1.2.2 数轴-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

第一章有理数 1.2.2 数轴 重点和难点 课标要求 重点：掌握数轴的概念 1.能根据数轴的三要素正确画出数轴， 难点：能够说出数轴上的已知点所表示的数，能将有理 2.理解数轴是从“形”的角度研究数字，初步感受 数用数轴上的点表示出来 数形结合的思想。 01必备知识 知识点 数轴的概念及画法 一点作为原点，位置的选取可依实际问题的需 要而确定 1.数轴的概念数轴的三要素 三选：选取正方向，一般取向右的方向为 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫 正方向，并用箭头表示（箭头标在所画直线部 作数轴。具有特殊意义的 同一条数轴上，单位长度 分的最右边) 点，必须具备应一致 四统一：统一单位长度，可根据实际问题 一般规定向右为正方向 在理解数轴的概念时必须明确以下几点： 的需要，首先选取适当的长度作为一个单位长 (1)数轴是一条直线，不是曲线或折线，也 度，然后在直线上均匀地画出刻度线，最后从 不是线段或射线，它可以向两边无限延伸. 原点开始分别向左、右每隔一个单位长度取一 (2)数轴是有方向的，通常取向右（或向 点，如图所示 上)的方向为正方向，向左（或向下）的方向为 -4-3-2-101234 五标数：确定要表示的数的对应点的位 负方向。 置，并用实心圆点表示，然后把表示的数写在 (3)在数轴上一个适中的位置取一点表示 对应点的下方（或上方） 数0，这个点叫作原点，记作O, 例1)下列数轴表示正确的是( ). (4)选取适当的长度为单位长度（单位长 度必须一致)，从原点向右，每隔一个单位长度 3210-1-2-3 -1-2-30123 1 B 取一个点，依次表示数1,2,3，…从原点向左， -3-2-1123 每隔一个单位长度取一个点，依次表示数一1， -3-2-101广23 C D 一2，一3，…，分数和小数也可以用数轴上的点 点拨用数轴的三要素（原点、正方向、单位长 表示。 度)来判断。 2.数轴的画法 解析A,B不符合数轴右边的数总比左边的数 画数轴时，关键是要体现出数轴的三要 大的特点，故错误.C没有原点，故错误.D符合数轴的 素：原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示 定义，故正确. 数，那么步骤可归纳为：一画、二定、三选、四统 答案D 一、五标数， 知识点2 数轴上的点与有理数之间的 一画：画直线，一般是画一条水平的直线： 关系 二定：确定原点，在直线的适当位置选取 任意一个有理数都可以用数轴上的点来 重难点手册七年级数学上册®0 表示，但数轴上的点不都表示有理数.一般地， 为原点，再根据它们到原点的距离标出相应的点. 设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原 解析如图所示。 点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表 -4-2.5-101.53 示数一a的点在原点的左边，与原点的距离是 -5-4-3-2-1012345 a个单位长度： ◆变式1如图，数轴上有A,B,C,D,E, 正有理数 原点右边的点 F六个点，若每两个相邻的点的距离相等，则 数轴上的 下列说法中错误的是( 0 原点 数 一部分点 AB C DE F 负有理数 原点左边的点 例2画出数轴，并在数轴上标出表示下 A.原点在点C,D之间 列各数的点 B.有三个点表示的数是负数 1,0,1.5,-4,3,-2.5. 点遐先按数轴的画法画出数轴，一1，一4，一2.5 C.这六个数中没有表示整数的点 为负数，在原点左边，1.5,3为正数，在原点右边.以0 D.点D与原点最接近 02关键能力 提升 题型1 利用数轴求两点间的距离 的数为2，线段AB的长为3，所以点B对应的数为5； 当点B在，点A的左侧时，因为点A对应的数为 由于距离没有方向性，所以数轴上到某一 2,线段AB的长为3，所以，点B对应的数为一1. 点的距离相等的点一般有两个，因此要注意考 综上，点B对应的数为5或一1. 虑所有可能的结果 ◆变式2点A为数轴上表示一2的点，当 例3画一条数轴，把有理数1，一3，一1.5 点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B 用数轴上的点表示出来，并指出相邻两点之间 所表示的数为( 的距离是多少 A.2 B.-6 点遐由于任何一个有理数都可以用数轴上的 C.2或-6 D.以上答案都不对 点表示，所以在确定数轴上的点对应的有理数时，应 敲黑板 先确定点在原点的左侧还是右侧，再确定点与原点之 求数轴上任意两点之间的距离就是求两，点之 间有几个单位长度。 间有多少个单位长度，可借助数轴加深理解，如例4 解析所画的数轴如图所示. (如图). 315 1 名-21023 3个单位长度 表示一3的点与表示一1.5的，点相距1.5个单位 A -1012345 长度，表示-1.5的点与表示1的点相距2.5个单位 当点B位于点A右侧时，点B对应的数为5. 长度 3个单位长度 例4A,B两点在数轴上，点A对应的数 为2，若线段AB的长为3，求点B对应的数. 1012345 解析当，点B在，点A的右侧时，因为点A对应 当，点B位于点A左侧时，点B对应的数为一1. 第已章 有理数 题型2 利用数轴解决实际问题（动点 例6小明的家、学校、邮局、图书馆坐落 问题) 在一条东西走向的大街上，依次记作A,B,C, 利用数轴解决实际问题的关键是把实际 D,学校位于小明家正西150米处，邮局位于小 明家正东100米处，图书馆位于小明家正西 问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和 400米处， 单位长度，将各个点在数轴上一一表示出来， (1)用数轴表示出A,B,C,D的位置（建 并以动点表示出行走的方向和路线，便可清晰 议以小明家为原点)： 直观地看出所要求的解， (2)一天，小明从家里先去邮局寄信后，以 例5小李从A地向东走了100m,然后 每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分 返回向西走了30m,又返回向东走了60m.问 钟.试问这时小明约在什么位置？距图书馆和 此时小李在出发点A的哪个方向？相距多远？ 学校各约多少米？ 解析如图，记向东为正方向，点A为原点.小李 解析(1)如图所示，以小明家为原点，向东为正 行走的路线是A→B→C→D,点D在出发点A的正 方向 东方向，相距100一30十60=130(m). D B AC 上→东 A B -400 -150 C D 050100单位：m 20020406080100120140东 (2)小明从邮局出发，以每分钟50米的速度往图 单位：m 书馆方向走了约8分钟，其路程为50×8=400（米）， ●变式3一只蚂蚁沿数轴从原点出发，它 由图可知，C,D之间相距500米，此时小明在学校与 先向右爬行4个单位长度到达点A,再向左爬 图书馆之间，距图书馆约100米，距学校约150米. 行5个单位长度到达点B,最后向右爬行2个 ◆变式4如图所示，A,B分别为数轴上的 单位长度到达点C 两点，点A对应的数为一10，点B对应的数为 (1)画出数轴并标出A,B,C三点在数轴 90.现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个 上的位置， 单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电 (2)写出A,B,C三点表示的数； 子蚂蚁Q恰好从点B出发，以5个单位长度/秒 的速度向左运动.求经过多长时间两只电子蚂 (3)根据点C在数轴上的位置，点C可以 蚁在数轴上相距20个单位长度？ 看作蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个 AO 单位长度得到的？ -10 90 03热点考向聚 考向1 数轴上点的运动 动2个单位长度； (2)先向右移动2个单位长度，再向左移 例7（经典·成都中考）点P从数轴（向 动3个单位长度 右为正方向)上的一1所表示的点出发，分别按 下列条件移动两次后到达终点，说出点P在终 点拨用图示法将点P的运动情况反映在数轴上， 点时所表示的数， 解析(1)如图1所示，点P在终点时所表示的 (1)先向右移动3个单位长度，再向右移：数是4 重难点手册 七年级数学 上册®O 考向3 数轴上点的覆盖 图1 例9（经典·孝感中考）数轴上的一个点 (2)如图2所示，点P在终，点时所表示的数是一2. 表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们 称它是整数点.如果有一条数轴的单位长度是 图2 1厘米，有一条长为2米的线段放在该数轴上， 求它可以盖住的整数点的个数. 考向2 数轴上点的距离 (1)若2米长的线段的两个端点恰好与两 例8（经典·南充中考）数轴上表示数m 个整数点重合，则它可以盖住的整数点有 和m十2的点到原点的距离相等，则m为 个； ( ). (2)若2米长的线段的两个端点不与两个 A.-2 B.2 C.1 D.-1 整数点重合，则它可以盖住的整数点有 点遐由数轴上表示数m和m十2的点到原点 个 的距离相等且m十2>m,得m<0,可根据数轴分析 解析(1)当线段长为1厘米时，如果它的两个 m的值】 端点正好与一个单位长度的两个整数，点重合，那么它 解析记数轴上表示数m和m十2的点分别为 能盖住两个整数点，以此类推，n厘米长的线段可以盖 A,B, 住n十1个整数点，2米=200厘米，所以能盖住200十 1=201(个)整数点 由题意知OA=OB, (2)当长为1厘米的线段的两个端点与一个单位 又.AB=2,∴.OA=OB=1,如图所示. 长度的两个整数点不重合时，就只能盖住一个整数 0 m+2 点，以此类推，n厘米长的线段可以盖住n个整数点， .m=-1. 2米长的线段正好能盖住200个整数，点」 答案D 答案(1)201.(2)200. 10变式参考答案与提示 变式参考答案与提示 第一章有理数 第二种情况，相遇后相距20个单位长度， 1.1正数和负数 100÷(3+5)=12.5(秒)，即P,Q两只电子 [变式门0提示：-4，-27-7-1.23 蚂蚁在12.5秒时相遇， 20÷(3+5)=2.5(秒)，即P,Q两只电子蚂 是负数 蚁相遇后继续运动2.5秒时，彼此相距20个 1.2有理数及其大小比较 单位长度 1.2.1有理数的概念 所以经过15秒，两只电子蚂蚁在数轴上相 [变式1]C提示：A项中，有理数应该包括 距20个单位长度. 正有理数、0和负有理数；B项中也漏掉了O; 答：经过10秒或15秒，两只电子蚂蚁在数轴 D项中的非正整数是指0和负整数，不包括 上相距20个单位长度. 分数 1.2.3相反数 1.2.2数轴 [变式1]A提示：C的对面是0，B的对面 [变式1]D 是2，A的对面是一1. [变式2]C提示：点A可以向右移，也可以 1.2.4绝对值 向左移 [变式1门(1)±6.(2)0. (3)±3. (4)士4， [变式3](1)如图所示. 士3，士2，士1,0. (5)士4. 1.2.5有理数的大小比较 [变式1]A (2)A,B,C三点表示的数分别为4，一1,1. [变式2](1)如图所示. (3)点C可以看作蚂蚁从原点出发，向右爬 行1个单位长度： -x y 0-y x (2)x>-y>0>y>-x. [变式4]设经过t秒后，两只电子蚂蚁在数 第二章有理数的运算 轴上相距20个单位长度， 2.1有理数的加法与减法 本题分为两种情况：相遇前相距20个单位 2.1.1有理数的加法 长度和相遇后相距20个单位长度 [变式1]D 第一种情况，相遇前相距20个单位长度. [变式2](1)原式=(12十8)+[(-13)十(-7)] 即100-(3+5)t=20,解得t=10(秒). =20+(-20)=0. 所以经过10秒后，两只电子蚂蚁在数轴上 相距20个单位长度. (2)原式=1.125+(】+[（-3)+ 127