第一章单元空间向量与立体几何单元检测培优卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元培优检测，通过正方体、三棱锥等模型，综合考查空间向量运算、立体几何证明及空间角、体积计算等核心知识，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量数量积、模长，线面角、动点轨迹|结合几何模型，考查直观想象与数学运算| |多选题|3|向量线性运算、共面判定，直四棱柱性质|注重知识辨析，培养逻辑推理| |填空题|3|重心向量表示、投影向量，点面距离与外接球|设置动态问题，提升空间观念| |解答题|5|翻折问题、二面角、线面平行证明，体积与轨迹综合|多问递进设计，融合数学抽象与创新应用，贴合高考命题趋势|

人教A版高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元检测 （培优卷） 一、单选题 1．如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 5．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 6．如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 7．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．18 B． C．12 D． 8．已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 11．如图，在直四棱柱中，为与的交点.若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．设，则 D．以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 三、填空题 12．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________． 13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 14．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB的中点，且，则点A到平面的距离为______，四棱锥的外接球的半径为______. 四、解答题 15．如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．    (1)若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求； (2)当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由； 16．如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于. (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值. 17．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的正弦值． 18．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，是PA的中点，点N是PC的中点． (1)求BM与PC所成角的余弦值； (2)若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面PDC所成角正弦值； (3)过点M，N，B的平面与线段PD交于点，求． 19．如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； (3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版选择性必修第一册第一章单元检测能力提升卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C A D D A AB BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先证明平面，得到，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可. 【详解】取的中点，连接， 和都是等边三角形， ， ，平面，平面， 平面，面， ， 在中，，， 由余弦定理， . 故选：A. 2．C 【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 3．C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 4．C 【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 5．A 【分析】根据空间向量数量积运算律及定义计算求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 当为直径时，，所以的最大值为. 故选：A. 6．D 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到，再利用模长公式及数量积的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，， 则 ， 所以， 故选：D. 7．D 【分析】利用投影向量公式先求出投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量，，所以，， 则向量在向量上的投影向量为， 得到，由模长公式得到，故D正确. 故选：D 8．A 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最小值. 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，，∴平面平面， ∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴点到平面的距离为， ∴圆的半径为， 由得，， ∴， ∴的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点的轨迹为平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，结合条件计算圆的半径，结合点与圆的位置关系可求最值. 9．AB 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 10．BCD 【分析】A利用求解；B数量积的坐标运算；C求模公式；D根据求解. 【详解】若，则存在使得，即，无解，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由A可知与可构成一组基底，故若，，是共面向量， 则存在使得， 即，解得，故，，是共面向量，D正确. 故选：BCD 11．ABD 【分析】A，由求解；B，利用空间向量的线性运算求解；C，先表示向量，再判断其数量积是否为0判断；D，取的中点为，连接，易得面，从而达到球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆弧求解. 【详解】依题意，，，， A， ，所以，故正确； B，，故正确； C，因为，所以， ， 则 ，故错误； D，取的中点为，连接， 由为等边三角形可得，且，面， 由球的半径为，知球面与平面的交线是以为圆心， 以为半径的圆， 如图，在正方形内，以为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧即为所求交线， 由题意可知，所以弧的长为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题D选项基本思路是先取的中点为，由为等边三角形和直棱柱，得到面，再利用截面圆的性质得到交线是以为圆心，以为半径的圆弧而得解. 12． 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】由投影向量的定义直接求解即可. 【详解】已知向量，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 14． 1 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式求点A到平面的距离；球心在过的中点与平面垂直的直线上，计算球心的坐标，得出半径长. 【详解】①以中点为原点，为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 底面是边长为2的等边三角形，，，D，E分别是AC，AB的中点，且，所以三棱锥为正四面体， 平面于点，则为等边三角形的重心，，，. 则，，，，，则，，. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，则，则. 所以点A到平面的距离为. 如图，，都为等边三角形，，所以球心在过中点与平面垂直的直线上，设球心，半径为R. 则，，， 所以，解得，. 故答案为：①1；②. 【点睛】棱锥的外接球问题方法总结： 1.常见补形:侧棱垂直于底面的锥均可补成直棱柱；正四面体可补成正方体求其外接球；对棱相等的四面体可补成长方体； 2.正棱锥球心在高所在直线上，再根据勾股定理进行计算； 3.侧面垂直于底面的锥，先找到两个垂直面所在多边形的外心，再找一个矩形，进行计算求得；如果侧面与底面所成的二面角的平面角是一个特殊角(非直角)，也可以找到这两个面所在多边形的外心，过这两个外心分别作这两个面的垂线，两垂线的交点为球心； 4.建立空间坐标系，利用球心到各顶点的距离是相等进行计算解决. 15．(1)； (2)是，. 【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，由直线与垂直，即可列式求解； （2）设平面与平面的夹角为，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在图2中，取中点，中点，连接，， 因为即，所以, 所以,又因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 由题意可知, 以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    设，，则， 所以，，，， 所以，， 因为直线与垂直， 所以， 即，解得：（舍）或， 所以，， 所以图1中点在靠近点的三等分点处， 所以， 所以； （2）设平面与平面的夹角为， 平面的法向量，，， 设平面的法向量， 则，即，取，得，, 得，所以， 所以， 所以无论点的位置如何，平面与平面的夹角余弦值都为定值． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知利用线面平行的判定定理得平面，进而由线面平行的性质定理即可证明结论； （2）取中点，连接，，，由等边三角形的性质得，又由面面垂直的性质定理可得平面，可得三线两两垂直，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面与平面交于，平面，所以； （2）取中点，连接，，，因为，， 所以是等边三角形，由三线合一得：， 又因为是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 故三线两两垂直， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为且由（1）知， 所以四边形为平行四边形，可得， 所以，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又平面的一个法向量可取，所以， 设二面角的大小为，由题意为锐角，所以， 所以二面角的余弦值为. 17．(1)证明:如图，连接交于，连接， 是正方形，则是中点，又E为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； (2)证明:因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； (3) 【分析】（1）连接交于，连接，证明，然后由线面平行的判定定理得证； （2）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证； （3）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角. 【详解】（1）略； （2）略； （3）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， ，从而， 所以，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 易知平面的一个法向量是， ， 所以二面角的余弦值为，从而正弦值为. 18．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）取AD中点O，BC中点Z，证明，，由平面平面ABCD，可得平面，从而建系，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得BM与PC所成角的余弦值． （2）设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心为，利用，求出的坐标，求出平面PCD的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得与平面PDC所成角正弦值． （3）设，则，求出，由M，N，B，Q共面，可知存在唯一实数对，使得，利用坐标计算，解出即的值． 【详解】（1）取AD中点O，BC中点Z，连接OP，OZ， 因侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则，， 又平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，故直线OP，OA，OZ两两垂直， 故以O为原点，OA，OZ，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，，，， 故， 故BM与PC所成角的余弦值为． （2）设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心为，又， 所以，解得，即， 故，，， 设平面PCD的法向量为， 则，故可取， 设与平面PDC所成角为，则有， 故与平面PDC所成角正弦值为． （3）设，则，且， 因，则，， 因为M，N，B，Q共面，则共面， 故存在唯一实数对，使得， 即 ， 所以， 解得，所以． 19．(1) 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. (2)； (3). 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. （3）连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $