高中数学单元测试——第一章　空间向量与立体几何（较易版02）

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元复习卷（较易版），通过基础概念辨析与分层综合应用题设计，适配单元复习，培养空间观念、推理能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称点、基底判定、方向向量应用|基础概念辨析，如第1题考查坐标对称，落实数学眼光| |多选题|3/18|向量共面、线面位置关系判断|多角度辨析，如第10题结合方向向量与法向量判断位置关系，体现数学思维| |填空题|3/15|向量模计算、向量夹角、二面角中向量运算|情境化简单应用，如第14题二面角中向量数量积，培养数学语言| |解答题|5/77|空间向量表示、线面平行证明、线面角与二面角计算|分层综合应用，如第16题正方体中证明线面平行及求线面角，融合空间观念与推理能力|

高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 2．（本题5分）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 3．（本题5分）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的数量积表示可求得结果. 【详解】由题意可知，，因此，. 故选：D. 6．（本题5分）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据，，共面，所以存在，使得，列出方程组，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以存在，使得， 所以. 故选：C 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由题意可知，即， 解得或； 所以点的坐标为或. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得. 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 10．（本题6分）下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C．两条不重合直线的方向向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由题意可得一平面的法向量垂直于两个不同平面，从而可得两个平面平行，即可判断；对于B，由两直线的方向向量不平行，可得这两直线不平行，即可判断；对于C，由题意可得，从而得，即可判断；对于D，由题意可得以，从而得或，即可判断. 【详解】解：对于A，因为两个不重合的平面法向量平行， 则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面， 即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面， 所以这两个平面平行，故正确； 对于B，因为两直线的方向向量不平行，所以这两直线不平行，故正确； 对于C，因为， 所以，所以，故正确； 对于D，因为，， 所以， 所以， 所以或，故错误. 故选：ABC. 11．（本题6分）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，利用空间向量的线性运算和数量积运算，逐项求解判断. 【详解】在平行六面体中，为空间的一个基底， 则，， ， 对于A，， ，A正确； 对于B，，则 ，因此，B正确； 对于C，，则， ，而， 因此向量与夹角是，C正确； 对于D，，则 ，而 ，， ，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______. 【答案】 【分析】由空间向量模长公式计算可得. 【详解】由空间向量模长计算公式得：. 故答案为： 13．（本题5分）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 【答案】 【分析】依题意，可得，，及，再由空间向量的数量积公式与模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以， 又平面，所以平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，证明，从而得出平面； （2）求得直线的方向向量，由（1）知平面的法向量，结合线面角的向量公式即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点．    (1)求点P到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由题可得平面，在平面内过点作，则射线两两垂直，以点为坐标原点，射线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出直线与所成角的正弦，利用向量法求出点到直线的距离； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，如图，在正三角形中，则， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以平面， 在平面内过点作，则射线两两垂直， 以点为坐标原点，射线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则 ，所以， 所以点到直线的距离为.    （2）设平面的法向量为， 则，令，可得， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的余弦值； （2）计算出平面的一个法向量的坐标，假设存在点，设，其中，求出的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解. 【详解】（1）解：，，，得， 由题意，因为，所以，， 又侧面，以为原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，， ，， 设异面直线与所成的角为，则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. （2）解：由（1）得，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 假设存在点，设，其中， ， 由已知可得， 得，即，解得或， 因此，在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. (2)1 (3)存在， 【分析】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）略 （2）由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. （3）假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 10．（本题6分）下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C．两条不重合直线的方向向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 11．（本题6分）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______. 13．（本题5分）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 16．（本题15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点．    (1)求点P到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（本题17分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $