精品解析：云南省曲靖市麒麟区第七中学2021-2022学年下学期九年级第四次月考数学试卷、答题卡

区七中初三下学期数学第四次月考卷 考试时间：120分钟 一、单选题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 实数，0，-1，中，最小的数是（ ） A. -(-2) B. 0 C. -1 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，CD和BE相交于点O，，则AE∶EC为（ ） A. 3：5 B. 9：25 C. 3：2 D. 5：3 4. 如图，△ABC的中线AD和角平分线BE相交于点F，连接DE．若BC＝8，BE＝5，∠ABE＝∠C，则DE的长为（　　） A. B. 3 C. D. 4 5. 如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 6. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，若点E恰好在边BC上，AB⊥DE于点F，则∠BAE的大小是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 9. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）． A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8 11. 如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（ ） A. 2017 B. 2016 C. 191 D. 190 12. 若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A. 7 B. －14 C. 28 D. －56 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 使代数式有意义的的取值范围是_____． 14. 分解因式：x3y+2x2y+xy=___________________． 15. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数为________． 16. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则经过的反比例函数解析式是______． 17. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为________． 18. 在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______． 三、解答题（共6小题，满分48分） 19. 学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量” ）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为________本； （3）求本次所抽取的学生四月份“读书量”的平均数； （4）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学中，四月份“读书量”超过3本的学生人数． 20. 2022年北京冬奥会的举办，有力地推动了全国冰雪运动的发展，有很多人表现出对冰雪运动的极大兴趣．小王和小李计划周末去体验冰雪运动，并学习一些冰雪运动技巧．两人分别从高山滑雪、自由式滑雪、速度滑冰和花样滑冰四个项目中任选一个项目．（其中高山滑雪、自由式滑雪、速度滑冰、花样滑冰分别记为：A、B、C、D） （1）请用列表法或树状图法（选其中一种即可）表示出两人选取冰雪项目所有可能出现的结果； （2）若两人恰好选中同一项目，则一起去体验，否则分开前往，请求出两人一起去体验同一种冰雪项目的概率P． 21. 花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 已知二次函数（为待定系数） （1）求证：该二次函数的图像与轴一定有交点： （2）若二次函数图像的对称轴是直线，抛物线与轴的交点分别为，（在的左侧），在直线上有点，使得，求点的坐标． 23. 如图，中，，点为上一点，且，过、、三点作，是的直径，连接． （1）求证：是的切线 （2）若，，求直径的长． 24. 折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想． （1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置． ①求证：DFBE； ②求DF的长度． （2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 区七中初三下学期数学第四次月考卷 考试时间：120分钟 一、单选题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 实数，0，-1，中，最小的数是（ ） A. -(-2) B. 0 C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把能化简的数化简，而后根据正数都大于0，负数都小于0 ，两个负数绝对值大的反而小，比较大小，根据比较结果得到答案． 【详解】∵-（-2）=2，， 且， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的化简方法，实数的大小比较法则，是解决此类问题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式化简，负整数指数幂，积的乘方法则，整式的乘法，对各式进行化简即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式化简，负整数指数幂，积的乘方法则，整式的乘法，掌握对应的运算法则是解题的关键． 3. 如图，已知，CD和BE相交于点O，，则AE∶EC为（ ） A. 3：5 B. 9：25 C. 3：2 D. 5：3 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平行得出三角形相似，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB，△ADE∽△ABC， ∴，， ∴DE：BC=3：5， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质与判定，属于基础题型．明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 4. 如图，△ABC的中线AD和角平分线BE相交于点F，连接DE．若BC＝8，BE＝5，∠ABE＝∠C，则DE的长为（　　） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出∠C=∠CBE，根据等腰三角形的判定得出CE=BE，根据等腰三角形的性质得出ED⊥BC，根据勾股定理求出DE即可． 【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠C， ∴∠CBE＝∠C， ∴CE＝BE， ∵BE＝5， ∴CE＝5， ∵AD是△ABC的中线，BC＝8， ∴BD＝CD＝4， ∴ED⊥BC， 即∠BDE＝90°， 由勾股定理得：DE＝＝＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出BD=CD=4是解此题的关键． 5. 如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由垂径定理证得AB=2AE，△BEO是等腰直角三角形；然后利用勾股定理求得BE的长，进而求得AB的长即可． 【详解】∵OC⊥AB， ∴=，AB=2BE，∠BEO=90°， ∵∠ADC=22.5°， ∴∠COB=45°， ∴OE=BE， 在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2， ∵OC=2， ∴OE=BE= ∴AB=2BE= 故选：B 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形的应用的题目，熟记垂径定理是解题的关键． 6. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别表示实际工作和原计划工作所用的时间，再以时间为等量构造方程即可； 【详解】解：由题意可得原计划的工作效率为，所以原计划的工作时间为，实际的工作时间为，所以原计划的时间减去实际的时间为40天，则可得 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题列出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 7. 如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆柱，根据图中给定数据判断出圆柱的底面的直径和高，即可求出表面积． 【详解】解：由该几何体的俯视图为圆，主视图和左视图为矩形可知：该几何体为圆柱，底面直径为8，高为6， 故表面积． 故选D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，能够通过三视图还原几何体的形状是解题的关键． 8. 如图，把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，若点E恰好在边BC上，AB⊥DE于点F，则∠BAE的大小是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转40°可得△ABC≌△ADE，所以AE=AC，∠AED=∠ACE=∠AEC=70°，由AB⊥DE，可得∠AFE=90°，从而得出答案． 【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE， ∴∠EAC=40°为旋转角，△ABC≌△ADE， ∴AE=AC， ∴∠AED=∠ACE=∠AEC=70°； ∵AB⊥DE于点F， ∴∠AFE=90°， ∴∠BAE=20°； 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形，全等三角形的性质与应用，找准旋转角度，边角关系是解题的关键． 9. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 10. 已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）． A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8， 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 11. 如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（ ） A. 2017 B. 2016 C. 191 D. 190 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到当指数是n时，展开式的第三项系数为，代入求解即可； 【详解】解：当指数是2时，展开式的第三项系数为1；当指数是3时，展开式的第三项系数为；当指数是4时，展开式的第三项系数为；由此得到如下规律，当指数是n时，展开式的第三项系数为； 当时，展开式的第三项系数为：； 12. 若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A. 7 B. －14 C. 28 D. －56 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：解不等式，解得x≤7， ∴不等式组整理的， 由解集为x≤a，得到a≤7， 分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a， 解得：y＝， 由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7， 1×7＝7， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 使代数式有意义的的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义， 可得，解得， 的取值范围是且． 14. 分解因式：x3y+2x2y+xy=___________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 15. 一个多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数为________． 【答案】6 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6． 16. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则经过的反比例函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的坐标特点列式求出、的值，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点 与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴即， 设， ∴， ∴反比例函数解析式是． 故选：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的坐标特点和利用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握关于原点对称的坐标特点和待定系数法是解题的关键． 17. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：x2-8x+15=0， （x-3）（x-5）=0， x-3=0或x-5=0， ∴x1=3，x2=5， ∵菱形一条对角线长为8， ∴菱形的边长为5， ∵菱形的另一条对角线长=2×=6， ∴菱形的面积=×6×8=24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质． 18. 在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______． 【答案】1或或 【解析】 【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可． 【详解】解：∵PB=3PC， ∴P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论： 情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图1所示： ∵PB=3PC， ∴PC=BC=1； 情况二：当P位于正方形边CD上时，如下图2所示： 设PC=x，则BP=3PC=3x，在Rt△BPC中，由勾股定理可知： 4²+x²=(3x)²，解得x=(负值舍去)， ∴PC=； 情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图3所示： 设AP=x，则DP=4-x， Rt△ABP中，BP²=AP²+AB²=x²+16， Rt△CPD中，CP²=PD²+CD²=(4-x)²+16=x²-8x+32， ∵BP=3PC， ∴x²+16=9(x²-8x+32)， 整理得到：x²-9x+34=0，此方程无解， 故P点不可能位于边AD上； 情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示： 设PC=x，则BP=3PC=3x， ∵∠DBC=45°，∴△BPH为等腰直角三角形，其三边之比为， ∴BH=PH=，CH=BC-BH=， 在Rt△PHC中，由勾股定理可知：PC²=PH²+CH²， ∴， 整理得：，此方程无解， 故P点不可能在对角线BD上； 情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示： 设PC=，则BP=3PC=， ∵∠PCB=45°，∴△PCH为等腰直角三角形，其三边之比为， ∴PH=CH=，BH=BC-CH=4-x， 在Rt△PHB中，由勾股定理可知：PB²=PH²+BH²， ∴， 整理得：， 解得：(负值舍去)， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用及分类讨论的思想，本题中由于P点的位置未定，故需要分多种情况讨论． 三、解答题（共6小题，满分48分） 19. 学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量” ）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为________本； （3）求本次所抽取的学生四月份“读书量”的平均数； （4）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学中，四月份“读书量”超过3本的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）3本 （4）360人 【解析】 【分析】（1）根据每种读书量对应的百分比求出总人数，再根据题意求出其余情况的读书量的人数，最后补全图形即可； （2）根据中位数定义进行判断即可； （3）根据平均数定义进行计算即可； （4）由样本估算整体，1200×四月份“读书量”超过3本的学生百分比，进行计算即可． 【小问1详解】 ：抽样调查的学生总数为：（人）， 读4本的人数有：60×20%=12（人）， 读3本的人数所占的百分比是1−5%−10%−30%−20%=35%， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第30、31个数的平均数， 则四月份“读书量”的中位数为（本）； 故答案为：3本； 【小问3详解】 解：四月份“读书量”的平均数为（本）， 答：本次所抽取的学生四月份“读书量”的平均数为3本； 【小问4详解】 解：根据题意得：1200×（20%+10%）=360（人）， 答：该校七年级学中，四月份“读书量”超过3本的学生人数有360人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，涉及中位数，平均数，补全图形以及由样本估算整体等知识点，解决问题的关键是读懂统计图，从图中获取所需信息，进而求解． 20. 2022年北京冬奥会的举办，有力地推动了全国冰雪运动的发展，有很多人表现出对冰雪运动的极大兴趣．小王和小李计划周末去体验冰雪运动，并学习一些冰雪运动技巧．两人分别从高山滑雪、自由式滑雪、速度滑冰和花样滑冰四个项目中任选一个项目．（其中高山滑雪、自由式滑雪、速度滑冰、花样滑冰分别记为：A、B、C、D） （1）请用列表法或树状图法（选其中一种即可）表示出两人选取冰雪项目所有可能出现的结果； （2）若两人恰好选中同一项目，则一起去体验，否则分开前往，请求出两人一起去体验同一种冰雪项目的概率P． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）、画出树状图即可求出所有结果； （2）、算出两人选取冰雪项目的所有可能的结果数，再算出两人一起去体验同一种冰雪项目的结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 所以一共有16种可能性，分别为： ； 【小问2详解】 由图表可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现可能性的大小相等，其中两人恰好选中同一项目的情况有4种：(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)， ∴两人一起去体验同一种冰雪项目的概率． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法，概率的求解，掌握列表法或树状图法的画法和概率的公式是解题的关键． 21. 花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）款玩偶购进个，款玩偶购进个 （2）按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可； （2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润． 【小问1详解】 解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意，得， 解得：， ∴（个）． 答：款玩偶购进个，款玩偶购进个； 【小问2详解】 设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意，得， ∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而增大． ∴当时，（元）， ∴款玩偶为：（个）． 答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查列一元一次方程解实际问题的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是解题的关键． 22. 已知二次函数（为待定系数） （1）求证：该二次函数的图像与轴一定有交点： （2）若二次函数图像的对称轴是直线，抛物线与轴的交点分别为，（在的左侧），在直线上有点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）， 【解析】 【分析】（1）二次函数与x轴有没有交点，只要对判别式进行计算和分析即可． （2）根据对称轴，先求出参数m的值，从而知道二次函数的解析式，令，进一步求得A、B两点坐标，然后对 P 的位置分类讨论，利用条件代入分析计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴二次函数与轴一定有交点． （2）由题意得． 解得 ∴二次函数的解析式为 当时，即 解得：，， ∴点，， 分两种情况： ①如图，当点在第一象限时，过点作轴于点 由题意得，， 在中，， ∴ ∴ ∴ ②如图，当点在第二象限时，过点作轴于点 同理可得 ∴ ∴ 综上所述，符合条件的点有两个，，． 【点睛】本题考查二次函数判别式的应用、二次函数解析式求法、与坐标轴交点的求解，以及函数图像上动点问题的分类讨论，能根据图形，数形结合思考问题是解题的关键． 23. 如图，中，，点为上一点，且，过、、三点作，是的直径，连接． （1）求证：是的切线 （2）若，，求直径的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 又， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 是的切线． （2）25 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定，证明即可； （2）过点作于点，证明，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， ， ， 在中，， ， 即：， 解得：， ． ， ， ， ， 即：， 解得：． 24. 折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想． （1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置． ①求证：DFBE； ②求DF的长度． （2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标． 【答案】（1）①见解析；②；（2）在坐标平面内存在点或或或使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质可知EF=EC，∠BEF=∠BEC，E是CD的中点，得到DE=EC=EF，则∠EDF=∠EFD，即可证明∠EDF=∠BEC，得到DF∥BE； ②过点E作EG⊥DF于G，先证明△EGD∽△BCE，得到，利用勾股定理求出，由此求解即可； （2）先证明△CDE≌△AEO得到AE=CE，设，则，由，得到，可求得， 求出直线AC的解析式为，设，，然后分当AE是菱形的对角线时，则AG=EG，当AG是菱形的对角线时，AE=EG，当AH为菱形对角线时，AE=AG，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①由折叠的性质可知EF=EC，∠BEF=∠BEC， ∵E是CD的中点， ∴DE=EC=EF， ∴∠EDF=∠EFD， ∵∠FEC=∠EDF+∠EFD=∠BEF+∠BEC， ∴∠EDF=∠BEC， ∴DF∥BE； ②如图所示，过点E作EG⊥DF于G， ∴FD=2DG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6，∠C=90°， ∵∠EGD=∠BCE，∠EDG=∠BEC， ∴△EGD∽△BCE， ∴， ∵E为CD中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴A（2，0），C（0，）， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC=OA，∠ABC=90°， 由折叠的性质可知CD=CB=OA，∠CDE=∠AOE=90°， 又∵∠CED=∠AEO， ∴△CDE≌△AOE（AAS）， ∴AE=CE， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线AC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为， 设，， ∴， 当AE是菱形的对角线时，则AG=EG， ∴， 解得， 由AE与HG的中点坐标相同得：， 解得； ∴ 当AG是菱形的对角线时，AE=EG， ， 解得或（舍去）， 由AG与EH的中点坐标相同得 解得； ∴； 当AH为菱形对角线时，AE=AG， ∴， 解得， 由AH与EG的中点坐标相同得， 解得或； ∴或； ∴综上所述，在坐标平面内存在点或或或使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定，矩形的性质，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $