第2章 有理数的运算 单元提优卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 《有理数的运算》单元提优卷，通过选择、填空、解答题覆盖科学记数法、绝对值等核心知识，结合人口普查、快递派件等现实情境及《庄子》文化素材，体现数学眼光、思维与语言的核心素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|科学记数法、数轴应用、新运算|结合人口普查数据考查科学记数法，快递派件情境体现模型意识| |填空题|8/24|相反数、倒数、《庄子》数学文化|以“一尺之锤”名言考查分数运算，渗透文化传承| |解答题|6/46|有理数混合运算、规律探究|检修小组行程问题强化运算能力，绝对值规律题发展推理意识|

第2章 《有理数的运算》单元提优卷 （卷面总分100分 考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题 1．根据第六次全国人口普查主要数据公报，广东省常住人口约为万人，这个数据可以用科学记数法表示为（   ）. A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万． 故选：A． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，需根据加法法则逐项判断：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；任何数与0相加仍得原数． 【详解】解：∵ A项：， ∴ A错误； ∵ B项：， ∴ B错误； ∵ C项：， ∴ C错误； ∵ D项：， ∴ D正确， 故选：D． 3．所表示的意义是（    ） A．4乘10 B．4个10相乘 C．10个相乘 D．10个相加 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方，根据定义解答即可．即求n个相同因数积的运算叫做乘方． 【详解】表示10个相乘． 故选：C． 4．某快递员在一条东西走向的街道上派件，从出发点开始，先向东走，再向西走，最后向东走，此时快递员与出发点的位置关系是（   ） A．出发点东边 B．出发点西边 C．出发点东边 D．出发点西边 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算的应用．向东走记为正，向西走记为负，再计算加法即可求解． 【详解】解：，此时快递员与出发点的位置关系是出发点东边， 故选：A． 5．数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】由数轴性质知，，然后结合得到，，即可求解． 【详解】解：由数轴性质知，， ， ，， 原点在a与b之间，故点C可能为原点． 6．若， 则的值是（　　） A．或 B．或 C．或3 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，代数式求值．熟练掌握绝对值是解题的关键． 由，可得，由，可分当时，当时，两种情况代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故选：C． 7．若，则M是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式加减法，正确的计算是解题的关键． 通过同分母分式的加法，进行求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 8．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，水位下降记为负，每天变化为-4 cm，3天后水位变化为每天变化与天数的乘积，据此求解即可． 【详解】解：∵水位下降为负， ∴每天变化为． ∵经过3天， ∴总变化为， 故选：C． 9．等式：中的小括号内应填（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】依据两数相乘为零，必须有一个因数为零，即中括号的结果为零即可求解 【详解】解：根据题意得： 故选B 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是理解互为相反数的两个数之和为零 10．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A．11 B．21 C．31 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则，根据数值转换机列出对应算式． 把代入数值转换机中计算并判断与10的大小关系即可求出结果． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴输出， 故选：B． 二、填空题 11．圆周率精确到，__________；精确到万分位，___________． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键； 根据四舍五入法，精确到即把万分位上的数字进行四舍五入，精确到万分位，即把小数点后第5位为进行四舍五入求解即可． 【详解】解：圆周率，精确到，；精确到万分位， 故答案为：，． 12．a的相反数是，则a的倒数是______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和倒数的概念，先根据相反数的概念求出的值，再求倒数即可．熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， ， 的倒数是． 故答案为：． 13．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，正确化简是解题的关键； 先分别计算两个表达式的值，再根据有理数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为________． 【答案】 【分析】此题考查了负整数指数幂和有理数的混合运算．根据负整数指数幂和有理数的混合运算进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 15．若与互为相反数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查相反数的性质，非负数的性质，代数式求值．根据互为相反数的两个数的和为0，结合非负数的性质求出x和y的值是解题关键．根据相反数的性质可得出，再根据绝对值和平方的非负性可得出，，求出x和y的值，再代入中求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 16．若有理数满足，，则中负数的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查利用有理数乘法和加法的符号，来判断有理数的符号．熟练掌握有理数的乘法运算法则：“同号为正，异号为负．”加法法则：“同号相加，取相同的符号，异号相加，取绝对值大的符号．”是解题的关键． 根据有理数的乘法法则：同号为正，异号为负，以及互为相反数的两数之和为0，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴三数均为正，或两数为负，一数为正， 当三数均为正时：，不符合题意； ∴三数中有两数为负，一数为正． 故答案为：． 17．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据混合运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 18．《庄子》中有这样一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第次截取后剩下的木棒有___________尺． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，每日截取木棒的一半，则第 次截取后剩余长度为 尺，代入 即可求解． 【详解】解：初始木棒长度为 1 尺． 第 1 次截取后剩余： 尺； 第 2 次截取后剩余： 尺； 依此类推，第 次截取后剩余： 尺． 因此，第 100 次截取后剩余： 尺． 故答案为： ． 三、解答题 19．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先通分，再计算加减运算即可； （2）把分数化为小数，再从左到右依次计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 20．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可得到答案； （2）先计算有理数的乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从地出发到收工时行走记录（单位：）：，，，，，，，，，，，求： (1)收工时检修小组在地的哪一边，距地多远． (2)若汽车耗油升/千米，开工时储存升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油． 【答案】(1)收工时在 地的东边，距 地 (2)需要，升 【分析】本题考查了有理数加减、乘法运算及绝对值的实际应用，关键是将实际问题转换成合适的运算； （1）将所给记录相加即可判断； （2）先求绝对值的和，再乘以每千米耗油量，即可判断，最后作差． 【详解】（1）根据题意可得：向东走为“”，向西走为“”； 则收工时距离为： ． 故收工时在地的东边，距地． （2）从地出发到收工时， 汽车共走了： ， 从地出发到收工时耗油量为（升）， 故到收工时中途需要加油，加油量为（升）． 22．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 23．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，． (1)若，那么b，d的值是多少？ (2)求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据非负数的性质得到，再根据a，b互为相反数，c，d互为倒数即可得到答案； （2）根据相关定义求出，或，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ 解得， ∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴； （2）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，． ∴，或， 当时，； 当时， 综上可知，的值为或． 【点睛】此题考查了绝对值和乘方等的非负性、相反数、绝对值、倒数、数的乘方、绝对值、有理数的混合运算等知识，熟练掌握相关概念是解题的关键． 24．观察下列各式的特征： ； ； ； ； 根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为 ． (4)用合理的方法计算：． 【答案】(1)①；② (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数加减混合运算，正确化简绝对值是解题的关键． （1）利用绝对值的性质化简即可； （2）利用绝对值的性质化简即可； （3）由数轴可得，再利用绝对值的性质化简即可； （4）先去绝对值，再利用有理数加减的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，； 故答案为：；； （3）解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：； （4）解： ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 《有理数的运算》单元提优卷 （卷面总分100分 考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共30分 1．根据第六次全国人口普查主要数据公报，广东省常住人口约为万人，这个数据可以用科学记数法表示为（   ）. A．人 B．人 C．人 D．人 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．所表示的意义是（    ） A．4乘10 B．4个10相乘 C．10个相乘 D．10个相加 4．某快递员在一条东西走向的街道上派件，从出发点开始，先向东走，再向西走，最后向东走，此时快递员与出发点的位置关系是（   ） A．出发点东边 B．出发点西边 C．出发点东边 D．出发点西边 5．数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．若， 则的值是（　　） A．或 B．或 C．或3 D．3或 7．若，则M是（    ） A．2 B．3 C． D． 8．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 9．等式：中的小括号内应填（　　） A． B． C．0 D． 10．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A．11 B．21 C．31 D． 二、填空题（每题3分，共24分 11．圆周率精确到，__________；精确到万分位，___________． 12．a的相反数是，则a的倒数是______． 13．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 14．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为________． 15．若与互为相反数，则______． 16．若有理数满足，，则中负数的个数是______． 17．计算：______． 18．《庄子》中有这样一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第次截取后剩下的木棒有___________尺． 三、解答题（共46分 19．（本题12分）计算 (1) (2) 20．（本题6分）计算 (1)； (2)． 21．（本题6分）某检修小组乘一辆汽车沿东西方向检修路，约定向东走为正，某天从地出发到收工时行走记录（单位：）：，，，，，，，，，，，求： (1)收工时检修小组在地的哪一边，距地多远． (2)若汽车耗油升/千米，开工时储存升汽油，用到收工时中途是否需要加油，若加油最少加多少升？若不需要加油到收工时，还剩多少升汽油． 22．（本题6分）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 23．（本题6分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，． (1)若，那么b，d的值是多少？ (2)求的值． 24．（本题10分）观察下列各式的特征： ； ； ； ； 根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ① ； ② ． (2)当时， ；当时， ． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为 ． (4)用合理的方法计算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $