第一章 集合与逻辑 章节验收测评卷（单元复习）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第一章 集合与逻辑 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若全集，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的概念运算可得答案． 【详解】解：，全集， 所以或， 即． 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过计算判别式判断，对于②，利用不等式的性质判断，对于③，举例判断，对于④，由等式的性质判断. 【详解】对于①，因为当时，，所以方程有实数根，所以①是真命题； 对于②，因为，，所以，所以②是真命题； 对于③，对角线相等的四边形可能是矩形，可能是等腰梯形，也可能是其它四边形，所以③是假命题； 对于④，由，得或，即、中至少有一个为0，所以④为真命题. 故答案为：①②④ 3．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【答案】或. 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【详解】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或. 故答案为：或. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）设全集，集合或，，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合的补集，再求出. 【详解】因为全集，集合或， 所以或， 因为， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 9．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解. 【详解】由于， 因为集合，的子集为的第个子集，其中， 所以的第211个子集是. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海·期中）设集合且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，分、、、分别求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是：. 故答案为： 11．（23-24高一·全国·课后作业）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 【答案】①③④ 【分析】根据题中给定的定义，理解“类”的含义，对结论①②③逐一分析即可判断；对结论④从正反两个方面分析推理判断作答. 【详解】对于①，因，则，①正确； 对于②，因，则，②不正确； 对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，③正确； 对于④，若整数，属于同一“类”，则整数，被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有， 若，不妨令，则， 显然，，于是得，，即有整数，属于同一“类”， 所以“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，④正确， 所以正确的结论是①③④. 故答案为：①③④ 12．（23-24高一上·江苏镇江）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有 个元素. 【答案】 【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案. 【详解】解：由题可知，，有4个元素， 若取，则，此时，包含7个元素， 具体如下： 设集合，且，， 则，且，则， 同理， 若，则，则，故，所以， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍去； 若，则，故，所以， 又，故，所以， 故，此时， 若，则，故，故， 即，故， 此时，即中有7个元素. 故答案为：7. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则与的推出关系是（    ） A． B． C．且 【答案】B 【分析】根据充分条件及必要条件定义分别判断即可. 【详解】因为可得或或, 所以. 故选：B. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 15．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对 【答案】A 【分析】对于①用反证法可以证明；对于②，举出反例说明其错误. 【详解】对于①，假设存在两个小于1的正数，不妨设, 则,则, 这与矛盾, 故中小于1的数最多只有一个, ①正确; 对于②，不妨假设中最小数为，取, 则取, 则, 即说明中最小的数可以小于，②错误, 故选：A. 16．（23-24高一上·北京）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据，得出，即； ②根据，证明，即； ③根据，，证明． 【详解】解：集合，，， 对于①，，， 则恒有， ，即，，则，①正确； 对于②，，， 若，则存在，使得， ， 又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除， ，即，②正确； 对于③，，， 可设，，、； 则 那么，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选． 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）直接利用并集的定义求解即可； （2）先求出集合的补集，然后分和两种情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以． （2）或． 当时，即，得时，满足； 当时，使成立， 则，或，解得． 综上可知，实数的取值范围是． 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得是的真子集。列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，， 当时，则，所以. （2）因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，又，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. （2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系. 【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数． （2）证明：∵， ∴可设，，且， ∴ ． 又，， ∴． 20．（23-24高一上·上海浦东新·开学考试）已知实数，满足. (1)求证：中至少有一个实数不小于1； (2)设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用反证法求解即可； （2）由于若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现，分析即得解. 【详解】（1）假设全都小于1，则与题目矛盾， 故中至少有一个实数不小于1. （2）因为且， 集合的所有非空子集数为个， 由于时，中的元素和为0，因此计算所有的，的和时，不妨把也计上， 因为若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现， 所以在32个子集中一定有16个包含，另外16个不包含， 故的平均值. 21．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设集合为非空数集，定义，、，，、． (1)若，，写出集合、； (2)若，，，，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)1348. 【分析】(1)根据新定义，直接得出集合； (2)根据两集合相等即可得出的关系； (3)通过假设A集合， 求出相应的，根据列出不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题意知，， 得； （2）由于集合，且， 所以集合中有且仅有4个元素，即 剩下的元素满足，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以，，所以， 因为，由容斥原理，， 最小的元素为0，最大的元素为，所以， 所以，解得， 实际上当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 依题意，有，即，所以m的最小值为674， 于是当时，集合A中的元素最多，即时满足题意. 综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与逻辑 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，若全集，则 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）设全集，集合或，，则 ． 5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 9．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 10．（23-24高一上·上海·期中）设集合且，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一·全国·课后作业）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 12．（23-24高一上·江苏镇江）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有 个元素. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则与的推出关系是（    ） A． B． C．且 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对 16．（23-24高一上·北京）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 20．（23-24高一上·上海浦东新·开学考试）已知实数，满足. (1)求证：中至少有一个实数不小于1； (2)设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值. 21．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设集合为非空数集，定义，、，，、． (1)若，，写出集合、； (2)若，，，，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$