第57讲 圆锥曲线中的面积问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线中的面积问题这一高考核心考点，涵盖求面积及面积范围最值两大题型，通过基础回顾梳理三角形面积处理方法，例题精讲构建解题思路，真题回顾强化高考对接，形成“考点梳理-方法指导-真题训练”的系统复习链条，助力学生突破难点。 讲义以题型分类为特色，针对不同面积问题总结底高公式、水平宽铅锤高等方法，结合例题精讲培养数学思维与模型观念，设置分层练习适配各层次学生。真题回顾环节精准对接高考命题规律，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第57讲 圆锥曲线中的面积问题 题型一 求面积 2 题型二 面积范围最值问题 4 【真题回顾】 6 【基础回顾】 1、三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤高或 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 2、三角形面积比处理方法 （1）对顶角模型 （2）等角、共角模型 题型一 求面积 【例题精讲】 1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知椭圆的焦点坐标分别为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点. (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值. 2．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 3．（25-26高二下·上海静安·期末）已知椭圆：（）. (1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)若，过点作斜率为的直线，依次交椭圆于两点，且点在第一象限.设，连接延长交轴于点，记的面积为，的面积为（为坐标原点），求. 4．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的斜率． 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． (1)求的方程； (2)若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆.点在椭圆外.从点作椭圆的两条切线，切点分别为. (1)求椭圆的离心率； (2)证明：直线垂直于，并求直线的方程； (3)若，求与. 7．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知双曲线C的中心在原点，是C的一个顶点，是C的一条渐近线. (1)求C的方程； (2)设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积； (3)若过点的直线与C交于，两点（都异于点），证明：. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：，点，其中．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． (1)求切点弦的方程； (2)若的面积为4，求点的坐标及两条切线的方程． 9．（2026·湖南湘西·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 10．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，以为直径的圆与轴相切，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，分别记，的面积为，，若，求的方程． 题型二 面积范围最值问题 【例题精讲】 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆： 的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线： 与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 2．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 4．（2026·江西南昌·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 6．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 7．（2026·甘肃·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 8．（25-26高二下·上海闵行·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. (1)求抛物线的方程； (2)判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 9．（2026·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 10．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）设椭圆的离心率，且点在C上． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值． 【真题回顾】 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 2．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 第57讲 圆锥曲线中的面积问题 题型一 求面积 2 题型二 面积范围最值问题 14 【真题回顾】 25 【基础回顾】 1、三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤高或 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 2、三角形面积比处理方法 （1）对顶角模型 （2）等角、共角模型 题型一 求面积 【例题精讲】 1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知椭圆的焦点坐标分别为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点. (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用椭圆的定义解得，进而得，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证. （3）在时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求出的情况即可. 【详解】（1）由椭圆的定义得， 解得，又，所以， 所以的方程为； （2）设，则， 由，解得 ， 所以， 所以， 所以 ，， 所以的面积为定值； （3）由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为， 当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，所以； 当时，由共线，得，即， 整理得 . 而， 当且仅当时取等号，所以. 综上所述，直线在轴上的截距的最小值为. 2．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形面积为4，建立，两点坐标之间的等量关系；设中点的坐标，利用中点坐标公式将点坐标用，两点坐标表示，即可求出点的轨迹的方程； （2）联立方程组，分别根据弦长公式表示出，再根据点到直线的距离公式求出距离，根据面积为建立等量关系即可求出. 【详解】（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 3．（25-26高二下·上海静安·期末）已知椭圆：（）. (1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)若，过点作斜率为的直线，依次交椭圆于两点，且点在第一象限.设，连接延长交轴于点，记的面积为，的面积为（为坐标原点），求. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率公式及的关系求解即可； （2）将直线的方程代入椭圆方程，求出两点的坐标，再求出直线的方程，即可求出点的坐标，最后求出，，即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以焦点在x轴上，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）直线的方程为， 代入椭圆方程，得， 解得两点的坐标分别为， 所以直线的方程为：， 令，得，所以， ，所以． 4．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知椭圆：（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意求出椭圆的基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）结合韦达定理得到，，利用弦长公式求出弦长，利用点到直线的距离公式求出距离，再表示出三角形面积，进而建立方程，求解直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意得直线与坐标轴的交点为，， 得到，，即椭圆C的标准方程为. （2）当直线AB的斜率不存在时，不符合题意； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为， 如图，作出符合题意的图形，且设，， 由，得到 可得， 由韦达定理得，， 由弦长公式得 ， 设点P到直线AB的距离为，由点到直线的距离公式得， 所以， 而的面积为，得到，解得． 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． (1)求的方程； (2)若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合椭圆离心率求出即可. （2）求出双曲线渐近线的斜率，进而求出直线的方程并与椭圆方程联立求出三角形面积. 【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为， 即有，由的离心率为，得，解得， 所以的方程为. （2）依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设， 由对称性，不妨设直线的方程为，即， 由消去，得 ，则，， 因此， 所以的面积.    6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆.点在椭圆外.从点作椭圆的两条切线，切点分别为. (1)求椭圆的离心率； (2)证明：直线垂直于，并求直线的方程； (3)若，求与. 【答案】(1)； (2)设切点为，因为切线的斜率存在， 设过点的切线方程为，代入椭圆， 得，因为直线与椭圆相切， 所以， 即，化简得：. 一元二次方程根的性质，切点的横坐标 ， 再将代入切线方程， 得 ， 因此切点的纵坐标均为，直线的方程为， 所以直线垂直于. (3)， 【分析】（1）直接由椭圆方程得基本量，进而可得离心率； （2）由题意判断切线斜率存在，设切线方程，利用判别式得，进而可得切点横坐标及纵坐标，从而证明垂直并求得直线方程； （3）由（2）分析可得及高，进而可得面积， 再由题意得方程，通过换元法解方程可得. 【详解】（1）由椭圆，所以，． 所以，因此离心率为． （2）略 （3）由（2）分析知直线的方程为，切点的纵坐标为， 再由，得，所以， 因此. 又由到直线的距离， 所以 ． 由题意，令，则， ，，即， 所以，因为方程无实数根， 所以方程有唯一实根. 因为，所以，此时． 故当时，， 7．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知双曲线C的中心在原点，是C的一个顶点，是C的一条渐近线. (1)求C的方程； (2)设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积； (3)若过点的直线与C交于，两点（都异于点），证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据顶点设双曲线标准方程，结合渐近线确定参数，直接写出方程. （2）将点坐标代入双曲线方程消元，把转化为关于的二次函数求最小值，再用分割法（）计算四边形面积. （3）设直线的方程为，与双曲线联立后用韦达定理表示、，通过计算向量证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线C的中心在原点O，C的一个顶点是， 所以设C的方程为， C的渐近线方程为. 因为是C的一条渐近线，所以，所以C的方程为. （2）依题意，设，则，即， 所以|， 当时，，此时. 连接OM， 则四边形ODMP的面积 ，即四边形ODMP的面积为. （3）显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为. 由消去x得， 当时，恒成立. 设，，则，. 因为，， 所以 ，即. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：，点，其中．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． (1)求切点弦的方程； (2)若的面积为4，求点的坐标及两条切线的方程． 【答案】(1)切点弦的方程为 (2)，两条切线方程为和 【分析】（1）设切点为，求导得出抛物线的切线方程，利用切线经过，推得，求出点的坐标，即得切点弦的方程； （2）利用（1）的结论和的面积列方程求出，进而求出或，回代入切线方程即得答案. 【详解】（1）因抛物线方程为，可设切点为． 由求导得，则切线斜率为， 故该点处切线方程为，即． 因为切线经过，所以，则． 由于，则． 对应的两个切点分别为，． 所以切点弦的方程为． （2）由（1）可知． 又点到直线的距离为． 由题意，． 令，则，即．所以，从而，故． 当时， 或． 代入方程，即得两条切线分别为和． 9．（2026·湖南湘西·三模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由条件列方程求可得结论； （2）分析相切条件并建立参数关系，再利用三角形面积公式得到关于的方程，进而求解参数的值. 【详解】（1）由短轴长，得. 由，得，解得. 所以的方程为 （2）联立，得， 整理得. 由题意知，，则，化简得. 设，由根与系数的关系可知， ，即， 所以， 所以直线的方程为， 令，得，令，得. 的面积， 整理得，解得， 故. 10．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，以为直径的圆与轴相切，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，分别记，的面积为，，若，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合以为直径的圆与轴相切的几何条件，借助梯形中位线性质推导点到焦点的距离与到直线的距离相等，利用抛物线的定义即可求得曲线的标准方程. （2）先将两个三角形的面积比转化为焦半径的比值，结合抛物线的焦半径公式得到关于、两点横坐标的关系式；再联立过定点的直线与抛物线方程，利用韦达定理代入关系式求解直线斜率，最终得到直线的方程. 【详解】（1）设的中点为，分别过点，作轴于，轴于，点到直线的距离为， 因为以为直径的圆与轴相切，所以，   又，   所以，故， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故的方程为．   （2）设，， 因为，，所以，即，   整理得，得，即． 当的斜率不存在时，显然不合题意；   当的斜率存在时，设的方程，   由消去，得， 整理，得，   从而，且，，   由，得， 整理，得，解得，   经检验，当时，，符合题意，   所以的方程为即． 题型二 面积范围最值问题 【例题精讲】 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆： 的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线： 与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据离心率及右焦点坐标求解即可. （2）直线方程与椭圆方程联立求出，，根据弦长公式及点到直线的距离公式求出及原点到直线的距离，代入三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，，得，． 故椭圆的方程为． （2）联立，整理得． ，则. 设，，则，， 则． 原点到直线的距离． ． 当且仅当，即（满足）时取等号，最大值为1． 2．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点， ，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据椭圆的离心率及左焦点求解即可. （2）由可得，求出和的值，求得和的斜率之和，从而得到成立． （3）由面积，令，，得，结合二次函数性质求解即可． 【详解】（1）由题意得，，．可知，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：根据题意，设直线的方程为，，，， 由，可得， 则，， 所以， 而，所以， 所以成立． （3） ． 令，，则， 又，所以当，即时，取得最大值，为. 故面积的最大值为． 4．（2026·江西南昌·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】（1）根据椭圆性质与离心率即可求解； （2）讨论直线方程，通过求解点与点坐标，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的上顶点为，所以， 因为离心率，且， 所以，， 则椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线过点，直线方程为，此时、、三点共线，不满足题意， 所以直线斜率必存在，设直线方程为， 联立得， ， 解得方程两根为，， 因此，所以点坐标为， 因为，所以设， 则，，即 ， 直线的方程为 ，所以点到直线的距离为， 而，所以， ， 所以， 当时，，当时，有， 所以，当且仅当时等号成立. 所以最大值为.    5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）根据直线的斜率进行分类讨论，由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为． 因为，所以直线CD的斜率为． 因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，． 由，消去y得． 则， 可得，． 则 ， 同理可得． 因为，所以 ． 当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值； 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时，，，或者，， 所以． 因为，所以四边形ACBD面积的最小值为． 6．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设 ，分别将坐标代入椭圆中，得出两等式，相减得出 ，写出的表达式，化简得出结果，然后代入计算. （2）设直线 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求出 ，算出的表达式，而 ，代入，用基本不等式求出最大值，再得出四边形面积的最大值. 【详解】（1）设，，根据对称性，有. 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，. 所以为定值. 所以时，. （2）当的倾斜角为时，与重合，舍去. 当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，. 设直线的方程为，代入. 得. 显然，，. 所以 设，所以，. 所以. 当且仅当即时等号成立，所以. 所以平行四边形面积的最大值为. 7．（2026·甘肃·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【详解】（1）由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 8．（25-26高二下·上海闵行·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. (1)求抛物线的方程； (2)判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)是，定值为0； (3). 【分析】（1）设出抛物线方程，利用待定系数法求解. （2）由抛物线方程设出点坐标，利用斜率坐标公式列式求解. （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，设抛物线的方程为，由抛物线过点，得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）设点，由直线斜率为，得， 整理得，因此， 所以是定值，该定值为0. （3）依题意，直线的方程为，即， 由消去得，， ，，， 点到直线的距离， 则的面积， 令，则，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以面积的最大值为. 9．（2026·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意求得椭圆的方程为，设，，进而根据基本不等式求得，再算面积即可； （2）设，，进而根据，，三点共线，结合向量表示求得，再根据两点间的距离公式求解即可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，， 所以椭圆的方程为，如图， 设，，其中，， 因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 所以面积，即面积的最大值为. （2）设，，则，，三点共线， 所以，即，解得， 所以， ， 所以. 10．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）设椭圆的离心率，且点在C上． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆上一点坐标、离心率以及椭圆中的关系来确定椭圆方程中的参数和. （2）先根据三角形面积公式得出面积与的关系，再通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出，最后通过换元法结合函数单调性求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意得点在椭圆上，所以， 即，解得：， 又因为，所以，即， 又因为，所以， 即，求解可得：， 所以C的方程为． （2）设过的直线方程为，， 则 的面积为：， 又因为，所以， 联立直线与椭圆方程可得：，整理得：， 由韦达定理得：， 所以， 因此， 令，则，设 函数， 则函数在单调递增，最小值为， 因此，即面积的最大值为. 【真题回顾】 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 2．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得； （2）设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点、点坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为； （2）由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $