精品解析：浙江省余姚市兰江中学2021-2022学年八年级下学期“兰江杯”素质测试数学试题

2021学年第二学期“兰江杯”素质测试 八年级数学试题卷 一、选择趣（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 四条边都相等 C. 对角相等 D. 对边平行 5. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　 　） A. B. C. D. 6. 有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 7. 用配方法解时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E，F，G，H为正方形各边中点，连接EG，FH交于点O．点P是正方形内一点，连接EP、FP、GP、HP．这四条线段把正方形分为4个部分，分别记每个区域的面积为S1，S2，S3，S4，若要求得△FPH与△EPG的面积之差，则只需知道（ ） A. 与的面积之差 B. 与的面积之差 C. 与的面积之差 D. 与的面积之差 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 从甲、乙两实验田随机抽取部分水稻苗进行统计，获得苗高（单位：cm）的平均数相等，方差为：，，则水稻长势比较整齐的是_____________．（填“甲”或“乙”)． 13. 如图，将正五边形的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点落在直线上，则旋转的角度是______． 14. 若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 15. 如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF，给出下列五个结论:①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC，其中正确结论的序号是______. 16. 如图，四边形ABCD为菱形，点A在y轴正半轴上，AB∥x轴，点B，C在反比例函数上，点D在反比例函数上，那么点D的坐标为________. 三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 为进一步提升校园阅读氛围，在第25个“世界读书日”之际，学校开展了“读书四月（单位：小时）的样本数据，结果统计如下： 四月课外阅读时间（小时） 9 10 11 12 13 人数 7 11 10 9 8 （1）求出上述样本数据的众数、中位数及平均数； （2）若该校学生人数为540人，请估计四月课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人． 20. 如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求平行四边形的周长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 22. 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产万个，第三天生产万个．试回答下列问题： （1）求前三天生产量的日平均增长率； （2）经调查发现，条生产线最大产能是万个/天，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/天． ①现该厂要保证每天生产一次性注射万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 24. 我们定义，有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； （2）如图2，矩形中，，，点E在边上，连接作于F，，找出图中的等邻边四边形并说明理由； （3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021学年第二学期“兰江杯”素质测试 八年级数学试题卷 一、选择趣（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，是最简二次根式，故符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：“一个图形绕一点旋转180度，能与自身完成重合，这样的图形叫做中心对称图形”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用算术平方根的非负性快速排除部分错误选项，再验证剩余选项的运算结果． 【详解】解：A、C选项：，，选项均错误． B选项：，选项错误． D选项：，选项正确． 故答案为D． 4. 菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 四条边都相等 C. 对角相等 D. 对边平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，所以选项不符合题意； B．因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不一定相等，所以选项符合题意； C．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，所以选项不符合题意； D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，所以选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质． 5. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立即结论的反面成立进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明，“在中，、对边是a、b，若，则”， 第一步要假设， 故选：B． 【点睛】本题考查反证法的应用，熟练掌握反证法的一般步骤，理解假设结论不成立即结论的反面成立是解题的关键． 6. 有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意及中位数的概念进行求解即可． 【详解】由于总共由10个人，且他们的成绩各不相同，要想知道是否进入前5名，只需把自己的成绩与中位数进行大小比较即可； 故选B． 【点睛】本题主要考查中位数，正确理解中位数的概念是解题的关键． 7. 用配方法解时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程x2-4x-5=0， 移项得：x2-4x=5， 配方得：x2-4x+4=9，即（x-2）2=9． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8. 已知点，，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点，，分别代入分别求出、、的值，再进行比较即可． 【详解】解：把点代入得：， 把点代入得：， 把点代入得：， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 9. 如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可证四边形是矩形，可得，，由折叠性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，，， ，分别是边，的中点，是的中点， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， 将沿对折，使点落在点上 ， 在中，， ， （负值已舍去） ． 10. 如图，E，F，G，H为正方形各边中点，连接EG，FH交于点O．点P是正方形内一点，连接EP、FP、GP、HP．这四条线段把正方形分为4个部分，分别记每个区域的面积为S1，S2，S3，S4，若要求得△FPH与△EPG的面积之差，则只需知道（ ） A. 与的面积之差 B. 与的面积之差 C. 与的面积之差 D. 与的面积之差 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形分别表示出△FPH与△EPG的面积之差、与的面积之差，进而得出结论． 【详解】解：如图， 设正方形ABCD的面积为4S， 则正方形FBGO、正方形EOHD的面积都是S， ， ， ∴要求得△FPH与△EPG的面积之差，则只需知道与的面积之差， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、三角形的面积，正确表示出△FPH与△EPG的面积之差、与的面积之差是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 从甲、乙两实验田随机抽取部分水稻苗进行统计，获得苗高（单位：cm）的平均数相等，方差为：，，则水稻长势比较整齐的是_____________．（填“甲”或“乙”)． 【答案】甲 【解析】 【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此得出答案即可． 【详解】解：∵s甲2=3.6，s乙2=15.8， ∴s甲2＜s乙2， ∴水稻长势比较整齐的是甲． 故答案为：甲． 【点睛】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 13. 如图，将正五边形的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点落在直线上，则旋转的角度是______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】根据正多边形的性质，内角和定理，平角的定义的计算得到，结合旋转即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点落在直线上，则旋转的角度是 ． 14. 若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由方程根的定义得到，变形得到，整体代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵根据题意，是方程的一个根， ∴ ，变形得 ， ∵， ∴， 将代入所求代数式 ， ∵， ∴原式． 15. 如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF，给出下列五个结论:①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC，其中正确结论的序号是______. 【答案】①②④⑤． 【解析】 【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC． 【详解】证明：过P作PG⊥AB于点G， ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴GP=EP， 在△GPB中，∠GBP=45°， ∴∠GPB=45°， ∴GB=GP， 同理，得PE=BE， ∵AB=BC=GF， ∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB， ∴AG=PF， ∴△AGP≌△FPE， ∴AP=EF，故①正确； 延长AP到EF上于一点H， ∴∠PAG=∠PFH， ∵∠APG=∠FPH， ∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF，故②正确； ③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度， ∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误． ∴∠PFE=∠BAP，故④正确； ∵GF∥BC， ∴∠DPF=∠DBC， 又∵∠DPF=∠DBC=45°， ∴∠PDF=∠DPF=45°， ∴PF=DF=EC， ∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2， ∴DP=EC，故⑤正确． ∴其中正确结论的序号是①②④⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质，即在正方形中，对角线平分对角；正方形四条边都相等，四个角都是直角． 16. 如图，四边形ABCD为菱形，点A在y轴正半轴上，AB∥x轴，点B，C在反比例函数上，点D在反比例函数上，那么点D的坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】分析:首先设出菱形边长为a,由AB=a,得出C、D的坐标，过点C作CE⊥AB，由勾股定理可得D点坐标. 详解：设菱形边长为a,即AB=a, 设C点坐标为（b,）, ∵BC∥x轴，∴D点纵坐标为：，∴D点横坐标为：，则x= -4b, ∴D（-4b, ）, ∵CD=a, ∴4b+b=a, a=5b, 过点C作CE⊥AB,则BE=a-AE=a-b=4b,BC=a=5b, 由勾股定理：CE=3b,CE= , ∴b²=1-=, b=,∴D.故答案为. 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，解题的关键是设出菱形边长，利用反比例函数的性质表示出菱形各顶点的坐标，进而求解. 三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解答； （2）利用因式分解法解答； 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 配方，得： ， 即：， 开平方，得：​， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，． 19. 为进一步提升校园阅读氛围，在第25个“世界读书日”之际，学校开展了“读书四月（单位：小时）的样本数据，结果统计如下： 四月课外阅读时间（小时） 9 10 11 12 13 人数 7 11 10 9 8 （1）求出上述样本数据的众数、中位数及平均数； （2）若该校学生人数为540人，请估计四月课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人． 【答案】（1）众数是10，中位数是11，平均数是11 （2）204人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的计算方法进行计算即可； （2）求出样本中课外阅读时间达到12小时及以上的学生所占的百分比即可估计总体540人中课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数． 【小问1详解】 解：学生四月份课外阅读时间出现次数最多的是10小时，共出现11次，因此众数是10小时， 将调查的45名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的一个数是11小时，因此中位数是11小时， 这45人的平均数为：（小时）， 答：众数是10，中位数是11，平均数是11； 【小问2详解】 解： （人）， 答：该校540名学生中四月课外阅读时间达到12小时及以上的约为204人． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布表，掌握众数、中位数、平均数的计算方法是正确计算的前提． 20. 如图，平行四边形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）64 【解析】 【分析】（1）由平行四边形得，由平行四边形得，，进而证明，，即可得出结论； （2）先证明平行四边形是菱形，再证明平行四边形是矩形，求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴． 由（1）得：四边形为平行四边形， ， ， ， ∴平行四边形为矩形， ， ∴平行四边形的周长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点A分别代入到两个函数解析式即可解答； （2）联立一次函数和反比例函数的表达式即可解答； （3）观察函数图象得出反比例函数在一次函数上方或相等时x的取值范围即可； 【小问1详解】 解：将点代入中得， ， ∴一次函数表达式为， 将点代入中得，解得：， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立与，得，即， 解得：或2， 当时，， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， 根据函数图象可得，当时，或． 22. 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产万个，第三天生产万个．试回答下列问题： （1）求前三天生产量的日平均增长率； （2）经调查发现，条生产线最大产能是万个/天，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/天． ①现该厂要保证每天生产一次性注射万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①条；②不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设前三天日平均增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）①设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/天，根据题意列出方程求解即可；②设增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/天，根据题意可得，再根据得到结果． 【详解】解：（1）设前三天日平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：前三天日平均增长率为． （2）①设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/天， 依题意，得：， 解得：，， 又在增加产能同时又要节省投入， ． 答：应该增加条生产线． ②设增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/天； 依题意，得：， 化简得：， ，方程无解． 不能增加生产线，使得每天生一次性注射器万个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形， 理由如下：∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）；理由如下： 如图②，过点D作于H， ∵， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）由，，可证四边形是正方形； （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得△ADH≌△BAE，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长，即可得出的长． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图①，过点D作于H， 由（2）同理可证：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24. 我们定义，有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； （2）如图2，矩形中，，，点E在边上，连接作于F，，找出图中的等邻边四边形并说明理由； （3）如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 【答案】（1）解：3个不同形状的等邻边四边形如图所示． （2）解：四边形和四边形都是等邻边四边形． 理由如下： ∵四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得，， ， ， ∴四边形和四边形都是等邻边四边形． （3）为4或6或． 【解析】 【分析】（1）因为“等邻边四边形”要求有一组邻边相等的凸四边形，所以先确定的长度，再分别令等邻边相等情况，结合网格格点坐标特征确定D点位置，保证四边形为凸四边形． （2）先根据矩形性质得到，结合，用勾股定理求出长度，得到长度．再利用的相等关系，判断是否为等邻边四边形． （3）先根据的角度和边长条件，求出的长度，再得到的长度．因为等邻边四边形是，所以分三种邻边相等的情况讨论：，结合点M在上的条件，对符合的情况用含的直角三角形，勾股定理，线段的和差关系求出长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：①∵在中，，，， ∴， ∵点M是边上一点，四边形是“等邻边四边形”， ∴当时，； ②∵，D是的中点， ， 当时，如图3，作于H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ③当时，如图4，作于H， 设， 由②得，， 则 在中，， 即解得，即 综上所述，当为4或6或时，四边形是“等邻边四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $