江苏扬中市第二高级中学2026年暑假高二升高三数学复习自测练习卷-平面向量的坐标表示及运算

**基本信息** 2026年暑假高中数学平面向量复习卷，通过分层题型与几何情境设计，强化坐标运算、基底应用等核心知识，培养几何直观与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|坐标运算、基底判定、投影向量|基础巩固，如基底判定题（第2题）| |多选题|3/18|向量夹角、投影长度、动点问题|能力提升，如含参数向量关系（第9题）| |填空题|3/15|定比分点、网格向量表示、几何图形向量|情境应用，如网格向量分解（第13题）| |解答题|5/77|仿射坐标系、梯形向量运算、三角形中线|综合创新，如仿射坐标系探究（第19题）|

2026年暑假高中数学（平面向量的坐标表示及运算）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设平面向量，，若，则等于 （    ） A． B． C． D． 2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 （ ） A. B. C. D. 3．已知 （ ） A． B． C． D． 4．设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作；若，则（ ） A. B. C. D. 5．已知向量，则以下说法正确的是 （ ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 6．已知菱形的边长为1，是菱形所在平面内的动点，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．如图，已知为全等的正六边形，且，点为边的中点，则的值为 （ ） A． B． C． D． 8．矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，，且向量满足，则 （ ） A. B. 向量与的夹角为 C. D. 向量在方向上的投影向量的长度为 10．已知，若，则 （ ） A． B． C． D．上的投影向量为 11．如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上，则 （ ） A． B．最小值为 C．在上的投影向量为 D．若，的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为___.____. 13．如图所示，规定每个小方格边长是，又已知向量、、. 则（1）若用向量、表示向量，则_________ _______； （2）向量与的夹角为_______________． 14．如图，已知的一条直角边与等腰的斜边重合， 若，，，则 ＝ . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，. （1）求； （2）若，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 16．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)若=8，，为边的中点，求中线的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值. 18．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示. （1）求与共线的单位向量的坐标； （2）求∠OCM的余弦值； （3）是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（平面向量的坐标表示及运算）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设平面向量，，若，则等于 （   A  ） A． B． C． D． 2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 （ D ） A. B. C. D. 3．已知 （ A ） A． B． C． D． 4．设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作；若，则（ D ） A. B. C. D. 5．已知向量，则以下说法正确的是 （ D ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 6．已知菱形的边长为1，是菱形所在平面内的动点，则的取值范围是 （ A ） A． B． C． D． 7．如图，已知为全等的正六边形，且，点为边的中点，则的值为 （ C ） A． B． C． D． 8．矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】记，则，， ，，所以当，时，取最小值.故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，，且向量满足，则 （ AB ） A. B. 向量与的夹角为 C. D. 向量在方向上的投影向量的长度为 【详解】向量，，则，∵向量满足，∴，解得或，又因为，所以，所以，对于A，，故A正确；对于B，， ，，向量与的夹角为，则，因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误．故选：AB 10．已知，若，则 （ AD ） A． B． C． D．上的投影向量为 11．如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上，则 （ ABD ） A． B．最小值为 C．在上的投影向量为 D．若，的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为___或.____. 13．如图所示，规定每个小方格边长是，又已知向量、、. 则（1）若用向量、表示向量，则_________ _______； （2）向量与的夹角为________ ##________． 14．如图，已知的一条直角边与等腰的斜边重合， 若，，，则 ＝ . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，. （1）求； （2）若，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 15．解：（1）. （2）因为，设， 则，解得. 因此或. （3）由（1）知，. 因为， 则， 所以，所以 又，所以. 故与的夹角为. 16．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 16．解：（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)若=8，，为边的中点，求中线的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值. 17．解：（1）∵向量，，， ∴，即， ∴，∴， ∵为边的中点，，， ∴， ∴， 又，，， ∴， ∴，即， ∴中线的长度为； （2）∵为边上一点，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当，即取等号， 故的最小值为.· 18．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示. （1）求与共线的单位向量的坐标； （2）求∠OCM的余弦值； （3）是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 18．解：（1）或 （2）由题意可得， 故. （3）设，其中. 若，则， 即，可得. 若，则不存在，若， 则， 故. 19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 19．解：（1）由已知得，所以仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． （2）当时，，，， 所以， ， ， 所以． （3）， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $