第一章 空间向量与立体几何（单元自测·基础卷）-2026-2027学年高二上学期数学重点•题型讲义（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 空间向量与立体几何单元基础卷，覆盖向量运算、空间几何体度量等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配月考检测，培养空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量垂直（1）、共面条件（3）、点线距离（7）|基础概念直接应用，突出运算准确性| |多选题|3/18|正方体线面角（10）、组合几何体动点（11）|多角度辨析空间关系，考查几何直观| |填空题|3/18|投影向量（12）、共面向量参数（13）|聚焦向量工具性，强化数学语言表达| |解答题|5/74|折叠问题线面垂直（18）、面面垂直二面角（19）|综合空间建模与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

第一章 空间向量与立体几何（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 2．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 3．已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据知O、A、B、C是不共面的四点，则对平面内任一点P都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解. 【详解】因为，且P、A、B、C四点共面， 则，解得， 故选：C. 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量加法法则直接求解． 【详解】连接BD，如图， 则 故选：A． 5．如图，在平行六面体中，,且，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据向量的运算法则，求得，结合向量的数量积和模的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】在平行六面体中，且， 由， 则 ， 所以. 故选：C. 6．已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、点到平面距离的向量求法、锥体体积的有关计算 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，求得正方体的棱长为，设，由，求得，再求得平面的法向量为，利用距离公式，求得点到的距离为，结合体积公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为，可得， 则，可得，所以， 又由， 设，可得， 因为， 可得， 解得，即， 又由向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，所以点到的距离为， 又因为等边的边长为，所以， 所以三棱锥的体积为. 即三棱锥的体积为. 故选：A. 7．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 8．如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、二面角的概念及辨析、由二面角大小求线段长度或距离 【详解】， ，     故选 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量的坐标运算可求即可判断A，再判断，的位置关系即可判断B，根据线性运算得到，再由垂直的坐标表示判断C；由夹角公式即可判断D． 【详解】由，，得，A正确； 假设，则，显然无解，所以与不平行，B错误； 因为，所以，则，C正确； 因为，所以，D正确． 故选：ACD． 10．如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．平面平面 C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求线面角、证明面面垂直、锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】连接和，得到，利用异面直线所成角的求法，可判定A不正确；利用线面垂直和面面垂直的判定定理，可判定B正确；利用锥体的体积公式，可判定C正确；利用线面角的定义，得到为直线与平面所成角，可判定D错误. 【详解】对于A，连接和，在正方体中，可得， 所以直线与所成角即为直线与所成角， 因为等边三角形，可得，则直线与所成角为，故A不正确； 对于B，在正方体中，可得平面， 因为平面，可得， 又因为正方形，可得，，且平面， 所以平面，又因平面，所以平面平面，故B正确； 对于C，因为平面，所以三棱锥的高， 又由，所以三棱锥的体积为，所以C正确； 对于D，设和交于点，因为平面，即平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得，所以D错误. 11．如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（    ）    A．为的中点时，平面平面 B．为的中点时，点到平面的距离为 C．存在点使得直线与平面所成的角为 D．为所在直线的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、证明面面垂直 【分析】由几何体性质，利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B正确，由线面角的向量求法得到方程，根据方程无解可判断C错误，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时，取得最大值为，可判断D正确. 【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面， 又平面，， 为的中点，， ， ，即. 又平面，且，平面， 平面，平面平面.故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， 为的中点，， 则， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. ，点到平面的距离为.故B正确； 对于C，设点，其中， 是上的动点，弧所在圆的圆心（即线段的中点）坐标为，半径为， ，即. ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. 若直线与平面所成的角为， 则， 由可得，代入上式整理得， 由可知此方程无解， 所以不存在点使得直线与平面所成的角为，故C错误； 对于D，如图，    以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面， 且， 则由三角形两边之差小于第三边可知，当三点共线时，取得最大值为， 又弧所在圆的圆心为，半径为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得在上的投影向量的坐标. 【详解】已知空间向量和， 则在上的投影向量为 . 故答案为：. 13．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标表示 【分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求. 【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：1. 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出、，进而可计算得出点到直线的距离为. 【详解】因为平面，底面为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点、、， ，，， 所以，， 所以，的中点到直线的距离. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.81 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）求出的坐标，结合模长的坐标运算可得答案； （2）根据向量夹角公式可得答案； （3）根据数量积为0可求答案. 【详解】（1）因为，所以； 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 16．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点． (1)求直线DE和PF夹角的余弦值； (2)求点E到平面PBF的距离． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离. 【详解】（1）因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直， 如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则， 则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量， ， 所以直线DE和PF夹角的余弦值为. （2）由（1）知，，，， 设平面PBF的法向量，则，令，得， 所以点E到平面PBF的距离为. 18．如图1，在中，两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点，.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在图1的 中，， 所以 ，且，， 因为，所以，，则 ，， 在 中，， ，，则， 在图2的 中，，，， 满足，所以， 因为， ，，、 平面， 所以平面. (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）证明出 ，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为 、、 轴建立空间直角坐标系，设，求得，根据面面角的向量求法建立等式计算求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意得平面，， 以点为原点，、、的方向分别为 、、 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， ，， 设线段 上存在一点，，， 则，，即， 解得，故， 设平面的一个法向量， 则，取 ，则， 所以平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量为， 由题意可得， 令，则，解得， 当 时，得，当，此时无解， 所以线段 上存在一点，且. 19．如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）①由面面垂直的性质得到平面，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值；②求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； （2）①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 3．已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，,且，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 6．已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．平面平面 C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（    ）    A．为的中点时，平面平面 B．为的中点时，点到平面的距离为 C．存在点使得直线与平面所成的角为 D．为所在直线的动点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 13．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______． 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 16．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点． (1)求直线DE和PF夹角的余弦值； (2)求点E到平面PBF的距离． 18．如图1，在中，两点分别为（靠近）､（靠近）的三等分点，.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $