福建省泉州市晋江市养正中学 2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上） 第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题.每小题4分，共40分） 1．（4分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x≤1 C．x≥1 D．x＞0且x≠1 2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣3）2＝31 D．（x+3）2＝14 3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE与边BC不平行，那么下列条件中，能判定△AED∽△ABC是（　　） A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．AD•AB＝AE•AC D．DE•AB＝AE•CB 4．（4分）若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 5．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AC，BC的中点，F是边DE的中点，连接CF，若∠B＝36°，则∠DCF的度数为（　　） A．36° B．40° C．48° D．54° 7．（4分）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（　　） A．7 B．8 C．4 D．7或8 8．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3） 9．（4分）如图，已知：点A（0，1），点B在x的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B恰好落在x轴上B1位置；将线段AB1沿y轴向下平移个单位到A1B2的位置．则点B2的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝（　　） A． B．5 C．4 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知，则＝ 　 　． 12．（4分）已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为3和1，则△ABC∽△DEF面积之比为 　 　． 13．（4分）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得图象的函数关系式是 　 　． 14．（4分）对于函数y＝ax2+x（a为常数），当x＝﹣1时，y＝0，则当x＝1时，y＝ 　 　． 15．（4分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡度，则加固后坝底增加的宽度AF＝ 　 　． 16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，BD∥AC，连接CD，若∠ABD+∠BCD＝90°，6CD＝5CB，△ABC的面积为7.5，则AB＝ 　 　． 三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分）计算：． 18．（8分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D． （1）求作∠ACB的平分线，分别交AD，AB于点P，Q．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若∠ACB＝60°，CD＝3，求CQ的长． 21．（8分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率； （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？ 22．（8分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 23．（10分）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图，△ABC中，点A、B、C所对的边分别为a、b、c，过点C作CD⊥AB，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA ∴BD＝c﹣bcosA 在Rt△BDC中，由勾股定理：CD2+BD2＝BC2 （c﹣bcosA）2+（bsinA）2＝a2，整理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA 同理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC． 利用上述结论解答下列问题： （1）在△ABC中，∠A＝45°，b＝2，c＝2，求a和∠C的大小 （2）在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，（c＞a＞b），求边长c的长度． 24．（14分）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点，连接AE． （1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G． 基础探究： ①如图1，若，则∠AFB的度数为 　 　． 深入探究： ②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长． 拓展探究： （2）在②所得矩形ABCD中（仅保留AB，BC长），将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，请直接写出BE的长． 25．（14分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“实一方程”． （1）下列方程是“实一方程”的有 　 　； ①2x﹣2＝0； ②|x﹣2|＝4； ③x2+x﹣2＝0． （2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝，且当y＝4时，关于x的方程y＝kx+b为“实一方程”，求该直线解析式； （3）已知x1，x2为“实一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围． 2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C D D D C A 一、选择题（共10小题.每小题4分，共40分） 1．（4分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x≤1 C．x≥1 D．x＞0且x≠1 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于x的不等式，解出即可得出答案． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴1﹣x≥0， 解得：x≤1． 故选：B． 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般． 2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣3）2＝31 D．（x+3）2＝14 【分析】常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0， ∴x2﹣6x＝5， 则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE与边BC不平行，那么下列条件中，能判定△AED∽△ABC是（　　） A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．AD•AB＝AE•AC D．DE•AB＝AE•CB 【分析】根据相似三角形的判定进行判断即可． 【解答】解：由题意知，∠DAE＝∠CAB，∠B≠∠ADE，∠C≠∠AED， 选项A、B错误，故不符合题意； ∵AD•AB＝AE•AC， ∴， 又∵∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， C正确，故符合题意； ∵DE•AB＝AE•CB， ∴，但无法判定△AED∽△ABC， D不符合要求； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键． 4．（4分）若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 【分析】根据二次根式的性质得一次不等式，求解即可． 【解答】解：∵＝|a﹣6|，， ∴6﹣a≥0． ∴a≤6． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解决本题的关键． 5．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵AC＝5，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AC，BC的中点，F是边DE的中点，连接CF，若∠B＝36°，则∠DCF的度数为（　　） A．36° B．40° C．48° D．54° 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，从而得到∠CED＝∠B＝36°，再根据直角三角形斜边中线定理得到DF＝CF＝EF，再根据等边对等角得到∠FCE＝∠FEC＝36°，最后求出∠DCF即可． 【解答】解：∵D，E分别是边AC，BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠CED＝∠B＝36°， ∵∠ACB＝90°，F是边DE的中点， ∴DF＝CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC＝36°， ∴∠DCF＝90°﹣∠FCE＝54°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，等边对等角，解题的关键是熟练运用和角有关的性质定理． 7．（4分）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（　　） A．7 B．8 C．4 D．7或8 【分析】由于一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根，有两种情况： ①当腰长为4时，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值，然后求出方程的另一根，即可判断能否构成三角形； ②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值，然后就可以求出方程的解，即可判断能否构成三角形． 【解答】解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根， ①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得 16﹣24+m+1＝0， ∴m＝7， ∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0， 设方程的另一个根为a， 则4+a＝6， ∴a＝2， ∴能构成三角形； ②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+1）＝0， ∴m＝8， ∴方程变为x2﹣6x+9＝0， ∴方程的两根相等为x1＝x2＝3， ∴能构成三角形． 综上，m的值是7或8， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解的定义和等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题． 8．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3） 【分析】利用配方法把一般式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1 ＝﹣2（x2+2x）+1 ＝﹣2（x2+2x+1）+2+1 ＝﹣2（x+1）2+3， ∴顶点坐标为（﹣1，3）． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 9．（4分）如图，已知：点A（0，1），点B在x的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B恰好落在x轴上B1位置；将线段AB1沿y轴向下平移个单位到A1B2的位置．则点B2的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【分析】先得出OA＝1，根据旋转的性质有：AB1＝AB，∠B1AB＝120°，即可得∠AB1O＝∠ABO＝30°，在Rt△AB1O中，有：AB1＝2AO＝2，即有，可得，再根据平移即可作答． 【解答】解：∵A（0，1）， ∴OA＝1， 由题意可得：AB1＝AB，∠B1AB＝120°， ∴∠AB1O＝∠ABO＝30°， ∴在Rt△AB1O中，AB1＝2AO＝2， ∴利用勾股定理可得：， ∴， ∵将线段AB1沿y轴向下平移个单位到A1B2， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了图形与坐标，旋转的性质、图形的平移，勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，掌握旋转的性质、图形的平移，是解答本题的关键． 10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝（　　） A． B．5 C．4 D． 【分析】延长AD，BC，两线交于点E，根据已知计算∠B＝60°，∠E＝30°，根据直角三角形的性质，和特殊角的函数值计算即可． 【解答】解：延长AD，BC，两线交于点E，如图， ∵∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠A＝60°，∠E＝30°， ∵BC＝2，CD＝3， ∴EC＝6，BE＝BC+EC＝8， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了辅助线构造直角三角形，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知，则＝ 　　． 【分析】根据题意，设x＝3k，y＝5k，代入即可求得的值． 【解答】解：由题意，设x＝3k，y＝5k， ∴＝＝． 故答案为： 【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 12．（4分）已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为3和1，则△ABC∽△DEF面积之比为 　9：1　． 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长分别为3和1， ∴△ABC∽△DEF的相似比是3：1， ∴△ABC∽△DEF面积之比为9：1， 故答案为：9：1． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 13．（4分）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得图象的函数关系式是 　　． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可． 【解答】解：二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得图象的函数关系式是y＝（x+1）2+2． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 14．（4分）对于函数y＝ax2+x（a为常数），当x＝﹣1时，y＝0，则当x＝1时，y＝ 　2　． 【分析】直接把x＝﹣1，y＝0代入y＝ax2+x求出a值，再令x＝1即可． 【解答】解：将x＝﹣1，y＝0代入中，得：0＝a×（﹣1）2+（﹣1）， 解得：a＝1， ∴y＝x2+x， 令x＝1，则y＝12+1＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 15．（4分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡度，则加固后坝底增加的宽度AF＝ 　（）米　． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G．解Rt△ADH，Rt△EFG，得出，根据FA＝FG+GH﹣AH即可求解． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G， 依题意：EG＝DH＝10（米），ED＝GH＝3（米）， 在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，∠DAH＝45°， ∴AH＝DH＝10（米）， 在Rt△EFG中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：加固后坝底增加的宽度AF为（）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，BD∥AC，连接CD，若∠ABD+∠BCD＝90°，6CD＝5CB，△ABC的面积为7.5，则AB＝ 　　． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥BD的延长线于点F，根据已知条件证得∠3＝∠4，即可证得△CFD∽△BFC，得出CF与BF的数量关系，即可得出tan∠3的值，从而得到tan∠1的值，再根据△ABC的面积求出x的值，再利用勾股定理即可求出AB的长． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥BD的延长线于点F， ∵AB＝AC， ∴∠1＝∠2， ∵BD∥AC， ∴∠3＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵∠ABD+∠BCD＝90°， ∴∠1+∠3+∠5＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠CFD＝90°， ∴∠3+∠5+∠4＝90°， ∴∠1＝∠4， ∴∠3＝∠4， 又∵∠F为公共角， ∴△CFD∽△BFC， ∴， ∵6CD＝5CB， 即， ∴， ∴， ∴， 设AE＝5x，则BE＝6x， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BC＝2BE＝12x， ∵△ABC的面积为7.5， ∴， ∴， ∴，（舍去）， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分）计算：． 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【解答】解：． ＝1+﹣1﹣2×+3 ＝1+﹣1﹣+3 ＝3． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 18．（8分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0． 【分析】先把方程化为两个因式积的形式，再求出x的值即可． 【解答】解：∵原方程可化为：（x+1）（x﹣4）＝0， ∴x+1＝0或x﹣4＝0， 解得，x1＝4，x2＝﹣1． 【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根据题意把方程化为两个因式积的形式是解答此题的关键． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0． （1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值． 【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可； （2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0，利用方程根的定义可求得α2﹣6α＝﹣8，α+β＝5，代入求值即可． 【解答】解： （1）∵x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4＞0， ∴不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）当m＝2时，其方程为x2﹣6x+8＝0， ∵α、β为方程的两个根， ∴α2﹣6α＝﹣8，α+β＝6， ∴α2﹣5α+β＝α2﹣6α+α+β＝﹣8+6＝﹣2． 【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D． （1）求作∠ACB的平分线，分别交AD，AB于点P，Q．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若∠ACB＝60°，CD＝3，求CQ的长． 【分析】（1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明∠ACQ＝∠DCP＝30°，求得AC＝2CD＝6，在Rt△ACQ中，利用三角函数的定义，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，以点C为圆心，任意长为半径作弧，与AC，BC相交，得到两个交点，以两个交点为圆心，大于两个交点距离的一半为半径分别作弧，连接C与两弧的交点，CQ为所作； （2）∵CQ平分∠ACB， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°， ∵CD＝3， ∴AC＝2CD＝6， 在Rt△ACQ中，∠ACQ＝30°，AC＝6， ∴． 【点评】本题考查作已知角的角平分线，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟知角平分线的作法是解题的关键． 21．（8分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率； （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？ 【分析】（1）设平均增长率为x，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【解答】解：（1）每天销售量的平均增长率为x，根据题意得： 25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， ∴每天销售量的平均增长率为20%； （2）设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元， ∴•W＝（60﹣35﹣y）（36+2y） ＝﹣2y2+14y+900 ＝﹣2（y﹣3.5）2+924.5， ∵α＝﹣2＜0， ∴当y＝3.5时，W最大＝924.5， ∴将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是924.5元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键． 22．（8分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 【分析】根据已知条件求出BD＝AD，设DC＝x，得出AD＝90+x，再根据tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值． 【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB， ∴∠DAB＝45°， ∴BD＝AD， 设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x， ∴AD＝90+x， ∴tan58°＝＝＝1.60， 解得：x＝150， ∴AD＝90+150＝240（米）， 答：最高塔的高度AD约为240米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用． 23．（10分）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图，△ABC中，点A、B、C所对的边分别为a、b、c，过点C作CD⊥AB，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA ∴BD＝c﹣bcosA 在Rt△BDC中，由勾股定理：CD2+BD2＝BC2 （c﹣bcosA）2+（bsinA）2＝a2，整理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA 同理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC． 利用上述结论解答下列问题： （1）在△ABC中，∠A＝45°，b＝2，c＝2，求a和∠C的大小 （2）在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，（c＞a＞b），求边长c的长度． 【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，a2＝b2+c2﹣2bccosA ＝（2）2+4﹣2×2×2× ＝4 解得，a＝2， 22+22＝（2）2 ∴△ABC为直角三角形，a＝c＝2， ∴∠C＝45°； （2）∵b2＝a2+c2﹣2accosB， ∴c2﹣c+1＝0， 解得，c＝， ∵c＞a＞b， ∴c＝． 【点评】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值． 24．（14分）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点，连接AE． （1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G． 基础探究： ①如图1，若，则∠AFB的度数为 　60°　． 深入探究： ②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长． 拓展探究： （2）在②所得矩形ABCD中（仅保留AB，BC长），将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，请直接写出BE的长． 【分析】（1）①利用正切函数即可求解； ②证明△BAE∽△CBD，利用相似三角形的性质即可求解； （2）分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝90°， ∵， ∴， 在Rt△ABD中，， ∴∠ABD＝60°， 由折叠的性质知AB＝AF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠AFB＝60°， 故答案为：60°； ②由折叠的性质知BF⊥AE，EF＝EB， ∴∠BGE＝90°， ∵EF＝EC， ∴EF＝EB＝EC， ∴BC＝2BE，即， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，， ∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°， ∴∠BAE＝∠CBD， ∴△BAE∽△CBD， ∴，即， 解得（负值已舍）； （2）如图3，由题意得，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AD∥BC， ∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA， 由折叠的性质知， ∴， ∴△CDE≌△B'AD（AAS）， ∴， ∴， ∴； 如图4，由折叠的性质知，∠AEC＝∠AEC'， ∵∠BEC'＝∠DEC， ∴∠AEB＝∠AED， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴DE＝AD＝BC， 在Rt△CDE中，， ∴， 综上，BE的长为或． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 25．（14分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“实一方程”． （1）下列方程是“实一方程”的有 　①③　； ①2x﹣2＝0； ②|x﹣2|＝4； ③x2+x﹣2＝0． （2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝，且当y＝4时，关于x的方程y＝kx+b为“实一方程”，求该直线解析式； （3）已知x1，x2为“实一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围． 【分析】（1）依据题意，根据“实一方程”定义逐个计算即可判断得解； （2）依据题意，由当y＝4时，关于x的方程y＝kx+b为“实一方程”，从而可得k＝4﹣b，再由S△AOB＝OA•OB＝×|﹣|×|b|＝，进而求出k，b即可判断得解； （3）依据题意，由ax2+bx+c＝0为“实一”方程，则方程必有一个根是x＝1，故a+b+c＝0，结合a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，且a＞﹣a﹣c＞c，可得﹣2＜＜﹣，又x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0的两个根，从而其中一个是x＝1，而另一个为x＝＜0，故|x1﹣x2|＝1﹣，再由﹣2＜＜﹣，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）解方程2x﹣2＝0得x＝1， ∴2x﹣2＝0是“实一方程”； 解方程|x﹣2|＝4得x1＝﹣2，x2＝6， ∴|x﹣2|＝4不是“实一方程”； 解方程x2+x﹣2＝0得x1＝﹣2，x2＝1， ∴x2+x﹣2＝0是“实一方程”； 故答案为：①③； （2）由题意，∵当y＝4时，关于x的方程y＝kx+b为“实一方程”， ∴当y＝4时，x＝1． ∴k+b＝4． ∴k＝4﹣b． 又直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣，0），B（0，b）． ∴S△AOB＝OA•OB＝×|﹣|×|b|＝， ∴b2＝9|k|． 又∵k＝4﹣b， ∴b2＝9|4﹣b|． ∴b＝﹣12或b＝3． ∴当b＝﹣12时，k＝16； 或当b＝3时，k＝1． ∴直线解析式为y＝16x﹣12或y＝x+3． （3）由题意，∵ax2+bx+c＝0为“明一”方程， ∴方程必有一个根是x＝1． ∴a+b+c＝0． 又∵a＞b＞c， ∴a＞0，c＜0，且a＞﹣a﹣c＞c． ∴﹣2＜＜﹣． ∵x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0的两个根， ∴其中一个是x＝1，而另一个为x＝＜0． ∴|x1﹣x2|＝1﹣． ∵﹣2＜＜﹣， ∴＜1﹣＜3． ∴＜|x1﹣x2|＜3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$