1.3 相反数、绝对值以及有理数的大小比较（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数中的相反数、绝对值及大小比较核心知识点，从代数与几何意义构建概念，结合性质规律形成知识体系，通过随学随练、题型分类解析及解题贴士搭建学习支架，帮助学生逐步掌握从概念理解到综合应用的思维路径。 资料以数形结合为特色，利用数轴直观解释相反数、绝对值的几何意义，融入气温、海拔等实际情境问题培养应用意识，拓展绝对值最值及特殊比较方法提升创新思维，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化抽象能力与运算能力。

第一章 有理数 1.3 相反数、绝对值以及有理数的大小比较 课标要点 1.理解相反数、绝对值的概念与几何意义，会求有理数的相反数、绝对值； 2.掌握有理数大小比较法则，能熟练比较两个及多个有理数的大小； 3.借助数轴建立数形结合思想，能用数轴解释相反数、绝对值、数的大小关系； 学习重难点 重点： 掌握相反数代数与数轴几何定义，会求任意有理数的相反数，牢记 0 的相反数是 0。 理解绝对值是数轴上点到原点的距离，具有非负性。 数轴比较规则：数轴右侧数字恒大于左侧数字。 难点： 结合相反数性质做代数式求值，综合运用易混乱。 综合相反数、绝对值混合化简，步骤多极易出错。 多个正负、分数、小数混合统一排序，步骤繁琐易排错顺序。 知识点 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。若a是任意一个有理数，则a的相反数为-a，这里的-a不一定是负数：当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；当a=0时，-a=0。 相反数从几何意义上看，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等，两个点关于原点对称。 性质规律 ①互为相反数的两个数相加和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0；反之若a+b=0，则a与b互为相反数。 ②相反数等于本身的数只有0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 ③多重符号化简遵循“奇负偶正”：数字前面负号的个数为奇数时，最终结果为负；负号个数为偶数时，最终结果为正。例如：-(-(-3))化简后为-3，-(-(+3))化简后为+3。 特别提醒 相反数是成对出现的，单独一个数不能称为相反数，不能说“-3是相反数”，只能说“-3是3的相反数”。 不要将“相反数”与“倒数”混淆，相反数是符号相反绝对值相等，倒数是乘积为1符号相同。 随学随练 1．的相反数是（ ） A． B． C．2026 D． 2．如图，数轴上点 表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 4．计算：（     ） A． B． C． D． 5．下列四个实数中，属于负数的是（   ） A．0 B． C．26 D． 知识点 绝对值 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a 一个负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 也可以将绝对值的代数意义写成统一形式： 绝对值的性质 非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。例如：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0，这是绝对值非负性最常见的考察形式。 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；绝对值等于0的数只有一个，就是0；没有绝对值等于负数的数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，这里注意0也满足这两种情况，不要遗漏0。 特别提醒 在利用绝对值代数意义去绝对值符号时，一定要先判断绝对值里面式子的正负性，如果正负性不确定，要分情况讨论。例如化简|x-2|，需要分x>2、x=2、x<2三种情况讨论，不能直接写成x-2或者2-x。 不要错误认为|a|一定是正数，|a|其实是非负数，最小的绝对值是0，不是1。 计算绝对值时，要先计算绝对值符号内的运算，再求绝对值，不能先拆分符号再计算。例如|3-5|要先算3-5=-2，再算|-2|=2，不能写成|3|-|5|=3-5=-2。 随学随练 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 2．（     ） A． B． C．3 D． 3．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 4．在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 知识点 有理数的大小比较 有理数大小比较有两种常用方法：数轴比较法和法则比较法。 方法一：数轴比较法 在数轴上表示出有理数，数轴从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，也就是左边的数总小于右边的数。利用数轴可以直观地比较多个有理数的大小，尤其适合多个有理数同时排序，或者需要结合绝对值几何意义比较大小的题目。 方法二：法则比较法 · 正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数； · 两个正数比较大小，绝对值大的数大； · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数大小比较的常用技巧 · 作差法：对于两个有理数a、b，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b，这种方法适合比较两个代数式的大小。 · 作商法：对于两个正有理数a、b，若a/b>1，则a>b；若a/b=1，则a=b；若a/b<1，则a<b，适合比较两个分数或者带根号的正数大小。 · 倒数法：对于两个正数，倒数大的反而小，适合比较分子相同分母不同的分数大小，或者分子分母差相同的分数大小。 特别提醒 · 比较两个负数大小时，不要忘记“绝对值大的反而小”，不要直接比较绝对值大小就得出结论，误把绝对值大的负数当成更大的数。例如比较-3和-2的大小，|-3|=3>|-2|=2，因此-3<-2，不能得出-3>-2的错误结论。 · 比较分数和小数大小时，一般先统一形式，分数化为小数或者小数化为分数后再比较，遇到带分数，先比较整数部分，整数部分大的数更大，整数部分相同再比较分数部分。 · 多个有理数比较大小时，可以先将有理数按照正数、0、负数分类，分别排序后再整体排列，避免出错。 随学随练 1．根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 2．下列四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 3．地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 4．衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（     ） A． B． C． D． 5．下列四个海拔中，最低的是（     ） A．0米 B．米 C．米 D．10米 拓展 基于绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： · 当n为奇数时，动点x取在中间的定点（即第个定点）时，距离之和取得最小值，最小值为两端点定点之间的距离和减去中间部分重叠距离，最终可化简为所有大端点减去所有小端点的和； · 当n为偶数时，动点x取在中间两个定点之间（包含两个端点）任意位置时，距离之和都取得最小值，最小值同样为所有大端点之和减去所有小端点之和。 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 活学活用 1．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 2．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 拓展 有理数大小比较的特殊方法 有理数大小比较基本方法是：（1）数轴法：数轴上右边的数总比左边的大；（2）符号法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。在此基础上，可以拓展出多种针对特殊题型的简便比较方法，总结规律如下： 1. 作差比较法 对任意两个有理数a、b，若，则a>b；若，则；若，则a<b。该方法是通用方法，适用于几乎所有代数式大小比较，规律稳定，不需要分类讨论符号，尤其适合比较两个带字母的代数式大小。 例如：比较与a的大小，作差得，若b>a则，若则相等，若b<a则，清晰得到结论。 2. 作商比较法 对两个同号的有理数a、b，若a、b都是正数：若，则a>b；若，则；若，则a<b。若a、b都是负数：结论恰好相反，时，a<b。该方法适合比较两个分子分母有公因数、或者是幂形式的数的大小，避免了通分的麻烦。 例如：比较和的大小，作商得，因此，比通分计算简便很多。 3. 倒数比较法 对于两个正数，倒数大的数反而小；对于两个负数，倒数大的数反而大。该方法适合比较分子相同的分数，在有理数阶段适合比较接近的分数大小。 4. 多个负分数大小比较的规律 比较两个负分数，学生经常会记错“绝对值大的反而小”的结论，通过归纳可以总结出简便规律：对于和（m,n,p,q都是正整数），交叉相乘比较mq和pn，若mq>pn，则，不需要再单独比较绝对值，直接得到结论，简化记忆过程。 活学活用 1．若，则a、b、c中最大的是_______，最小的是_______． 2．比较大小：_____． 题型 判断一个数的相反数 解题贴士 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。求解时只需改变原数的符号即可得到相反数：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。需要注意多重符号化简的规则：一个数前面有偶数个“-”号，结果为正；有奇数个“-”号，结果为负，化简后再得到最终相反数。 ▌例1 的相反数是（     ） A． B． C． D． ▌例2．2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 ▌对点练1-3．下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 题型 相反数的应用 解题贴士 1. 互为相反数两数和为0，看到两数相加得0可直接判定二者互为相反数。 2. 求相反数只需改变数字符号，0的相反数仍是0，化简多重符号看负号个数。 3. 遇数轴、求值题型，常利用和为0整体代换，简化计算不用单独求未知数。 ▌例1 ．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 ▌例2．如图是一个正方体的平面展开图，若相对两个面上的数互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．0 D．4 ▌对点练1-1．若代数式和的值互为相反数，则的值是（   ） A．2 B． C． D． ▌对点练1-2．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． ▌对点练1-3．___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 题型 求一个数的绝对值 解题贴士 根据绝对值的几何定义，一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离，因此绝对值一定是非负数。代数规则为：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。计算时先判断原数的正负，再根据规则化简即可。 ▌例1（     ） A． B． C．3 D． ▌例2的绝对值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 ▌对点练1-2如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 ▌对点练1-3如图，所检测的4个足球中，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 题型 绝对值的化简 解题贴士 化简含字母的绝对值时，第一步先判断绝对值符号内代数式的正负性，再根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号：如果内部结果是非负，去掉绝对值后等于本身；如果内部结果是负，去掉绝对值后等于它的相反数，需要添加括号再变号。多个绝对值化简时，要分段判断每一个区间内的正负，分情况讨论。 ▌例1有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（   ） A． B． C． D． ▌例2下列各数化简正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1化简________． ▌对点练1-2化简：____________． ▌对点练1-3若，则________．化简________． 题型 绝对值的非负性 解题贴士 任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都等于0，这是绝对值非负性最核心的考点，常和平方、算术平方根结合考查。 ▌例1如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． ▌例2如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 ▌对点练1-1已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 ▌对点练1-2若有理数，满足，则的值为（   ） A．6 B． C．3 D． ▌对点练1-3代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 题型 利用绝对值求距离 解题贴士 根据绝对值的几何意义，数轴上两点A表示数a，点B表示数b，两点之间的距离等于|a-b|。解题时直接套用公式计算即可，注意顺序不影响结果，因为|a-b|=|b-a|。 典型例题：求数轴上表示-5和3的两个点之间的距离。 ▌例1已知数轴上两点、到原点的距离是3和7，则、两点间的距离是（    ） A．5 B．9 C．4或10 D．3或7 ▌例2点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 ▌对点练1-2如图，在数轴上与表示的点距离2个单位长度的点表示的数是（   ） A．0 B． C．0或 D．2 ▌对点练1-3数轴上表示2的点与原点的距离是__________________，所以__________________；数轴上表示的点与原点的距离是__________________，所以__________________；数轴上表示0的点与原点的距离是__________________，所以__________________． 题型 比较有理数的大小 解题贴士 有理数大小比较的基础规则是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。也可以借助数轴比较：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。按照规则逐步判断即可。 ▌例1在，，，这四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． ▌例2，2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 ▌对点练1-1下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2比较大小：_____．（填“”“”或“” ▌对点练1-3比较大小：________．(填“”“”或“”) 题型 有理数大小比较的应用 解题贴士 1. 比较实际场景中的数量时，直接用正数大于0、负数小于0快速区分高低多少。 2. 遇到多个负数比较大小的应用题，先求绝对值，绝对值越大对应实际数值越小。 3. 数轴法适合多组数据排序应用题，直观定位数值，方便列式计算差值。字。需要先化简再比较。 ▌例1根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 ▌例2下面是我国几个城市某年一月份的平均气温，气温最高的城市是（     ） A．北京（） B．广州（） C．南京（） D．哈尔滨（） ▌对点练1-1衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． ▌对点练1-3在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是__________． 物质 铝 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 660 基础通关 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．福建北部山区冬季某天凌晨气温为，的相反数是（     ）． A． B． C． D． 3．的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 4．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 5．等于（     ） A．2027 B． C． D． 6．比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 7．下列四个海拔中，最低的是（     ） A．0米 B．米 C．米 D．10米 8．若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 9．若m，n互为相反数，则___． 10．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 11．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 12．比较大小：_______． 13．_____________． 14．把下列各数表示在数轴上，并用“”连接： 0，，，， 15．请写出符合下列要求的数： (1)绝对值小于3的整数． (2)绝对值小于或等于2的负整数． 素养提升 1．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 2．若数轴上，点表示，点与的距离是3，点与点表示的数互为相反数，则点表示(    ) A． B．2 C．或2 D．4或 3．如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 4．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 5．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 8．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 9．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 10．若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 迁移创新 1．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 2．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.3 相反数、绝对值以及有理数的大小比较 课标要点 1.理解相反数、绝对值的概念与几何意义，会求有理数的相反数、绝对值； 2.掌握有理数大小比较法则，能熟练比较两个及多个有理数的大小； 3.借助数轴建立数形结合思想，能用数轴解释相反数、绝对值、数的大小关系； 学习重难点 重点： 掌握相反数代数与数轴几何定义，会求任意有理数的相反数，牢记 0 的相反数是 0。 理解绝对值是数轴上点到原点的距离，具有非负性。 数轴比较规则：数轴右侧数字恒大于左侧数字。 难点： 结合相反数性质做代数式求值，综合运用易混乱。 综合相反数、绝对值混合化简，步骤多极易出错。 多个正负、分数、小数混合统一排序，步骤繁琐易排错顺序。 知识点 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。若a是任意一个有理数，则a的相反数为-a，这里的-a不一定是负数：当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；当a=0时，-a=0。 相反数从几何意义上看，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等，两个点关于原点对称。 性质规律 ①互为相反数的两个数相加和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0；反之若a+b=0，则a与b互为相反数。 ②相反数等于本身的数只有0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 ③多重符号化简遵循“奇负偶正”：数字前面负号的个数为奇数时，最终结果为负；负号个数为偶数时，最终结果为正。例如：-(-(-3))化简后为-3，-(-(+3))化简后为+3。 特别提醒 相反数是成对出现的，单独一个数不能称为相反数，不能说“-3是相反数”，只能说“-3是3的相反数”。 不要将“相反数”与“倒数”混淆，相反数是符号相反绝对值相等，倒数是乘积为1符号相同。 随学随练 1．的相反数是（ ） A． B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】∵给定数为， ∴改变符号后得到， 即的相反数是． 2．如图，数轴上点 表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由所给数轴可知，点A表示的数为， 所以点A表示的数的相反数是． 3．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的性质即可得出结果． 【详解】解：． 4．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 5．下列四个实数中，属于负数的是（   ） A．0 B． C．26 D． 【答案】D 【详解】解：∵负数是小于0的实数，逐一判断各选项 选项A：既不是正数也不是负数，不符合题意； 选项B：，，是正数，不符合题意； 选项C：，是正数，不符合题意； 选项D：，是负数，符合题意． 知识点 绝对值 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a 一个负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a 0的绝对值是0：若a=0，则|a|=0 也可以将绝对值的代数意义写成统一形式： 绝对值的性质 非负性：任意有理数的绝对值都大于等于0，若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。例如：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0，这是绝对值非负性最常见的考察形式。 绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；绝对值等于0的数只有一个，就是0；没有绝对值等于负数的数。 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，这里注意0也满足这两种情况，不要遗漏0。 特别提醒 在利用绝对值代数意义去绝对值符号时，一定要先判断绝对值里面式子的正负性，如果正负性不确定，要分情况讨论。例如化简|x-2|，需要分x>2、x=2、x<2三种情况讨论，不能直接写成x-2或者2-x。 不要错误认为|a|一定是正数，|a|其实是非负数，最小的绝对值是0，不是1。 计算绝对值时，要先计算绝对值符号内的运算，再求绝对值，不能先拆分符号再计算。例如|3-5|要先算3-5=-2，再算|-2|=2，不能写成|3|-|5|=3-5=-2。 随学随练 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 2．（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 3．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 4．在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】零件误差的精确程度由误差的绝对值决定，误差的绝对值越小，精确程度越高，只需计算各选项误差的绝对值并比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 误差的精确程度由误差的绝对值决定，绝对值越小，精确程度越高， ∵ ，，， ， 又∵ ， ∴ 的误差绝对值最小，精确程度最高． 知识点 有理数的大小比较 有理数大小比较有两种常用方法：数轴比较法和法则比较法。 方法一：数轴比较法 在数轴上表示出有理数，数轴从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，也就是左边的数总小于右边的数。利用数轴可以直观地比较多个有理数的大小，尤其适合多个有理数同时排序，或者需要结合绝对值几何意义比较大小的题目。 方法二：法则比较法 · 正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数； · 两个正数比较大小，绝对值大的数大； · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数大小比较的常用技巧 · 作差法：对于两个有理数a、b，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b，这种方法适合比较两个代数式的大小。 · 作商法：对于两个正有理数a、b，若a/b>1，则a>b；若a/b=1，则a=b；若a/b<1，则a<b，适合比较两个分数或者带根号的正数大小。 · 倒数法：对于两个正数，倒数大的反而小，适合比较分子相同分母不同的分数大小，或者分子分母差相同的分数大小。 特别提醒 · 比较两个负数大小时，不要忘记“绝对值大的反而小”，不要直接比较绝对值大小就得出结论，误把绝对值大的负数当成更大的数。例如比较-3和-2的大小，|-3|=3>|-2|=2，因此-3<-2，不能得出-3>-2的错误结论。 · 比较分数和小数大小时，一般先统一形式，分数化为小数或者小数化为分数后再比较，遇到带分数，先比较整数部分，整数部分大的数更大，整数部分相同再比较分数部分。 · 多个有理数比较大小时，可以先将有理数按照正数、0、负数分类，分别排序后再整体排列，避免出错。 随学随练 1．根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴气温最低的值为，对应景区是罗浮山． 2．下列四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较的性质：正数大于0，0大于负数，两个正数比较，数值大的数更大即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 四个数中最大的数是8． 3．地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四个数中最小的数是． 4．衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，信号越强对应的绝对值越小，计算各选项的绝对值并比较大小即可得到结果． 【详解】解：、、、， 由于， 则的绝对值最小，对应信号最强． 5．下列四个海拔中，最低的是（     ） A．0米 B．米 C．米 D．10米 【答案】C 【详解】解：∵， ∴海拔最低的是米． 拓展 基于绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： · 当n为奇数时，动点x取在中间的定点（即第个定点）时，距离之和取得最小值，最小值为两端点定点之间的距离和减去中间部分重叠距离，最终可化简为所有大端点减去所有小端点的和； · 当n为偶数时，动点x取在中间两个定点之间（包含两个端点）任意位置时，距离之和都取得最小值，最小值同样为所有大端点之和减去所有小端点之和。 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 活学活用 1．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5 (2)1；小；2 (3)3；大；9 (4) 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 2．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 拓展 有理数大小比较的特殊方法 有理数大小比较基本方法是：（1）数轴法：数轴上右边的数总比左边的大；（2）符号法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。在此基础上，可以拓展出多种针对特殊题型的简便比较方法，总结规律如下： 1. 作差比较法 对任意两个有理数a、b，若，则a>b；若，则；若，则a<b。该方法是通用方法，适用于几乎所有代数式大小比较，规律稳定，不需要分类讨论符号，尤其适合比较两个带字母的代数式大小。 例如：比较与a的大小，作差得，若b>a则，若则相等，若b<a则，清晰得到结论。 2. 作商比较法 对两个同号的有理数a、b，若a、b都是正数：若，则a>b；若，则；若，则a<b。若a、b都是负数：结论恰好相反，时，a<b。该方法适合比较两个分子分母有公因数、或者是幂形式的数的大小，避免了通分的麻烦。 例如：比较和的大小，作商得，因此，比通分计算简便很多。 3. 倒数比较法 对于两个正数，倒数大的数反而小；对于两个负数，倒数大的数反而大。该方法适合比较分子相同的分数，在有理数阶段适合比较接近的分数大小。 4. 多个负分数大小比较的规律 比较两个负分数，学生经常会记错“绝对值大的反而小”的结论，通过归纳可以总结出简便规律：对于和（m,n,p,q都是正整数），交叉相乘比较mq和pn，若mq>pn，则，不需要再单独比较绝对值，直接得到结论，简化记忆过程。 活学活用 1．若，则a、b、c中最大的是_______，最小的是_______． 【答案】 c a 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先观察式子，再整理得，因为，则，所以，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴最大的是，最小的是， 故答案为：c，． 2．比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，首先化为，，根据，即可得出结果． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型 判断一个数的相反数 解题贴士 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。求解时只需改变原数的符号即可得到相反数：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。需要注意多重符号化简的规则：一个数前面有偶数个“-”号，结果为正；有奇数个“-”号，结果为负，化简后再得到最终相反数。 ▌例1 的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． ▌例2．2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． ▌对点练1-1．下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等，观察可知，只有选项C符合题意． ▌对点练1-2．若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】C 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴. ▌对点练1-3．下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】化简各选项中的数后，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可． 【详解】解：选项A中，，两个数相等，不满足相反数定义，A不符合要求； 选项B中，和绝对值不相等，不满足相反数定义，B不符合要求； 选项C中，，和只有符号不同，满足相反数的定义，C符合要求； 选项D中，和符号相同，不满足相反数定义，D不符合要求． 题型 相反数的应用 解题贴士 1. 互为相反数两数和为0，看到两数相加得0可直接判定二者互为相反数。 2. 求相反数只需改变数字符号，0的相反数仍是0，化简多重符号看负号个数。 3. 遇数轴、求值题型，常利用和为0整体代换，简化计算不用单独求未知数。 ▌例1 ．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，根据相反数的定义，两个式子的和为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 化简得， ∴， ∴， 故选：C． ▌例2．如图是一个正方体的平面展开图，若相对两个面上的数互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，相反数，掌握知识点是解题的关键． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点及相反数的定义作答． 【详解】解：由图，可得 a与2是相对面，与1是相对面，与3是相对面， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴， 解得， ∴ ． 故选C． ▌对点练1-1．若代数式和的值互为相反数，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的定义列出关于x的方程是解题的关键． 根据相反数的定义得到方程，通过解该方程可以求得x的值． 【详解】解：∵代数式的值与互为相反数， ∴， ∴． 故选：A． ▌对点练1-2．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． ▌对点练1-3．___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两个代数式的值互为相反数时，它们的和为零，由此列出方程并求解即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 题型 求一个数的绝对值 解题贴士 根据绝对值的几何定义，一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离，因此绝对值一定是非负数。代数规则为：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。计算时先判断原数的正负，再根据规则化简即可。 ▌例1（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ▌例2的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身， ． ▌对点练1-1绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． ▌对点练1-2如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． ▌对点练1-3如图，所检测的4个足球中，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴从轻重的角度看，最接近标准质量的是． 题型 绝对值的化简 解题贴士 化简含字母的绝对值时，第一步先判断绝对值符号内代数式的正负性，再根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号：如果内部结果是非负，去掉绝对值后等于本身；如果内部结果是负，去掉绝对值后等于它的相反数，需要添加括号再变号。多个绝对值化简时，要分段判断每一个区间内的正负，分情况讨论。 ▌例1有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则式子化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，根据数轴可推出，据此化简绝对值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． ▌例2下列各数化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是绝对值的定义，解题关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义（一个数的绝对值总是非负），逐一计算每个选项的表达式，判断化简是否正确． 【详解】解：选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误； 选项，， 化简正确，符合题意，选项正确； 选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误； 选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误． 故选：． ▌对点练1-1化简________． 【答案】/ 【分析】先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：， ， ． ▌对点练1-2化简：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，先计算绝对值，再取负号即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练1-3若，则________．化简________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，化简多重符号．第一空根据绝对值的定义求解；第二空通过多重符号的化简规则计算． 【详解】解：由，得； 故答案为：； 题型 绝对值的非负性 解题贴士 任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。当几个非负数的和为0时，每一个非负数都等于0，这是绝对值非负性最核心的考点，常和平方、算术平方根结合考查。 ▌例1如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． ▌例2如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． A． ▌对点练1-1已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； ∵且， ∴且， ∴且， ∴， ∴． 故选：C． ▌对点练1-2若有理数，满足，则的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值的非负性，平方结果的非负性，理解非负数的性质是解题的关键．利用非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，和为零则每项为零，解出 a 和 b 的值后计算比值. 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴ . 故选：D． ▌对点练1-3代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，求表达式的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴，当时，等号成立， ∴最小值为， 故选：B． 题型 利用绝对值求距离 解题贴士 根据绝对值的几何意义，数轴上两点A表示数a，点B表示数b，两点之间的距离等于|a-b|。解题时直接套用公式计算即可，注意顺序不影响结果，因为|a-b|=|b-a|。 典型例题：求数轴上表示-5和3的两个点之间的距离。 ▌例1已知数轴上两点、到原点的距离是3和7，则、两点间的距离是（    ） A．5 B．9 C．4或10 D．3或7 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的点之间的距离，根据、到原点的距离是3和7可知这两点对应的数字，根据数轴上两点间距离计算方法计算即可得到答案． 【详解】解：∵、到原点的距离是3和7， ∴、对应的数为和， 故、两点间的距离是， 计算得4或10， 故选：C． ▌例2点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． ▌对点练1-1数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】数轴上一个点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值.，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：设数轴上该点表示的数为， 由题意可得：， 由绝对值的意义可得：或， 因此符合条件的有理数是或． ▌对点练1-2如图，在数轴上与表示的点距离2个单位长度的点表示的数是（   ） A．0 B． C．0或 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 先设该点表示的数为a，根据两点之间的距离得，求出解即可． 【详解】解：设该点表示的数为a，根据题意，得 ， 解得或， 所以该点表示的数是0或． 故答案为：C． ▌对点练1-3数轴上表示2的点与原点的距离是__________________，所以__________________；数轴上表示的点与原点的距离是__________________，所以__________________；数轴上表示0的点与原点的距离是__________________，所以__________________． 【答案】 2 2 2 2 0 0 【分析】根据绝对值表示数轴上点到原点的距离，即可进行解答． 【详解】解：数轴上表示2的点与原点的距离是2，所以；数轴上表示的点与原点的距离是2，所以；数轴上表示0的点与原点的距离是2，所以． 故答案为：2，2，2，2，0，0 【点睛】本题主要考查了求绝对值，解题的关键是掌握绝对值表示数轴上点到原点的距离；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 题型 比较有理数的大小 解题贴士 有理数大小比较的基础规则是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。也可以借助数轴比较：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。按照规则逐步判断即可。 ▌例1在，，，这四个数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有理数大小比较法则：负数小于，正数大于，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是． ▌例2，2，5，2026中，最小的数是（     ） A． B．2 C．5 D．2026 【答案】A 【分析】首先明确有理数比较大小的基本规则，因为负数小于0，正数大于0，所以先区分给出数中的负数和正数．因为所有正数都大于负数，所以如果选项中存在唯一的负数，那么这个负数就是四个数中最小的． 【详解】解：∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． ▌对点练1-1下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． ▌对点练1-2比较大小：_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据两个负数比较大小的法则，先求出两个数的绝对值，比较绝对值的大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：将化为分数，得．分别计算两个数的绝对值，得， 因为，即， 所以． ▌对点练1-3比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 题型 有理数大小比较的应用 解题贴士 1. 比较实际场景中的数量时，直接用正数大于0、负数小于0快速区分高低多少。 2. 遇到多个负数比较大小的应用题，先求绝对值，绝对值越大对应实际数值越小。 3. 数轴法适合多组数据排序应用题，直观定位数值，方便列式计算差值。字。需要先化简再比较。 ▌例1根据综合气象信息，2026年马年春节当天惠州市四大景区的最低气温如下表所示： 景区 罗浮山 南昆山 惠州西湖 双月湾 最低气温 其中当天气温最低的景区是（     ） A．罗浮山 B．南昆山 C．惠州西湖 D．双月湾 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴气温最低的值为，对应景区是罗浮山． ▌例2下面是我国几个城市某年一月份的平均气温，气温最高的城市是（     ） A．北京（） B．广州（） C．南京（） D．哈尔滨（） 【答案】B 【分析】根据正数大于一切负数，两个正数比较，绝对值大的数更大求解即可． 【详解】解：和均是负数，故和均小于，， 而， ∴气温最高的城市是广州． ▌对点练1-1衡量手机信号强弱最准确的指标是，即参考信号接收功率（单位：），其数值范围通常在到之间，绝对值越小，表示信号越强．下面是四部手机的参考信号接收功率数据，其中表示信号最强的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，信号越强对应的绝对值越小，计算各选项的绝对值并比较大小即可得到结果． 【详解】解：、、、， 由于， 则的绝对值最小，对应信号最强． ▌对点练1-2某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． ▌对点练1-3在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是__________． 物质 铝 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 660 【答案】液态氧 【分析】根据有理数比较大小的法则比较四个凝固点的大小，即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧． 基础通关 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 求的相反数只需改变原式的符号， 可得的相反数是． 2．福建北部山区冬季某天凌晨气温为，的相反数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数， 改变符号后得到， 的相反数是． 3．的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简原式，再根据相反数的定义求解． 【详解】解：∵根据负负得正的去括号法则，可得，的相反数是， ∴的相反数是． 4．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【详解】解：， ． 5．等于（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 6．比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可得到答案． 【详解】解：∵标准直径为，允许误差为 ∴符合标准的直径满足 即 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，符合标准； 选项D：，不符合． 7．下列四个海拔中，最低的是（     ） A．0米 B．米 C．米 D．10米 【答案】C 【详解】解：∵， ∴海拔最低的是米． 8．若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，整式的加减以及解一元一次方程，根据题意可知，求解即可． 【详解】因为代数式与的值互为相反数，可得 ． 解得 ． 故答案为： 9．若m，n互为相反数，则___． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0是解题的关键． 由相反数的性质可知，进而简化表达式 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 10．代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 11．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 12．比较大小：_______． 【答案】 【详解】解：，，且 ， ． 13．_____________． 【答案】/ 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴. 14．把下列各数表示在数轴上，并用“”连接： 0，，，， 【答案】，数轴表示见解析 【分析】先化简各数，然后将各数在数轴上表示出来，根据数轴上右边的数大于左边的数即可用“”连接起来． 【详解】解：，，， 数轴表示为： ∴． 15．请写出符合下列要求的数： (1)绝对值小于3的整数． (2)绝对值小于或等于2的负整数． 【答案】(1), , 0, 1, 2 (2), 【分析】本题考查有理数的大小、绝对值的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据绝对值的定义确定数的取值范围，再在范围内找出符合条件的整数． 【详解】（1）解：满足的整数的取值范围是， 其中的整数有, , 0, 1, 2； （2）满足的负整数的取值范围是， 其中的整数有, ． 素养提升 1．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 2．若数轴上，点表示，点与的距离是3，点与点表示的数互为相反数，则点表示(    ) A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点距离，相反数的定义，有理数的加减运算．先根据点的位置和与点的距离求出点的可能值，再根据相反数的定义求出点的可能值． 【详解】解：点表示，点与点的距离为， 点表示的数为或， 点与点表示的数互为相反数， 当点为时，点为；当点为时，点为， 点表示的数为或， 故选：D． 3．如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查正方体相对两个面上的数字，相反数定义，代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 根据正方体表面展开图的特征判断“相对”的面，再结合相反数定义求出相应的，的值，最后代入中计算，即可解题． 【详解】解：由正方体的展开图可知，相对面上的数字为，相对面上的数字为， 因为，与其相对面上的数字互为相反数， 所以， 所以； 故选：A． 4．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 5．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据绝对值的性质可得，，，据此进行判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，则选项C错误； ∴，则选项A错误，选项B正确； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：B． 6．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 7．在数轴上点表示的数为，，两点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离为，那么点表示的数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离和相反数的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 先由点与点的距离为，求出点表示的数，再根据点与点互为相反数，求出点表示的数． 【详解】解：点表示的数是，点与点之间的距离为， ，解得或， 点和点表示的数互为相反数， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 8．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 10．若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 迁移创新 1．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 2．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的大小比较。解题关键是通过计算具体式子的绝对值，归纳出与的大小关系，再利用这一结论分析含绝对值的等式，确定未知数的取值范围． （1）每一个小题计算后进行比较； （2）由（1）的例子归纳即可； （3）由（2）的结论回答即可． 【详解】（1）解：①, ②, ③, ④, 故答案为：； （2）通过（1）的例子可归纳： 当同号（或其中一个为０）时，; 当异号时，． 故答案为：； （3）, ． 由（2）的结论，当与同号（或时，． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $