25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&专题2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）黑龙江专版

即(-02=号 -1=1+源为 35=1-5 3 3.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, .b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, x=-b±6F-4c-1±51±3 2a 2×1 2 名1=2,2=-1. (2)原方程整理，得2-3x-4=0. 1 a=1,6=-3e=-分 8-4ac=(-32-4×1×(-）=10>0, x=-6±Y6F-4ae-3±10 2a 2×1 名=3+0 3-10 2 ,x2= 2 (3)a=1,b=-25,c=-4, .b2-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0, x=-b±YB-4c_25±36_25±6 2a 2×1 2 ∴x1=5+3,x2=5-3. (4)原方程整理，得x2-2x-9=0. a=1,b=-2,c=-9, .b2-4ac=(-2)2-4×1×(-9)=40>0, 六x=-b±-4e_2±4@2±2西 2a 2×1 2 名1=1+√10，x2=1-√10. 4.解：(1)(x+2)2=8+4x,.(x+2)2-4x-8=0, .(x+2)2-4(x+2)=0. 分解因式，得(x+2)(x+2-4)=0, 即(x+2)(x-2)=0,∴.x+2=0或x-2=0, 解得x1=-2,x2=2. (2)5(x-3)2=x2-9, 移项，得5(x-3)2-（x2-9)=0, .5(x-3)2-(x+3)(x-3)=0, 分解因式，得(x-3)(5x-15-x-3)=0, 即(x-3)(4x-18)=0,则x-3=0或4x-18=0, 解得马=3，=是 (3)分解因式，得[2(x+3)+3(x-3)][2(x+3)-3(x- 3)]=0, 3 即(5x-3)(-x+15)=0,解得1=号，为=15. (4)分解因式，得(x+3)(x-5)=0, .x+3=0或x-5=0,.x1=-3,x2=5. 5.解：(1)x1=4,2=-2. 参考答案及解析 (2)x1=-1+万，2=-1-万 (3)x1=1,=-2 5 5 1 (4)x1=4西=-2 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 【基础巩固练】 1.A2.C 3.解：(1)x1+32=-4,12=-6. 5 1 (2)x+为=分=-3 (3)西+2= 3 42=2 1 (4)x1+x2=2,1x=3 4A5.B6C7.D8号 9.解：根据题意，得4=(2k+1)2-4(2-2)≥0， 解得≥子 名1+2=-(2k+1),x1·2=2-2. 而x行+x号=11， (x1+x2)2-2x1·x2=11, 即(2k+1)2-2(2-2)=11. 整理，得k2+2k-3=0,解得k1=-3,k2=1. 又：≥k=1 10.解：(1)关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+2 =0有实数根， ∴4=[-(2m+3)]2-4(m2+2)=4m2+12m+9-4m2- 8=12m+1≥0，m≥-12 1 (2):方程两实数根分别为x1,2, x1+3=2m+3,x12=m2+2. :x行+x号=19， (x1+x2)2-2x1x2=19, .(2m+3)2-2(m2+2)=19, 整理，得m2+6m-7=0,解得m=1或m=-7. 1 由(1)知m≥-i2m=1 【能力提升练】 1.D2.B3.D 4,3<m≤5【解析1侬题意，得4)2-4(m-）≥0，解 13×(m-1)-4>2, 得3<m≤5. 5.366.x2+2x-20=0 7.(1)证明：4=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)= 4m2-4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1=(4m-1)2≥0， ∴.无论m为何值，方程总有实数根 ·5… 同步练测·九年级数学（上册） (2)解：由题意知x1+x2=2m-1,1名2=-3m2+m. 点+=宁+经（出1+2）2 2- (2m-1)2 -3m2+m 2三-习，整理，得5m2-7m+2=0, 2 解得m=1或m= 5 8解：(1k>共 (2)存在，k的值为子 专题2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.B2.D 3.证明：.4=b2-4ac=(m+5)2-4(3m-1)=(m-1)2+28>0, .关于x的方程x2+(m+5)x+(3m-1)=0恒有两个不相 等的实数根. 4.C5.B6.±3或-57.A 8.-子[解折]m2+5n=50,2+5m=5②，①-②，得 m2-n2+5n-5m=0,.(m+n)(m-n)-√5(m-n)= 0,.(m-n)(m+n-3)=0.:m≠n,.m+n=5,①+ ②，得m2+n2+5n+5m=10,.m2+n2+5(n+m)=10, +2=7m=分(m+02-(m2+)]=-2 +-m2+m27 m=m=-2 9.A 10.解：D根据题意，得4=[-(3m+1)]2-4[(2m+ 子]=6m-1>0,解得m>石 (2)m为(1)中符合条件的最小正整数， m=1,对应的一元二次方程为2-4+号=0 又.此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为a,b, a+6=4,a2-4a+号=0， c-4a=-头， 3+g26-4如=(a+）-4a=子c2x4-4如 1 11 =a2-4a=-4 25.3实际问题与一元二次方程 课时1几何图形问题 【基础巩固练】 1.A2.A3.1204.D5.3 6.(1)(30x-x2)(2)105 7.解：生态园的面积能为40m2 四边形ABCD是矩形， ·6… .AB CD,AD BC. 设A8=m,则BC-8产m 根据题意，得x.18￥=40， 2 整理，得x2-18x+80=0,解得x1=10,2=8. 答：AB的长为10m或8m. 【能力提升练】 1.C2.A3.2 4.2[解析]根据题意可知CN=tcm,AM=2tcm,.BN=(8- )em,8M=(2-2)m△MB的面教为24m,之(2- 2t)×(8-t)=24,整理，得2-14t+24=0,解得1=2,2= 12(不合题意，舍去) 5.解：车道的宽度为3m 6.解：(1)2t(5-t) (2)根据题意，得(5-t)2+(2t)2=52,解得t1=0,2=2, .当t的值为0或2时，PQ的长度等于5cm. (3)存在.当t=1时，五边形APQCD的面积等于26cm2.理 由如下： S矩形ABcD=5×6=30(cm2),S五边形AP0cD=26cm2, .SaP80=30-26=4(cm2). 根据题意，得2×(5-)×21=4， 解得t1=4,2=1. 当t=4时，2t=8>6,故t=4不合题意，舍去， ∴.当t=1时，五边形APOCD的面积等于26cm2. 课时2传播问题、平均变化率问题与销售问题 【基础巩围练】 1.D 2.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑. 依题意，得1+x+(1+x)x=81. 整理，得(1+x)2=81, .1+x=9或1+x=-9, 解得x1=8,x2=-10(不合题意，舍去)， .(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染 后，被感染的电脑会超过700台. 3.B4.D 5.解：(1)62.5×(1-20%)=62.5×80%=50（万辆） 答：第二季度的销售量为50万辆. (2)设第三、第四季度销售量的平均增长率为x,依题意，得 50×(1+x)2=72, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去) 答：第三、第四季度销售量的平均增长率为20%， 6.C 7.解：(1)当售价为300元时，月利润为(300-200)×100= 10000(元).第二十五章一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 [答案P5] 《基础巩固练>一 知限息①一元二次方程的根与系数的关系 5(广东广州期中)关于x的方程ax2+8x-c=0 ①若方程3x2+7x-9=0的两个实数根分别为x1, 的两根为1和-3，则a,c的值分别为（) x2,则x1+x2等于 ( A.4,-12 B.4,12 A-子B C.-4,12 D.-4,-12 C.-3 D.3 6(东营中考)若x1,x2是关于x的一元二次方程 2若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的 x2-25x-1=0的两个实数根，则代数式 一元二次方程可以是 x号-24x1+x2的值为 () A.x2-5x+6=0 B.x2-5x-6=0 A.0 B.25 C.26 D.-1 C.x2-6x+5=0 D.x2-6x-5=0 7若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分 3不解方程，求下列方程两个根x,x2的和与积： 别是a,b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定 (1)x2+4x-6=0; 不经过 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8若菱形两条对角线的长度是方程x2-4x+3=0 的两根，则该菱形的面积为 (2)3x2-5x-1=0; 9已知关于x的方程x2+(2k+1)x+2-2=0的 两个实数根为x1,x2,且有x+号=11，求k 的值 (3)4x(x-2)=3x-6; 10(湖北武汉期中)已知关于x的一元二次方程 x2-(2m+3)x+m2+2=0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (4)3x2-x+3=5x+2. (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足x+x =19,求实数m的值. 知银点②一元二次方程的根与系数的关系的应用 4(湖北襄阳期中)已知关于x的一元二次方程 x2-4x+k=0有一个根是5，则该方程的另一个 根是 A.-1B.0 C.1 D.-5 a 同步练测·九年级数学（上册） 《能力提升练>一 [答案5] ①（云南昆明期末）关于方程3x2-√6x-4=0的 7已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x- 四种说法正确的是 3m2+m=0. A.有两个相等的实数根 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； B.无实数根 (2)若1，*是方程的两个实数根，且三+= C.两实数根的和为 6 ,求m的值 、 D.两实数根的积为-4 3 2(陕西西安期中)若一元二次方程x2-2x-1=0 的两个根为m,n,则一次函数y=(m+n)x+mn 的大致图象是 子日 3已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aG 8关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有 ≠0)，下列说法中正确的有 两个不相等的实数根 ①若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0有一个 (1)求实数k的取值范围； 根是1； (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,是否存 ②若方程的两根为-1和2，则有2a+c=0 在实数k,使得|x1-|x2=√3？若存在，试 成立； 求出k的值；若不存在，请说明理由. ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则有 ac+b+1=0成立. A.0个B.1个 C.2个D.3个 4已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0 的实数根分别是x1,x2,满足3x1x2-x1-x2>2, 则m的取值范围是 5已知a,b是方程x2-3x-5=0的两根，则代数 式2a3-6a2+b2+7b+1的值是 6在解一元二次方程x2+px+g=0时，小红看错 了常数项q,得到方程的两个根是-3,1；小明看 错了一次项系数p,得到方程的两个根是5，-4， 则原来的方程是 160 第二十五章一元二次方程 专题2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系[答案6] 类型()根据根的判别式的值，确定方程的根的情况 类型③运用根与系数的关系求值或范围 ①（广安中考）关于x的一元二次方程x2+ (湖北武汉期末)若关于x的一元二次方程 3x+1=0的根的情况是 x2-(a2-3a-10)x+a=0的两根互为相反数， A.没有实数根 则两根之积是 () B.有两个不相等的实数根 A.-2 B.5 C.有两个相等的实数根 C.-2或5 D.2或-5 D.无法确定 8(滨州中考)两个非零实数m,n满足m2+√3n= 2(云南昆明期末)下列关于x的方程一定有两个 5,n2+5m=5,且m≠n,则”+”= 实数根的是 m A.2x2-4x-4=0 B.x2-4x+5=0 类型⑨根与系数的关系和几何图形的结合 C.x2-4x+k=0 D.(2+1)x2=0 9已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b 3已知关于x的方程x2+(m+5)x+3m-1=0. 是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的 求证：方程恒有两个不相等的实数根. 两根，则m的值是 () A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 类型⑤根的判别式和根与系数的关系的综合运用 10已知关于x的一元二次方程x2-（3m+1)x+ (3+2=0有两个不相等的实数根， (1)求m的取值范围； (2)若m为(1)中符合条件的最小正整数，设此 时对应的一元二次方程的两个实数根分别 为ab,求代数式好d+4a2b-4n的值 类型②根据方程的根的情况，确定参数的值或取 值范围 ④（德阳中考）若关于x的一元二次方程-2x2+ 4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 A.2 B.0 C.-2 D.-4 ⑤（新疆生产建设兵团中考）若关于x的一元二次 方程x2-2x+a=0无实数根，则实数a的取值 范围是 （) A.a<1 B.a>1C.a≤1 D.a≥1 6若恰好只有一个实数a是方程(k2-9)x2-2(k+ 1)x+1=0的根，则k的值为 2.