第2章 有理数的运算 单元复习归纳-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册七年级数学上册®O 单元复习归纳 01知识网巧 构建 加法 减法 有理数 交换律 的运算 结合律 分配律 乘法 除法 乘方 科学记数法 近似数 」02微专题妙 总结 微专题1 有理数的计算技巧 =3×(1+2+…+32) 1.凑整法 =3×2×1+32)×32=1584, 凑整法主要是正确运用有理数运算中的 方法二（先改负为正，再双倍相减，最后按正、 交换律和结合律，使那些能凑成整数的有理数 :负分别分组求和) 结合在一起，使运算简化， 原式=(1+2+3+4+5+6+…+97+98+99) 圆1计算：6号+24-（←4）-16十 -2X(3+6+9+…+99) -2×1+9)×9-2X8x1+2+3+ (-6.8)+1-3.2. +33) 点遐将同分母的分数结合在一起， =50×99-3×34×33 圆题原式=(6名+4)-(6.8+32)十 =(50-34)×(100-1) (24-16+1) =1584 =11-10+9=10. ·变式1计算： ++++ 1 + 2.分组法 分组法是指将满足相同规律的数分成一 3 12 58,59 60T60 6060 组，便于运用同一算法进行计算， 3.整体设元法 例2计算：1+2-3+4+5-6+7+8 整体设元法就是将一串有理数的代数和 9+…+97+98-99. 视为整体，用一个字母来代替，化繁为简， 解析方法一（按两正一负的规律来分组） 原式=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+… 圆计算：（1…22s(1+ +(97+98-99) =0+3+6+…+96 ++22)-(1++号++22)· 第台章 有理数的运算 2+号十…+202 圆国计钟：+名+2+…叶+g0 1 1 恩遐观察算式特征，四个括号内出现共同的算 1 1 1 1 行是可以设号++…叶 圆团原式=1X2十2X3十3X4十+99×100 +…+2025 1 =1-+++…+ 2025-a. 1 100 199 原式-(e+22s)a+a)-+a+2iasa =1-100100 11111 =a(1+a)+20261+a)-1+a)a 9变式3计算：2X4十4X6+6X8+…+ 1 1 2026a 2024×2026 1 6.数形结合法 -2026 数形结合的基本思想就是在研究问题的 变式2计算1-}日}》合 过程中，把数与形结合起来考查，把图形性质 的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关 3+++》-1-日日 系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题 简单化、抽象问题具体化. (+号++》 例6求1+2十3十4+…十n的值，其中n 4.拆项法 是正整数.方案如下：如图1，斜线左边的三角形 拆项法就是将复杂的项拆开来算。 图案是由上到下每层依次分别为1,2,3，…，n 圆4计算：(-13号)÷(-). 个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆 圈的个数恰为所求式子1十2十3+4十…+n 圆题原式=133号×号=(133+)×号 的值.为求式子的值，现把左边的三角形倒放 133×+号×号-19+日-19 于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边 形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行， 5.裂项法 每行有(n十1)个小圆圈，所以组成平行四边形 常见的裂项一般是将一项拆分成两项或 的小圆圈的总个数为n(n+1)个，因此，组成 多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑 整，其中分数的裂项是重要考点， 个三角形小圆圈的个数为”。十D,即1十2十 2 “裂差"型运算：心-日石其基本类 3+4+…+n=n(n十1) 2 型有： 0八000…000n 23 … ①1，=11 000 0000 4 n(n+1) 0000 000 3 2 n000…0000 图1 45 重难点手册七年级数学上册®O (1)仿照上述数形结合的思想方法设计相 证明 关图形，求1十3+5+7+…+(2m-1)的值，其 例7先观察表格，再解决问题、 中n是正整数（要求：画出图形，并利用图形作 两个式 必要的推理说明)； 项数 式子① 式子② 子的比 (2)试设计另外一种图形，求1十3十5十 第一项 1 12 1 7十…十(2n一1)的值，其中n是正整数（要求： 前两项 1+2 12+22 3 画出图形，并利用图形作必要的推理说明) 5 点拨构造平行四边形或正方形求解】 前三项 1+2+3 12+22+32 解析(1)如图2，因为组成此平行四边形的小圆 7 圈共有n行，每行有[(2n-1)+1]个，即2n个，所以组 前四项 1+2+3+4 12+22+32+42 3 成此平行四边形的小圆圈共有(n×2m)个，即2n2个. 所以1+3+5+7+.+(2n-1)=n2. 前五项1+2+3+4+512+22+32+42+52 11 所以1+3+5+7+…+(2m-1)= … n×[(2m-1)十1卫-=m. 2 计算12+22+32+…+1002的值 1 o0o000.000002n-1 点拨观察已知式（式子①）和未知式（式子②）的 3 000 。 。。 57 00.00\0O0O000 7 比之间的规律，即可发现已知式与未知式之间的关系. 00000 、O0OOO 5 000 3 2n-100000…000000 圆固观察两个式子的北1，号号号品…，化 图2 (2)如图3，因为组成此正方形的小圆圈共有n行， 为相同分子为3,3,3,33 3’57911… 每行有n个，所以共有(nXn)个，即n2个 31 .第100项的比为 01671 所以1+3+5+7+…+(2m-1)=n×n=n2. 1 0|0|0|01 IO 1+2+…+1001 3000 心1+2+…+1002-67 5 O00 0 .1+2+3+…+100=5050, 7 OOOO ∴.12+22+32+42+…+1002=338350. 0 2n-10o0…0O ◆变式5观察下列各式： 图3 13=12; 点评在代数问题的解决过程中，若将其数量关 13十23=32； 系赋予一定的几何意义，实现数与形的信息互换，往往 13+23+33=62; 能将问题变得非常形象直观，从而使问题得以解决」 13+23+33+43=102; 111111 ◆变式4计算：2十4+8+16十32十64 猜想：13+23十33十十103= 7.观察归纳猜想法 观察是发现的基石，在观察的基础上从问 微专题2 有理数的大小比较 题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情 1.利用数轴比较有理数的大小 形或特殊情况的尝试，对这些情景进行观察， 该法就是将要比较的各数根据它们的符 归纳出一般情形的猜想，然后对这一猜想作出号在数轴上表示出来，再根据“右边的数总比 第台章 有理数的运算 左边的数大”确定各有理数的大小，此种方法 大小.即若a-b>0,则a>b;若a一b=0,则 特别适用于同时比较多个有理数的大小 a=b;若a-b<0,则a<b. 例8用“<”连接下列各数： 例10设a1,a2,a3,…,a202sa2o27都是正 1f-2.5,208,-1.0 3 数.又设M=(a1十a2+…十a2o26)(a2十a3 +…+a2027),N=(a1十a2+…+a227)(a2+ 解析把各数在数轴上用，点表示出来，如图所示」 a3+…+a2o26),试比较M与N的大小，并说 明理由 -3-2-10 点拨M与N中出现了许多相同的项，可以运 根据“在数轴上表示的有理数，左边的数总小于右 用整体设元，再作差比较， 边的数”，得到-25<-2<-1<0<081号<， 解析设a2十ag十…十a226=A. ◆变式6已知a,b为有理数，且a>0,b< 则M-N=(a1+A)(A+a22)-(a1+A+ 0,a十b<0,试将四个数a,b,-a,一b按从小 a2027）A 到大的顺序排列 =(a1+A)A+a22m(a1+A)-(a1+A)A 2.利用法则比较有理数的大小 a2027A 该法主要根据有理数的大小比较法则“正 =a1a2027>0. 数大于0；0大于负数；正数大于负数；两个负 '.M>N」 数，绝对值大的反而小”来进行比较，这是比较 4.利用作商法比较有理数的大小 有理数大小最常用的方法， 比较两个正数的大小，可以先求出这两个 例⑨在下列两个数之间填上适当的不 数的商，看商是大于1、等于1还是小于1，从而 确定两个数的大小 等号： 2024×2025 (1)1 9 0.001; 例11已知，A= 2026X2027,B= 20252027C-号024X2022 2024×2026 2)-3 -0.68. 2025X2026,则有( A.A<B<C B.C<B<A 解析(1)因为 99<0,0.001>0,根据“正数大 C.B<A<C D.B<C<A 1 于负数”，得到一9g0.001. 点拨通过作差法比较大小难度较大，经观察， A,B,C三个数都是正数，且分子、分母是四个连续整 (2)先求两数的绝对值， 2 3 ≈0.67， 数，因此考虑作商比较简便。 1-0.68|=0.68. 爵面因为合-名0281，且4>0，B>0 由于0.67<0.68，根据“两个负数，绝对值大的反 所以A<B,同理可求得B<C 而小”，将到-号>-068 所以A<B<C. 答案(1)<.(2)> 答案A 3.利用作差法比较有理数的大小 5.利用倒数法比较有理数的大小 比较两个数的大小，可以先求出两个数的 当两个数都是正数时，可以先求出其倒 差，看差与0的大小关系，从而确定两个数的：数，比较其倒数的大小，从而确定这两个数的 重难点手册 七年级数学上册®J 大小 A.a<b<c B.a<c<b 111 1111的大小 例2比较11和11 C.b<c<a D.c<6<a 点拨a,b,c这三个数都与“1”接近，因此可先 点拨根据两个分数的特征可知其不易化简约 将这三个数分别与“1”相减，再来比较它们的“接近程 分，因此可求其倒数，通过比较倒数的大小来确定原 度”，从而可确定它们的大小关系。 数的大小 1 图固册的倒教是10品 图ǖ因为Q-1=20256-1=20266- 1 1= 1111 1 2027 立1的倒数是1011， 1 1 1 又因为一 2025 2026<2027' 因为10>101i1, 所以a-1<b-1<c-1,故a<b<c. 1111111 答案A 所以11i<1111 2026202 ●变式7设a= 6 20252026 6.利用变形法比较有理数的大小 2025 2026, 比较大小，有时可以先把这些数进行适当 20252026 2026202 ,则下列关系中 的变形，再进行比较。 2025 d 2026 圆日设a名8262， _2026 成立的是( =2026'c=2027' A.a>b>c>d B.c>a>d>b 则有(). C.a>d>c>b D.a>c>d>b 48=+号引×-=-7+9-8+ 12=-14, 故原式=一4： 2.3有理数的乘方 2.3.1乘方 [变式们 (1)原式=-4×(4×0.25)2025+4 =-4X12025+4 =-4×1+4=-4十4=0. (2)原式=2·a2m·a2m·a2m十1 =2×5×5×5+1 =250+1=251. 2.3.2科学记数法十2.3.3近似数 [变式1]B [变式2](1)C提示：因为2000是通过四 舍五入得来的，所以千位上的最小值为1，百 位上的最小值则为5，但百位上的5也可以 是由十位上的数进上来的，则百位上的最小 值为4，十位上的最小值为5，但十位上的5 也可以是由个位上的数进上来的，则十位上 的最小值为4，个位上的最小值为5，所以这 个数的最小值是1445.同理，这个数的最大 值是2444 (2)意义不相同，它们的精确度不同，1.6精 确到十分位，它与准确数的误差不超过 0.05;而1.60精确到百分位，它与准确数的 误差不超过0.005. 第二单元复习归纳 [变式门原式+（得+》+（任+子+） +++品+…+8 变式参考答案与提示 +号++…+9 2×1121359) -号×号×1+50)x9 =885. [变式2] 设+++日=a 则原式=(1-a)(a+君)-(1-a-合a =1-aa+a-a）-1-aa+5 61 [变式3] 原式-×[（号）+（保-）十 (信)…+(24 20】 =2×日20) -古×8器 253 =1013 [变式4]方法一如图1所示，设一条线段的 长为1，用它的二分之一线段表示2，四分之 线段表示4…，六十四分之一线段表示 品构成如图1所示的线段阁显然号+十 8十16十2+4-1-是-6 11141 6464 图1 129 重难点手册七年级数学上册®O 方法二如图2所示，把一个面积为1的正 方形分成两个面积为2的长方形，接着把其 中一个面积为，的长方形等分成两个面积为 }的正方形，再把其中一个面积为的正方形 等分成两个面积为g的长方形，…，由图形 示的规体++日+品十品十 163 6464 4 蓝 32 图2 [变式5]552.提示：13=12,13+23=(1+ 2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13十 23十33十43=(1+2+3十4)2=102.根据数 据可分析出，规律为从1开始，连续n个数 的立方和=(1+2+…十n)2,所以13+23+ 33+…+103=(1+2+…+10)2=552. [变式6]如图所示，将a,b,一a,一b四个数 在数轴上表示出来。 -a0 a -6 '.b<-a<a<-b. [变式7刀D提示：c=10000+?026, 2025,d= 10000 2025202>1>2026 、2025 2026·2025 .∴.c> d.又，a与c的分母相同，a的分子大于c 的分子，∴.a>c,同理，d>b,∴.a>c> d>b.故选D. 130 第三章代数式 3.1列代数式表示数量关系 [变式1门(-1)+1 (2n-1)(2n+1)1 [变式2]D[变式3]2mx". 3.2代数式的值 [变式1]B提示：由已知得4y2-2y+5= 7,.4y2-2y=2,∴.2y2-y=1, .2y2-y+1=2. [变式2]23.提示：输入x=5时，x>3,故 m=52-5十3=23，∴.输出的结果为23. 第三单元复习归纳 [变式1门当x≤30时，上网费用=60x× 3 0.22十4.8x=9.2x(元)；当x>30时，上网费 用=0X×a2+48X0+0,0× 3 0.11十3(x-30)=5.2x十120（元）. [变式2]-|a-1(答案不唯一). [变式3]A提示：2+ 3b,3(a-b)3a 2 2 [变式4](1)500÷20=25(cm),500÷25= 20(cm),500÷50=10(cm),500÷75≈ 6.67(cm). 水的高度分别是25cm,20cm,10cm,6.67cm. (2S-2,5与成反比例关系 [变式5]D提示：.a-2b2=3,.-a+ 2b2=-3,∴.-2a+4b2=-6,∴.2030 2a+4b2=2030-6=2024. [变式6]C提示：由已知得a×13十b×1+ 7=4,即a+b+7=4,所以a+b=-3,所以 当x=-1时，a×(-1)3+b×(一1)+7= a-b+7=3+7=10.