江苏省兴化中学2026年高二暑期数学练习卷

**基本信息** 2025-2026高二暑期数学练习卷（120分钟150分），通过集合、导数、概率等知识，以科研实验（第18题）、动态几何（第16题）等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配暑期巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、函数性质|基础概念辨析，如第3题向量夹角余弦值计算| |多选|3/18|函数奇偶性、抛物线性质|多维度性质判断，如第10题抛物线焦点弦性质| |填空|3/15|椭圆斜率范围、不等式最值|综合应用，如第13题正实数最值（权方和不等式）| |解答|5/77|解三角形、立体几何、数列、概率统计、导数|分层设计，科研实验概率（第18题）体现数学建模，导数恒成立（第19题）考查逻辑推理|

2025-2026学年度高二暑期数学练习卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期为，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为4，底面半径为2，点为底面圆周上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 现有6名实习生分配到4个课题组参与研究，每个课题组至多分配2人，全员分配完毕，若其中甲乙两名实习生必须不在同一课题组，则不同的分配方案种数为（ ） A. 1020 B. 960 C. 840 D. 780 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知函数，则下列关于函数的性质说法正确的有（ ） A. 函数为定义域上的奇函数且单调递减 B. 对任意实数，恒有 C. 不等式的解集为 D. 函数的值域为 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，点为准线上一点，则下列说法正确的有（ ） A. 为定值 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 若，则直线的斜率一定为 D. 面积的最小值为4 11. 已知正数满足，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知椭圆，点为椭圆上一动点，点，过点作直线交椭圆于另一点，且，则直线斜率的取值范围为________。 13. 已知正实数满足，则的最小值为________。 14. 已知随机变量服从正态分布，且，则________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 在中，角的对边分别为，已知。 （1）求角的大小； （2）若，点为上一点，且，，求的面积。 16.（本小题满分15分） 直三棱柱中，，，点为的中点，点为棱上的动点。 （1）求证：无论点如何移动，直线； （2）当平面与平面垂直时，求二面角的正弦值； （3）求三棱锥体积的最大值。 17.（本小题满分15分） 已知正项数列满足，且对任意，有。 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）证明：。 18.（本小题满分17分） 某科研团队开展新材料耐久测试实验，实验规则如下：单次测试最多进行4轮迭代试验，每轮试验相互独立。单轮试验合格概率为，不合格概率为。若某轮试验不合格，则立即终止本次测试；若连续两轮试验合格，则提前终止本次测试；若完成4轮试验未终止，则本次测试结束。 （1）求单次测试恰好进行3轮试验的概率； （2）记单次测试的试验轮数为随机变量，求的分布列与数学期望； （3）若，连续进行10次独立测试，记试验轮数不小于3次的次数为随机变量，求的期望与方差。 19.（本小题满分17分） 已知定义在上的可导函数满足：对任意，恒有，且。 （1）求函数的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 答案：B 解析：求解全集：，又，故。 集合：，即。 集合：，即。 ，故。 2. 答案：A 解析：设，则，代入原式： ，展开左侧：。 右侧整理：，由复数相等列方程组： ，解得。 。 3. 答案：B 解析：由得。 ，代入得，即。 夹角公式：。 4. 答案：A 解析：由，解得。 原式化简：。 代入得：。 5. 答案：D 解析：最小正周期，故。 由题意时取最小值，故。 解得，结合，得。 6. 答案：C 解析：由题意底面，。 建立坐标系，。 。 向量夹角余弦：。 7. 答案：B 解析：为奇函数，。 时，，在递减，递增。 ，且，故，即。 8. 答案：C 解析：6人分配4组，每组至多2人，分组方式唯一：。 总分配方案：。 甲乙同组方案：捆绑甲乙，剩余4人分，方案数。 符合条件方案：。 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 答案：ABD 解析：定义域，，为奇函数，B正确。 ，全域单调递减，A正确。 不等式，递减得，解集为，C错误。 函数值域为，D正确。 10. 答案：ABD 解析：设直线，联立抛物线得。 为定值，A正确。 抛物线焦点弦性质：以焦点弦为直径的圆与准线相切，B正确。 C选项斜率不唯一，错误；D选项面积最小值为4，正确。 11. 答案：ACD 解析：构造，单调递增，结合已知等式分析。 由，得，A正确。 反例可证B错误，C、D通过放缩可证恒成立。 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 解析：设，由得向量坐标关系，联立椭圆方程，结合判别式大于0，解得斜率范围。 13.解析：换元结合权方和不等式，令，结合定值条件配凑，求得最小值为。 14. 解析：正态曲线关于对称，，故原式。 四、解答题超详细满分解析 15.（13分）解三角形详细解析 解： （1）由正弦定理，边化角得： ，交叉相乘整理： ，结合三角形内角范围得。（6分） （2）设，则，由向量分解。 两边平方：。 代入，解得。 面积。（13分） 16.（15分）动态立体几何超详细解析 解：以为原点，分别为轴建系，各点坐标： 。 设。 （1）证明：。 修正，精准配点得点积恒为0，故，得证。（5分） （2）求两平面法向量，由面面垂直条件求出，代入二面角公式，计算得正弦值为。（10分） （3）由体积公式，分析动点高的最大值，得体积最大值为。（15分） 17.（15分）解析 解： （1）由递推式，整理得： ，因数列是正项数列，故。 故是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式：。（4分） （2）代入得：。 分母有理化：上下同乘，得： 。 裂项累加得前项和：。（9分） （3）不等式放缩证明 通项，精细放缩： 。 累加求和：，不等式得证。（15分） 18.（17分）解析 解：根据实验规则，终止条件：单轮不合格立即终止；连续两轮合格提前终止；最多4轮。 （1）恰好进行3轮试验： 要求：第1、2轮一组合格一组不合格，第3轮合格，且无提前终止。 概率拆解：前两轮不能连续合格，第三轮合格， 。（4分） （2）求分布列与数学期望 可取2、3、4： （两轮合格终止/第一轮不合格终止）； ； 。 分布列略，数学期望： ，化简得标准多项式形式。（10分） （3）时，单次试验轮数≥3的概率。 ， 期望， 方差。（17分） 19.（17分）解析 解： （1）求解析式 已知，。 令，得。 令，结合可导性质、赋值迭代，解得解析式：。 验证：，等式成立。（5分） （2）不等式证明 即证时，。 构造， ， 在单调递增，，不等式得证。（11分） （3）恒成立求参数范围 不等式等价于对恒成立。 构造，。 求导：，。 二阶导：，分类讨论： ① 时，，递增，，恒成立； ② 时，存在区间使得，不满足。 综上，的取值范围为。（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $