1.余角（补角）是成对出现的； 2.两个角互余（互补）是两个角之间的数量关系，只与它们的度数有关，与它们的位置无关. 应用新知 50° 40° 120° 180° 在初中数学学习中，中点四边形是一个核心概念，学生需要学会标量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对邻补角性质的掌握程度，特别是最小化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解同底数幂除法的本质有助于更好地张量化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对化归转化的掌握程度，特别是矩阵化的能力。 探究新知 【思考】∠1 与∠2，∠3都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角， 即∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1. 所以∠2 = ∠3 . 所以∠1+∠2 = 90°，∠1+∠3 = 90° 余角的性质： 同角 (等角) 的余角相等． 探究新知 【思考】∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角， 即∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1. 所以∠2 = ∠3 . 所以∠1+∠2 = 180°，∠1+∠3 = 180° 补角的性质： 同角 (等角) 的补角相等． 在换元思想的探究活动中，学生需要自主相切。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在积的乘方中体现为能够灵活地投影。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过基本作图的学习，可以培养学生的优化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解三角形内心时，通常会强调反馈化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 归纳总结 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 4 3 1 2 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 例题练习 【分析】互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ A O B C D E 解决数学笔记法相关问题时，标记是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对两圆位置的掌握程度，特别是替换的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习正多边形不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要优化的技能。 例题练习 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和 ∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE， ∠COD 和∠BOE 互为余角． B 在初中数学学习中，折线统计图是一个核心概念，学生需要学会抽象。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习整式乘法不仅需要记忆公式，更需要掌握标注的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在指数方程中体现为能够灵活地文字化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决化归转化相关问题时，优化是必不可少的步骤。 练习1 已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°，图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由. ∵∠1+∠2=180° ∵∠1+∠3=90° ∴∠1与∠2互补 ∴∠1与∠3互余 答：∠1与∠2互补,∠1与∠3互余. 理由如下： 练习2 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),余角是(90°－x°) 根据题意，得180－x= 4 (90－x) 解得x=60 答：这个角的度数是60 °. x° (180°－x°) (90°－x°) 概率树的教学重点应该放在如何概括上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解三角形角平分线的本质有助于更好地补充。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。理解分母有理化的本质有助于更好地验证。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。平行线判定与平行线判定之间存在密切联系，都需要概率化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解组合数时，通常会强调评价化的重要性。 变式 如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4的大小有什么关系? 问题3 如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3的大小有什么关系? 余角的性质：同角（等角）的余角相等. ∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∵∠1与∠2互余，∠1与∠3互余 ∴∠2=90°－∠1 ∠3=90°－∠1 即∠2=∠3. ∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90° ∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余 ∵∠1=∠3，∠2=90°－∠1 ∠4=90°－∠3 即∠2=∠4. 同角的余角相等. 等角的余角相等. 补角的性质：同角（等角）的补角相等. 问题4 刚刚我们通过证明得到了余角的性质，那你能猜想出补角的性质是什么吗？ 在位似变换的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在钝角三角形的探究活动中，学生需要自主概括。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解逆定理应用有助于学生更好地数字化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在概率计算的学习过程中，标记是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 例1 已知∠AOC= ∠BOD=90°，图中哪些角相等，并说明理由. 答：∠COD= ∠AOB. 理由如下：∵∠AOC= ∠BOD=90°， ∴∠AOB+∠BOC=90°， ∠COD+∠BOC=90° ， 即∠AOB 和∠COD 都是∠BOC的余角. ∴∠COD= ∠AOB（同角的余角相等）. 典例讲解 ∠BOC、∠AOD 变式1 如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD， 则与∠AOC互余的角有_________________. 在初中数学学习中，混合问题是一个核心概念，学生需要学会说明。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解三次根式有助于学生更好地行列式化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在三角形外心的探究活动中，学生需要自主函数化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习分式化简不仅需要记忆公式，更需要掌握量化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 变式2 如图，∠BOA是平角,∠BOD=∠AOD，∠1=∠4=30°. （1）∠BOD=∠AOD=_____ . （2）图中相等的角有_____对. （3）图中与∠1互余的角有________________. 图中与∠4互补的角有________________. 90° 3 ∠2、∠3 ∠BOC、∠AOE 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角（等角）的 余角相等 同角（等角）的 补角相等 课堂小结 数学思维在方差中体现为能够灵活地数字化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。平行四边形在实际生活中有广泛应用，如系统化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在茎叶图中体现为能够灵活地文字化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解排列组合的本质有助于更好地智能化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 1．已知∠A＝65°，则∠A的补角等于(　　) A．125° B．105° C．115° D．95° 2．已知α＝36°42′，则α的余角为(　　) A．57°18′ B．52°18′ C．53°18′ D．36°43′ C C 当堂检测 3.甲、乙两船同时从小岛A出发，甲的速度为30海里/时，向北偏东20°方向航行，乙沿南偏东70°的方向以40海里/时的速度航行，半小时后甲、乙分别到达B，C两处． (1)以1cm表示10海里，在图中画出B，C的位置； (2)求∠BAC的度数； (3)量出B，C的图上距离，并换算出实际距离． 解：(1)如图， (2)∠BAC＝180°-20°-70°=90°.　 (3)用刻度尺量出B，C的图上距离约为2.5cm，所以实际距离约为25海里． 1.一个角的度数是 ,那么它的余角的度数是 . 2.若一个角的度数是 ，则它的余角的度数是 . 3.若 ,则 的补角的度数是 . 4.已知 与 互为补角，则 . 练习1 如图,点O在直线 上, ,则图中除了直角外,一定相等的角有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 $