第25章 一元二次方程的整数根问题 专题练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程整数根问题，通过根系关系与整除性质构建解题体系，体现从概念到应用的逻辑递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程整数根|12题（含多问）|根系关系（韦达定理）、整数和积性质、整除分析、二次项系数分类讨论|以判别式为基础，结合韦达定理建立参数与整数根的关系，通过整数性质推理参数取值，形成“判定根存在-分析根特征-求解整数参数”的逻辑链|

1. 当整数取何值时，关于的方程的根为整数． 2. 关于的方程的根为正整数，且为整数，求的值． 3. 已知为整数，且关于的方程有两个不相等的正整数根，求的值． 4. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：无论常数取何值，方程总有实数根． （ 2 ）当整数取何值时，方程有两个整数根． 5. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）证明：不论为何值时，方程总有实数根． （ 2 ） 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． （ 3 ）若一元二次方程的两个实数根，，满足，求的值． 6. 已知：关于的一元二次方程． （ 1 ）求证：不论实数取何值，方程必有两个实数根． （ 2 ）若方程有一个根大于且小于，求实数的取值范围． （ 3 ）若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值． 1. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 1 ）求实数的取值范围． （ 2 ）若为正整数，求该方程的整数根． 2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 3. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （ 2 ）在（ ）的条件下，选择一个恰当的的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根． 1 学科网（北京）股份有限公司 4. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若，是否存在整数，使方程有两个整数根，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5. 已知，且关于的二次方程有两个整数根，整数（ ）． A. B. C. D. 1. 当为何整数时，方程有整数解． 2. 求所有整数，使方程的根都是整数． 方法说明：原方程的两根不容易求出，还可以从根系关系入手，利用整数的和与积仍为整数，再利用整除性质求解，注意对二次项系数的讨论． 3. 当是什么整数时，关于的方程的两根都是整数？ 4. 当整数取何值时，关于的方程 有整数根． $ 1. 已知方程有两个不相等的负整数根，求整数的值． 2. 已知方程是关于的一元二次方程． （ 1 ）求证：对任意不为零的实数，方程总有两个实根． （ 2 ）若方程的两根均为整数，且有一根大于，求满足条件的整数的值． 3. 已知方程有两个不相等的整数根， （ 1 ）求整数的值． （ 2 ）求实数的值． 4. 完成下面问题． （ 1 ）若关于的方程的解都是整数，求符合条件的整数的值． （ 2 ）在第（ ）问中，若为实数，求符合条件的所有实数的值． 5. 回答下列问题． （ 1 ）若关于的方程的解都是整数，求符合条件的所有整数的值． （ 2 ）在第（ ）问中，若为实数，求符合条件的所有实数的值． 1. 求关于的方程有整数根．为正整数时，的值． 2. 已知一元二次方程，且是边长为的菱形对角线的长，求取什么整数值时，方程的根都是整数？ 3. 解答下列各题． （ 1 ）已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数 ． （ 2 ）当是什么整数时，关于的一元二次方程与 的根都是整数． 1 学科网（北京）股份有限公司 1. 求关于的方程有整数根．为正整数时，的值． 2. 已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根． 3. 已知关于的方程对于任意有理数均有有理根，求的值． 4. 已知关于的方程． （ 1 ）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （ 2 ）当方程有两个相等的实数根时，求关于的方程的整数根（为正整数）． $ 1. 当整数取何值时，关于的方程的根为整数． ， ， ． 当 时， ， 当 ∵ 和 ∴ 时，该方程为一元二次方程， 为整数， ， ， ， 综上，当 ， ， 时，方程的根为整数． 【知识点】整数根-分离常数法 2. 关于的方程的根为正整数，且为整数，求的值． 或 或 或 ． 当 有整数根 时，方程可化为 ，满足题意． ， 当 时，∵ ， ， 或 ， ∴ ， ． 又∵该方程的根为正整数且 为整数， ∴ ∴则 为大于 或 或 的整数， ． 的值为 或 或 或 ． 【知识点】整数根-分离常数法 3. 1 学科网（北京）股份有限公司 已知为整数，且关于的方程有两个不相等的正整数根，求的值． ． 原方程化为： ， ． 所以 ． 因方程的根为正整数， 因而推知 ，此时 ， ． 【知识点】整数根-分离常数法 4. 已知关于的方程． （ 1 ）求证：无论常数取何值，方程总有实数根． （ 2 ）当整数取何值时，方程有两个整数根． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 或 或 或 ． （ 1 ）①当 ②当 ， ∴ 即 时，方程化成 ，解得 ， 即 时，方程是一元二次方程， ， ， ， ∴方程总有两个不相等的实数根， ∴综上所述，无论常数 取何值，方程总有实数根． （ 2 ） ， ∴ 而 ∴当即 ， ， ， ， 时， 为整数， 或 或 或 ，方程有两个整数根． 【知识点】整数根-分离常数法 5. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）证明：不论为何值时，方程总有实数根． （ 2 ） 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． （ 3 ）若一元二次方程的两个实数根，，满足，求的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） ∵不论 为何值时， ， ， ∴ ， ∴方程总有实数根． （ 2 ）解方程得， ， ， ， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴ 或 ， ∵ 不合题意， ∴ ． （ 3 ） ，化简得 ， 代入等式 ∵ ∴代入 ，化简得 ． ， ，得 ， ∴ ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 6. 已知：关于的一元二次方程． （ 1 ）求证：不论实数取何值，方程必有两个实数根． （ 2 ）若方程有一个根大于且小于，求实数的取值范围． （ 3 ）若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） ， ， ． （ 1 ）解法一： 由题意，得 ，∴ ， ∴不论实数 取何值，方程必有两个实数根． 解法二： 原方程因式分解得 （ 2 ）由（ ）可知，方程两根为 ， ， ，∵ ，∴ ，∴原方程必有两个实根． ，化简得 由 ∴综上所述， （ 3 ）∵ 为整数， 可知， ；由 可知， ； ． 为正整数，∴ ， ， ． 【知识点】整数根-分离常数法 1. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 1 ）求实数的取值范围． （ 2 ）若为正整数，求该方程的整数根． （ 1 ） （ 2 ） ． ， ． （ 1 ） ． ∵原方程两个不相等的实数根， ∴ ． ∴ ． （ 2 ）∵ 为正整数， ∴ 或 ． ∵方程的根都是整数， ∴ 是完全平方数． ∴ ． ∴原方程变为： ．解得 ， ． 2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）由题意得： ， 解得： ． （ 2 ）由 为正整数，可知 求根公式得 ∵方程的根为整数， 或 ， ， ∴ 为完全平方数， 则 的值为 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 3. 已知关于的一元二次方程． （ 1 ）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （ 2 ）在（ ）的条件下，选择一个恰当的的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根． （ 1 ） （ 2 ）当 ． 时， ， ． （ 1 ） ． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）在（ ）的条件下，当 该方程可化为 ∴两个整数根为 时， ． ， ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 5 学科网（北京）股份有限公司 4. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （ 1 ）求的取值范围． （ 2 ）若，是否存在整数，使方程有两个整数根，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ）存在， ． （ 1 ） （ 2 ）存在整数 ，使方程有两个整数根， 原因：方程的解为 ， ∵ ， 为整数， ∴ 且为整数， ∴ ， 又∵方程有两个整数根， ∴ 0或 或 ， ∴ 或 或 ， ∴ ， 当 时， ， 符合题意． 【知识点】整数根-△为给定范围一次式 ，得 ． 5. 已知，且关于的二次方程有两个整数根，整数（ ）． A. B. C. D. C 由原方程有整数解可知， 可知，为奇数，故 ． 必然是一个完全平方数． 又 又 ∴ ， ， 此时原方程的两个实数根为： ， 不妨设 故 ，则 ， ． ． 满足 为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意． 故选 ． 【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式 1. 当为何整数时，方程有整数解． 或 ． 方法一：将方程 左边因式分解可得 故 ，或 ，或 ，或 解得 ， ， ， ． 方法二：将方程 由原方程有整数解，首先必须满足方数， 整理成标准形式： 为一个完全平 不妨设 又 ，则有 的奇偶性相同， ， 、 故它们必然同为偶数，则有 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ， 代入 中检验可知，均满足题意，故 或 ． 【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式 2. 求所有整数，使方程 的根都是整数． 7 学科网（北京）股份有限公司 方法说明：原方程的两根不容易求出，还可以从根系关系入手，利用整数的和与积仍为整数，再利用整除性质求解，注意对二次项系数的讨论． 或 ． ①当 时， 时， ， ． ②当 由根与系数关系得： ， ， ∵根都是整数， ∴ ， 检验： 不符合（舍）．综上所述， 或 ． 【知识点】整数根-分离常数法 3. 当是什么整数时，关于的方程的两根都是整数？ 或 ． 设方程的两整数根分别是 ， ， 由韦达定理得 消去 ，可得 ， ， ， ， 则有 或 ， 解得： 或 ， 由此 ∴ 或 或 ， ． 【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式 4. 当整数取何值时，关于的方程有整数根． ． 当 时， ， （舍）． 当 设 时，该方程为一元二次方程， （ 为正整数）， ，则 ， ， 或 ， 则 ． 【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式 $ 1. 已知方程 有两个不相等的负整数根，求整数的值． ． 由题意得： ， ， ∴ ， ， 由求根公式得： ， ， ∵方程有两个不相等的负整数根， ∴ ， ， ， ， ， ， ， 即： ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ 或 ． ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 2. 已知方程是关于的一元二次方程． （ 1 ）求证：对任意不为零的实数，方程总有两个实根． （ 2 ）若方程的两根均为整数，且有一根大于，求满足条件的整数的值． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ 1 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴对任意不为零的实数 ，方程总有两个实根． （ 2 ）一元二次方程可化为 ，则 ， ， ∵方程两个根均为整数，且有一个根大于 ，而 ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】整数根-分离常数法 3. 已知方程有两个不相等的整数根， （ 1 ）求整数的值． （ 2 ）求实数的值． （ 1 ） （ 2 ） ， ． ， ， ． （ 1 ） 因为方程有两个整数根，即 ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 （ 2 ）由 化简得 ， 所以 ， ． ， 得 ， ， ，所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】整数根-分离常数法 4. 完成下面问题． （ 1 ）若关于的方程的解都是整数，求符合条件的整数的值． （ 2 ）在第（ ）问中，若为实数，求符合条件的所有实数的值． （ 1 ） ， ， ， ， ． （ 2 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ． （ 1 ）当 时，解得 ；当 时，解得 ． 当 解得 且 时，原方程可分解为 ， ， ． 是整数知 是整数知综上所述， （ 2 ）由（ ）知 ， ， ， ， ，故 ，故 ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 时原方程的解都是整数． 或 时，原方程的解都是整数． 当 且 整理得于是有 时，原方程解得 ，分解得 ，解得 ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是 综上 ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 时原方程的解都是整数． 【知识点】由一元二次方程的解求参数的值 5. 回答下列问题． （ 1 ）若关于的方程的解都是整数，求符合条件的所有整数的值． （ 2 ）在第（ ）问中，若为实数，求符合条件的所有实数的值． （ 1 ） （ 2 ） ， ， ， ． ， ， ， ， ． （ 1 ）当 时，解得 ；当 时，解得 ． 当 且 解得 时，原方程可分解为 ， ， ． 由 是整数知 由 是整数知综上所述， （ 2 ）由（ ）知 ， ， ，此时 ， ，此时 ， ， ； ， ， ， ， ． ， ， ， 时原方程的解都是整数． 或 时，原方程的解都是整数． 当 即 且 时，原方程解得 ，整理得 ， (这一步也可以用分离常数法，解得 ， ，分解得 ，两种方法完全等价) ， 于是有 ， ，解得 ， ， ， 于是 ， 综上所述，当 ， ． ， ， ， ， 时，原方程的解都是整数． 【知识点】由一元二次方程的解求参数的值 1. 求关于的方程有整数根．为正整数时，的值． 当 和 时，符合题意． ． ∵ 为正整数， ∴ 当当当 ，即 时，时，时， ， ， ． （不为完全平方数，舍弃）； ， ， ， ； ； 所以，当 和 时，符合题意． 【知识点】整数根-△为给定范围一次式 2. 已知一元二次方程，且是边长为的菱形对角线的长，求取什么整数值时，方程 的根都是整数？ 时，方程 的根都是整数． ∵ 为一元二次方程， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ． 是边长为 的菱形对角线的长， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ． ， ， ， ∵ 为整数， ∴ 当当当 ∴ 或 或 ． 时，时，时， ． ，方程为 ，不符合题意； ，不符合题意． ，根为 ， ，符合题意； 【知识点】整数根-△为给定范围一次式 3. 解答下列各题． （ 1 ）已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数 ． （ 2 ）当是什么整数时，关于的一元二次方程与 的根都是整数． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）由题意得， 又 可知， ，又 必然是一个完全平方数． 为奇数，故 ． 此时原方程的两个实数根为： ，不妨设 ，则 ， ， 故 意． ．满足 为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注 （ 2 ）由题意可知，方程 的判别式 ， 方程 的判别式为 故 ，又 为整数， ，故 或 ， 当 时，题干中的两个方程分别为 、 ，满足题意； 当 时，题干中的两个方程分别为 、 ，不合题 意． 故 ． 也可通过方程是否有整数根的条件来判断出 ，此时两个判别式都要是完全平方数． 【知识点】一元二次方程根的判别式 1. 求关于的方程有整数根．为正整数时，的值． 、 、 ． ∵ ． 由 为正整数，当 设 ∴ 不妨设 是完全平方数时，方程才有可能有整数根． （其中 ．即 为整数）， ，两式相加，得 （ 、 均为整数）， ． ． ∵ ∴ ∴ ∴当当 当 与 的奇偶性相同， 可分解为 或 或 或 ， ， ， ， 或 或 ． （不合题意，舍去）或 ． 时，方程的两根为 时，方程的两根为时，方程的两根为 ，即 ，即 ，即 ， ， ； ； ， ． 【知识点】整数根-△为给定范围一次式 2. 已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根． 当 时，原方程的三个根为 ， 和 ； 当 时，原方程的三个根为 ， 和 ． 观察易知方程有一个整数根 将方程的左边分解因式，得：因为 是正整数， 所以关于 的方程： 两个不同的实数根． ， ． ①的判别式 ，它一定有 而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数， 因此它的判别式 设 则 显然而 所以 与 应该是一个完全平方数． (其中 为非负整数)， ，即： 的奇偶性相同，且 ， ． ， ． 或 或 ， 解得 或 或 ． 而 是正整数， 所以只可能 或 ． 当 时，方程①即 ，它的两根分别为 和 ． 此时原方程的三个根为 ， 和 ． 当 时，方程①即 ，它的两根分别为 和 ．此时原方程的三个根为 ， 和 ． 【知识点】解一元二次方程 3. 已知关于的方程 对于任意有理数均有有理根，求的值． ． 因为关于的方程均有有理根,所以方程 的判别式 必为完全平方式； 所以关于 的一元二次方程 所以 必有两个相等的实根； ；所以 ． 故答案为： ． 【知识点】一元二次方程的有理根 4. 已知关于的方程． （ 1 ）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （ 2 ）当方程有两个相等的实数根时，求关于的方程的整数根（为正整数）． （ 1 ） 的取值范围是 且 ． （ 2 ）当 时，方程的两根为 ， ；当 时，方程的两根为 ， ；当 时，方程的两根为 ， ． （ 1 ） ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即 ． ∴ 的取值范围是 且 ． （ 2 ）当方程有两个相等的实数根时， ． ∴ ． ∴关于 的方程为 ． ∴ ． 由 为正整数，当 是完全平方数时，方程才有可能有整数根．设 （其中 为整数）， （ 、 均为整数）， ∴ ．即 ． 不妨设 ，两式相加，得 ． ∵ 与 的奇偶性相同， ∴ 可分解为 ， ， ， ， ∴ 或 或 或 ． ∴ 或 或 （不合题意，舍去）或 ． 当 时，方程的两根为 ，即 ， ；当 时，方程的两根为 ，即 ， ；当 时，方程的两根为 ，即 ， ． 【知识点】整数根-分离常数法 $