第1章 集合与逻辑单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 沪教版《集合与逻辑》单元检测卷，21题150分，覆盖集合表示、运算、逻辑命题及充要条件，通过基础巩固、能力提升与创新应用梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合列举、交集运算、反证法假设、充要条件判断|基础题（如集合列举）到提升题（参数范围），融入体育测试数据情境（第11题）| |选择题|4/18|命题识别、反证法假设、充要条件证明、集合新定义|结合王维诗句考命题概念（第13题），以“闭集合”新定义考逻辑推理（第12题）| |解答题|5/78|命题真假求参数、充要条件应用、集合存在性证明|分层设问（如第21题三问递进），通过新定义证明（闭集合性质）培养数学思维与表达|

【学生版】 【沪教版】《第1章 集合与逻辑》单元检测卷 （本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．用列举法表示集合可以是 ． 【提示】 【解析】 【答案】 【说明】 2．已知集合，，则（    ） 3．已知集合，若，则的值为__________. 4．已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是________ 5．已知集合，集合，若，则实数的值为___________ 6．已知集合，集合，集合，若，则实数m的取值范围是_____________． 7．用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该 是 8．设，则“”是“”成立的 条件；（在：“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件” 中选一个填上） 9．已知p：或，q：或．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围 为__________． 10．已知集合，集合；当为非空集合时，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 11．某班45名学生参加“体育测试”活动，每位学生都参加“跳绳､100米短跑”两个项目的测试；依据测试成绩，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表： 等级项目 优秀 合格 合计 跳绳 30 15 45 100米短跑 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为_________ 12．给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13． “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思 14．用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设（ ） A． B． C．且 D．或 15．若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③不是的子集的充分条件是 ④的充要条件是 其中真命题的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知命题：，命题：． （1）当时，命题和中至少有一个为真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知，． （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数的值；若问题中的集合不存在，说明理由； （1）问题①：是否存在集合满足集合，集合且 ，使得成立？ （2）问题②：是否存在集合满足集合，集合且 ，使得成立？ （3）问题③：是否存在集合满足集合，集合且 ，使得是的真子集成立？ 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 以某些整数为元素的集合具有以下两个性质： ①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则． （1）若，求证：； （2）求证：； （3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由． 【解析版】 【沪教版】《第1章 集合与逻辑》单元检测卷 （本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．用列举法表示集合可以是 ． 【提示】根据限制条件写出集合的元素即可； 【解析】，故答案为：； 【答案】； 【说明】本题考查了集合的表示方法； 2．已知集合，，则（    ） 【提示】由交集定义运算即可得结果； 【答案】； 【解析】根据交集运算可求得； 【说明】本题主要考查了集合运算； 3．已知集合，若，则的值为__________. 【提示】分类讨论和，注意元素的互异性； 【答案】； 【解析】因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：； 【说明】本题主要依据元素与集合的关系求参数；同时考查了集合元素的互异性与分类讨论思想； 4．已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是________ 【提示】分类讨论以确定集合是否是空集，再根据从而解得的取值范围； 【答案】； 【解析】当时，集合满足； 当时，要使得，则需满足，即满足此种情况的的取值范围为； 综上，当时，实数的取值范围为． 故答案为： 【说明】本题综合考查根据集合的包含关系求参数； 5．已知集合，集合，若，则实数的值为___________ 【提示】结合题意得到，进而建立方程并合理取舍，最后得到参数值即可； 【答案】； 【解析】因为，所以， 而，则讨论即可， 当时，可得，解得或， 当时，不满足互异性，故排除， 当时，，满足条件，所以. 故答案为：； 【说明】本题综合考查了利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数； 6．已知集合，集合，集合，若，则实数m的取值范围是_____________． 【提示】先求出，由此利用集合，，列出不等式，即能求出实数m的取值范围； 【答案】； 【解析】因为，集合，集合， 所以，， 集合， 又， 所以，，解得． 所以，实数m的取值范围是． 故答案为：； 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、交集的概念及集合运算； 7．用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该 是 【提示】根据命题的结论的否定进行判断即可； 【答案】都不能被5整除； 【解析】“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”； 【说明】本题主要考查了反证法的概念辨析； 8．设，则“”是“”成立的 条件；（在：“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件” 中选一个填上） 【提示】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断即可求解； 【答案】充分不必要条件； 【解析】若，则同号，此时， 当，比如，不满足， 故“”是“”成立的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要条件 【说明】本题考查判断命题的充分不必要条件与举反例否定命题的应用； 9．已知p：或，q：或．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围 为__________． 【提示】由p是q的必要条件，有，列不等式组求实数a的取值范围； 【答案】； 【解析】因为，p是q的必要条件，所以，，则有，解得. 则实数a的取值范围为 故答案为： 【说明】本题考查了根据必要求参数； 10．已知集合，集合；当为非空集合时，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 【提示】且，得到，解得答案； 【答案】； 【解析】，故，即， 是的充分不必要条件，故，则，解得. 综上所述：. 【说明】本题考查了；描述法表示集合、根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数； 11．某班45名学生参加“体育测试”活动，每位学生都参加“跳绳､100米短跑”两个项目的测试；依据测试成绩，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表： 等级项目 优秀 合格 合计 跳绳 30 15 45 100米短跑 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为_________ 【提示】用集合表示跳绳优秀的学生，表示100米短跑优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示跳绳合格的学生，则表示100米短跑合格的学生，作出文氏图，易得它们的关系，从而得出结论； 【答案】15； 【解析】用集合表示跳绳优秀的学生，表示100米短跑优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示跳绳合格的学生，则表示100米短跑合格的学生， 作出文氏图，如图， 设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为， 由图可得，， 因为，所以． 故答案为：； 【说明】本题考查了集合思想的应用与集合的文氏图表示的的应用； 12．给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 【提示】对于①，令，，即可判断；对于②，两个正整数的差可能是负整数，即可判断；对于③，任取，，则，，，，结合新定义即可判断；对于④，令，，结合新定义即可判断； 【答案】②③； 【解析】对于①，因为，，但是， 所以不是闭集合，故①错误； 对于②，对于正整数集，因为,， 但是，所以正整数集不是闭集合，故②正确； 对于③，任取，，则，，，， 则，，， 所以，，， 所以是闭集合，故③正确； 对于④，由③可得是闭集合，是闭集合， 所以或，则有，， 但，则不是闭集合，故④错误. 故答案为：②③. 【说明】本题综合考查了判断元素与集合的关系、集合新定义；解决集合知识和新定义的问题，在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律； 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13． “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思 【提示】根据命题的定义判断可得出结论； 【答案】A； 【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句是命题； 对于B选项，“春来发几支”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A. 【说明】本题主要考查了命题的概念； 14．用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设（ ） A． B． C．且 D．或 【提示】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论； 【答案】D； 【解析】根据反证法证明数学命题的方法， 应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”，故选D. 【说明】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定； 15．若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【答案】C； 【解析】因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C； 【说明】本题考查了充要条件的判别与证明； 16．有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③不是的子集的充分条件是 ④的充要条件是 其中真命题的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【提示】根据的定义判断①；根据子集的定义判断②③；根据集合相等判断④； 【答案】A； 【解析】①，集合与集合没有公共元素， 所以充要条件是，故①正确； ②集合中的元素都是集合中的元素，则，故②正确； ③当时，则，由无法得到不是的子集，故③错误； ④集合中的元素与集合中的元素完全相同，但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，故④错误． 故选：A； 【说明】本题综合考查了充分条件、判断命题的必要不充分条件与新定义； 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 【提示】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 【说明】本题主要考查了已知命题的真假求参数； 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知命题：，命题：． （1）当时，命题和中至少有一个为真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【提示】（1）依据真命题的知识求得的取值范围. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）当时，命题，即为， 命题，即为 因为命题和中至少有一个是真命题， 所以，即的取值范围. （2）因为是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，即实数的取值范围． 【说明】本题考查了已知命题的真假求参数、根据充分不必要条件求参数、依据一元二次函数图像解不含参数的一元二次不等式； 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知，． （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【提示】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可； 【解析】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）存在，； 要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件； 【说明】本题主要考查了必要条件、根据充要条件求参数； 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数的值；若问题中的集合不存在，说明理由； （1）问题①：是否存在集合满足集合，集合且 ，使得成立？ （2）问题②：是否存在集合满足集合，集合且 ，使得成立？ （3）问题③：是否存在集合满足集合，集合且 ，使得是的真子集成立？ 【提示】（1）问题①则可得则，根据元素与集合的关系可解； （2）问题①则的两根为，根据韦达定理可解； （3）问题①③，由则或，从而可解. 【答案】（1）时，使得问题①成立；（2）时使得问题②成立；（3）时，使得问题③成立； 【解析】， （1）问题①，要使得，则， 所以且，解得； （2）问题②，由，即的两根为， 由韦达定理可得，解得； （3）问题③，，由则或或， 当时，， 当时，无解， 综上可得，时，使得问题①、问题③成立； 时使得问题②成立. 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数； 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 以某些整数为元素的集合具有以下两个性质： ①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则． （1）若，求证：； （2）求证：； （3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由． 【提示】（1）设，得，进一步得到； （2）设，进一步得到，同理得到，从而得到； （3）利用反证法进行证明，从而得出结论； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）集合为无限集；理由见解析； 【解析】（1）由②若则可得： 若，则， （2）证明：由①，可设且；即为正整数，为正整数，由②可知，个相加属于集合，即，同理，个相加属于集合，即，； （3）判断：集合为无限集． 假设集合为有限集，则集合中必最大值，且最大值为正数，不妨设最大值为，由（2）若，，则可得：与集合的最大值为矛盾，所以集合为无限集． 【说明】本题综合考查了判断元素与集合的关系与反证法的应用； 第6页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $