第3章 代数式 单元复习归纳-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册七年级数学上册®O 方法二如图2所示，把一个面积为1的正 方形分成两个面积为2的长方形，接着把其 中一个面积为，的长方形等分成两个面积为 }的正方形，再把其中一个面积为的正方形 等分成两个面积为g的长方形，…，由图形 示的规体++日+品十品十 163 6464 4 蓝 32 图2 [变式5]552.提示：13=12,13+23=(1+ 2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13十 23十33十43=(1+2+3十4)2=102.根据数 据可分析出，规律为从1开始，连续n个数 的立方和=(1+2+…十n)2,所以13+23+ 33+…+103=(1+2+…+10)2=552. [变式6]如图所示，将a,b,一a,一b四个数 在数轴上表示出来。 -a0 a -6 '.b<-a<a<-b. [变式7刀D提示：c=10000+?026, 2025,d= 10000 2025202>1>2026 、2025 2026·2025 .∴.c> d.又，a与c的分母相同，a的分子大于c 的分子，∴.a>c,同理，d>b,∴.a>c> d>b.故选D. 130 第三章代数式 3.1列代数式表示数量关系 [变式1门(-1)+1 (2n-1)(2n+1)1 [变式2]D[变式3]2mx". 3.2代数式的值 [变式1]B提示：由已知得4y2-2y+5= 7,.4y2-2y=2,∴.2y2-y=1, .2y2-y+1=2. [变式2]23.提示：输入x=5时，x>3,故 m=52-5十3=23，∴.输出的结果为23. 第三单元复习归纳 [变式1门当x≤30时，上网费用=60x× 3 0.22十4.8x=9.2x(元)；当x>30时，上网费 用=0X×a2+48X0+0,0× 3 0.11十3(x-30)=5.2x十120（元）. [变式2]-|a-1(答案不唯一). [变式3]A提示：2+ 3b,3(a-b)3a 2 2 [变式4](1)500÷20=25(cm),500÷25= 20(cm),500÷50=10(cm),500÷75≈ 6.67(cm). 水的高度分别是25cm,20cm,10cm,6.67cm. (2S-2,5与成反比例关系 [变式5]D提示：.a-2b2=3,.-a+ 2b2=-3,∴.-2a+4b2=-6,∴.2030 2a+4b2=2030-6=2024. [变式6]C提示：由已知得a×13十b×1+ 7=4,即a+b+7=4,所以a+b=-3,所以 当x=-1时，a×(-1)3+b×(一1)+7= a-b+7=3+7=10. [变式7](1)根据题意可得，A套餐应付费 (20+0.15.x)元，B套餐应付费(45+ 0.1x)元. (2)把x=800代入， A套餐应付费20+0.15×800=140（元）， B套餐应付费45+0.1×800=125（元）. 所以采用B套餐更划算. 第四章整式的加减 4.1整式 m+1+2=6, [变式1]由题意知{ 解得 2n+5-m=6, m=3, .m3+n3=33+23=35. n=2, 4.2整式的加法与减法 [变式1](x3-2x2+x-4)+(2x3-5x+6) =x3-2x2+x-4+2x3-5x+6 =x3+2x3-2x2+x-5.x-4+6 =3x3-2x2-4x十2. (x3-2x2+x-4)-(2x3-5x+6) =x3-2x2+x-4-2x3+5x-6 =x3-2x3-2x2+x十5.x-4-6 =-x3-2x2+6x-10. [变式2].单项式x“y3与2x3y的和是一 个单项式，a=3,b=3, .xy3-2x3yb=x3y3-2x3y3=-x3y3. [变式3](1)3A+2B=3(2xy-x2)+2(y2十 3xy) =6xy-3x2+2y2+6xy =-3x2+12xy+2y2, 变式参考答案与提示 [变式4](1)方法一 原式=2x2-[6.x-4(-x2+2x-1)-8] =2x2-6x+4(-x2+2x-1)+8 =2x2-6x-4x2+8x-4+8 =-2x2+2x+4. 方法二原式=2x2-2(3x+2x2-4x十2-4) =2x2-2(2x2-x-2) =2x2-4x2+2x+4 =-2x2+2x十4. (2)原式=4(x-1)-3[2(x-1)-3(x-1)] =4(x-1)-3[-(x-1)] =4(x-1)十3(x-1) =7(x-1) =7x-7. [变式5]1.提示：由y=x-1得x-y= 1,y-x=-1,.原式=12+(-1)+ 1=1. [变式6]原式=2a2-3ab+b2-a2+ab 2b2=a2-b2-2ab.当a2-b2=5,ab=2时， 原式=5-2×2=1. [变式7]A 第四单元复习归纳 [变式1](6n+2). [变式2]A [变式3]m(2a-3)+2m2-4a=2ma-3m+ 2m2-4a=(2m-4)a+2m2-3m. 其值与a的取值无关，∴.2m一4=0， ∴.m=2. [变式4]3(x2-nx+2)-(mx2+2x-1)= 3x2-3n.x+6-mx2-2x+1=(3-m)x2 131重难点手册 七年级数学上册®① 单元复习归纳 01知识网巧 构建 代数式的意义 用字母表示数 代数式 列代数式 代数式的值 02微专题妙 总结 微专题1 用字母表示数 局为了鼓励居民多上网，特制定了如下收费标 准：每月上网时间不超过30小时，费用为电话 用字母表示数是从实际问题中提炼出来 费0.22元/3分钟，上网费4.8元/小时；每月 的，渗透了从具体的数过渡到字母的抽象概括 上网时间超过30小时，超过部分的费用为电 的思维方法.用含有字母的式子表示现实生活 话费0.11元/3分钟，上网费3元/小时.某网 中的数量关系，可使我们对生活中的数学有 民3月份的上网时间为x小时，用含x的式子 个新的认识. 表示他3月份的上网费用. 例刀用含字母的式子填空： (1)a的15%减去70可表示为 微专题2代数式的有关概念 (2)某商店上月收入为a元，本月的收入 代数式的概念概括起来就是“两含”：含有 比上月的2倍还多10元，则本月的收入是 字母或数，含有运算符号.这里需要注意的是 元； 等号与不等号不属于运算符号， (3)如果正方体的棱长是a一1，那么正方 例2下列说法中错误的是( ) 体的体积是 ,表面积是 A.代数式5(x+y)的意义是5与(x十y) (4)(2025·内蒙古中考)冰糖葫芦是我国 的积 传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂， B.x的5倍与y的和的一半，用代数式表 小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串 和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代 示为5x+名 数式表示为 C.代数式x2+y2的意义是x,y的平方和 点拨解决此类问题时应先弄清题目中表示运 D.比x的2倍多3的数，用代数式表示为 算关系的词语，其次应分清运算顺序. 2x+3 图案(1)15%a-70.(2)2a+10. 点拨正确理解代数式的有关概念，学会代数式 (3)(a-1)3;6(a-1)2.(4)5m+3n. 的规范书写和读法。 ◆变式1通过电脑拨号上因特网的费用 答案B 是由电话费和上网费两部分组成的，某市电信 例3说出下列各组代数式的意义有什么 58 第章代数式 不同，并举例说明它们表示的实际问题中的数 量也随着变化，还有就是必须两个量的积是 量关系 定值 (1)2m-1与2(m-1); 例4甲、乙、丙3人完成种植树苗的任 、1 2)2与，+a 务，丙用的时间最长 (1)已知甲完成这项任务用了10天，平均 点拨正确地掌握代数式的读法和意义是关键。 每天种植150棵.则乙完成这项任务用了 解析(1)意义：2m-1表示m的2倍与1的差， 20天，平均每天种植多少棵？丙完成这项任务 2(m一1)表示m与1的差的两倍，它们的运算顺序不同. 用了m天，平均每天种植多少棵？他们种植的 举例：2m一1可表示为甲数是m,乙数比甲数的 天数和平均每天种植的棵数之间有什么关系？ 两倍少1，则乙数是多少？ 2(m一1)可表示为某种商品原售价是每个m元，现 (2)两星期内，按照(1)中的平均种植速度 每个优惠1元，那么现在出售两个这种商品是多少元？ 种植了t天，他们各种植了多少棵？还剩下多 2)意义：0表示)与a的叔，号+a表示号与 1 少棵？已经种植的树木的棵数与剩下的棵数 成反比例关系吗？为什么？ α的和，它们的运算符号不同. 点遐两个变化的量是否成反比例关系，需要看 举例：0可表示为甲数是@，乙数是甲数的一 它们的积是否是定值 半，那么乙数是多少？ 解析(1)由题意可知，这次种植树苗的任务是 10×150=1500棵， 合+a可表示为甲数是a,乙数是分，哪么甲，乙 乙完成这项任务用了20天，则乙平均每天种植 两数的和是多少？ 1500 20 =75棵， ◆变式2写出一个含有字母a的代数式， 丙完成这项任务用了m天，则丙平均每天种植 使字母a不论取何值，代数式的值总是负数： 1500 棵， n ◆变式3如图，四边形ABCD是长方形， 因为种植树苗的总任务是定值1500棵，且种植 用代数式表示图中阴影部分的面积为( 的天数×平均每天种植棵数=总棵数1500，所以他 们种植的天数和平均每天种植的棵数成反比例关系. (2)甲平均每天种植150棵，t天种植了150t棵， 还剩下(1500-150t)棵， 乙平均每天种植75棵，t天种植了75t棵，还剩 下(1500一75t)棵， A.2 B.3 2 D3+6 丙平均每天种枝150棵，1天种拉7150禄， c号 2 还剩下(1500-1500E) 棵 m 微专题3反比例关系 因为已经种植的树木的棵数与剩下的棵数的积 反比例关系概括起来就是“三必须”：必须 不是定值，故它们之间不成反比例关系 含有两个相关的量，必须一个量变化，另一个 ●变式4已知四个长方体容器的内部底 59 重难点手册 七年级数学上册® 面积分别是20cm2,25cm2,50cm,75cm2, ●变式5已知a-2b2=3,则2030一2a十 分别向四个容器内注入500cm3的水. 4b2的值是( ) (1)四个容器中的水的高度分别是多少 A.2021 B.2022 厘米？ C.2023 D.2024 (2)分别用S(单位：cm)和h(单位：cm) ●变式6当x=1时，代数式ax3十bx十7 表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表 的值为4，则当x=一1时，a,x3+bx+7的值为 示S与h的关系，S与h成什么比例关系？ ) 微专题4 求代数式的值 A. -4 B.7 C.10 D.13 求代数式的值有“三法”：直接代入法、间 微专题5代数式在实际问题中的应用 接代入法、整体代入法.根据不同的问题，选用 代数式在实际问题中的应用，需要先认真 不同的方法是关键 阅读题目，理解题意，再根据问题中的条件列 例5求解下列问题： 出代数式，最后将字母的值代入代数式求值 (1)当x=一3时，代数式2x2-5x-3的 例6如图，一扇窗户的窗框 值为 为铝合金材料，上面是由三个大 (2)已知x-y|=y-x,|x|=1,|y|= 小相等的扇形组成的半圆窗框构 2,则x3-y2十2xy一5= 成，下面是由两个大小相等的长 (3)规定：f(x)=px3十qx十1.例如，当x x、宽y的长方形窗框构成，窗户 =3时，f(3)=33×p+3q+1=27p+3q+1. 全部安装玻璃（π取3，长度单位为米） 已知f(1)的值为2024，则f(一1)的值为 (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金多少 米（用含x,y的式子表示）？ 点拨对于(1)，直接代入数字可以求出代数式 的值.对于(2)，需要先求出x,y的值，再代入求值.对 (2)一扇这样的窗户一共需要玻璃多少平 于(3)，运用整体代入法更方便. 方米（铝合金窗框的宽度忽略不计，用含x,y 解析(1)当x=一3时，2x2一5.x一3=2× 的式子表示)？ (-3)2-5×(-3)-3=30. (3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在 (2)|x-y=y-x,y>x, 同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出 |x=1,ly=2,.x=士1，y=2, 如下表所示的报价 当x=1,y=2时，x3-y2+2xy-5=13-22+ 2×1X2-5=-4; 铝合金/（元/米） 玻璃/（元/平方米） 当x=-1,y=2时，x3-y2+2xy-5=(-1)3 不超过100平方米的部 -22+2×(-1)×2-5=-14. 分，90元/平方米，超过 甲厂商 180 (3)依题意得f(1)=p×13+q×1+1=2024, 100平方米的部分，70元/ 即p十q=2023, 平方米 ∴.f(-1)=p×(-1)3+q×(-1)+1=-(p十 q)+1=-2023+1=-2022. 80元/平方米，每购一平方 乙厂商 200 图案(1)30.(2)-4或-14.(3)-2022. 米玻璃送0.1米铝合金 60 第章 代数式 当x=4,y=2时，该公司在哪家厂商购买 方米)， 窗户更划算？ 甲：180×300+90×100+70×120=71400（元）， 解析(1)根据题意得4x十4y十2×π×x, 乙：200×(300-220×0.1)+80×220= 73200(元)， 3 :元取3，·原式=4红十4y+2x=4红十4y十 .71400<73200,∴.甲划算. 1.5x=5.5.x+4y. 答：该公司在甲厂商购买窗户更划算」 答：一扇这样的窗户一共需要铝合金(5.5x十4y)米 ●变式7某地区的手机收费有如下表所 (2②)根据题毫得2四+号×x×(侵)”=2+日 示的两种套餐，用户可任选其一进行消费 π取3， 套餐 月租费/（元/月）主叫费/（元/分钟） 接电话 原=2y+-2w+ 3x2 A 20 0.15 免费 答：一扇这样的窗户一共需要成璃(2y十层 B 45 0.1 免费 平方米 (1)某用户9月份主叫时间为x分钟，请 (3)当x=4,y=2时，代入原式可得铝合金的长 你写出两种套餐下该用户应付的费用； 为(5.5×4+4×2)×10=300（米）， (2)某用户估计一个月主叫时间为800分 玻璃的面积为2×4x2+号×4)×10=20（年 钟，你认为采用哪种套餐更划算？ 61