第一章 二次函数 专题训练 二次函数综合-面积问题 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与面积综合，以坐标法、铅锤法为核心，构建从基础计算到动态探究的递进式训练体系，培养几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|解答题1-3|待定系数法求解析式、面积比转化|从函数解析式到单点面积计算，夯实坐标与面积关系| |综合应用|实践探究题4-6|铅锤法分割面积、方程思想|结合实际场景，用函数模型解决面积分配与最值问题| |动态探究|综合题7-12|参数法、分类讨论、存在性分析|从静态面积到动态点运动，深化推理能力与空间观念|

第一章 二次函数 专题训练 二次函数综合-面积问题 一、解答题 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中的坐标为，直角顶点的坐标为，点Ｂ在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，连结、，求的面积； （3）在抛物线上是否还存在点（点B除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．本小题分 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 二、实践探究题 4．综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点为第四象限的抛物线上一动点． （1）直接写出抛物线的函数表达式； （2）连接和，当四边形的面积为9时，求点的坐标； （3）请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，分别交直线，直线于点． 【猜想证明】随着点的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由． 6． 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离PF，始终等于它到定直线l：的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，． 例如，抛物线，其焦点坐标为，准线表达式为l：，其中，． （1）【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式； （2）【技能训练】如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； （3）【能力提升】 如图3，已知抛物线的焦点为F，准线为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； （4）【拓展延伸】把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点．当取最小值时，请求出△POD的面积． 三、综合题 7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 8． 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9． 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点，P，Q为抛物线上的两点. （1）求二次函数的表达式； （2）当P，C两点关于抛物线对轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为，试探究：的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 11．如图，抛物线 与x 轴相交于点 A，点B，与y轴相交于点 C. （1）请直接写出点 A，B，C 的坐标； （2）点P(m，n)(0<m<6)在抛物线上，当m 取何值时，△PBC的面积最大? 并求出. △PBC面积的最大值； （3）F是抛物线上的动点，作 FE//AC 交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 12．如图1，已知抛物线（a，b为常数，）经过点，，与y轴交于 点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接、、、，当与的面积和最大时，求点P的坐标及此时与的面积和； （3）如图3，点Q是抛物线上一点，连接，当时，求点Q的坐标． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：（1）将A（-2，0），C（0，-2）代入 y=x2+bx+c ， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为 y=x2+x-2 . （2）解：设 P（m，n）， 因为点在第二象限，所以m＜0，n＞0， 依题意，得， 即， ∴． 由已知，得， 所以， 由， 解得： m1=-3，m2=2 （舍去）， 所以点坐标为. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设P（m，n），根据同底边三角形的面积比就是对应底边上高的比求得n=4，代入二次函数解析式求得点P的横坐标，即可求解. 2．【答案】（1）如图，过点B作轴于F， 则， ， 的坐标为，点的坐标为， ，， 是等腰直角三角形， ∴，. ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； ∵在抛物线的图象上， ∴，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）如图，， ∴抛物线的顶点为，， 设直线的函数解析式为， ∵，，， ∴， 解得：， 直线的函数解析式为． 取y=0，则，解得， ∴点，， ∴EO=， ． ； （3）存在． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：，（舍去）， 的坐标为. ，， ， ， 是等腰直角三角形； 过点作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：，， 或， 当时，， ， 不是等腰直角三角形， 舍去； 当时，， 且， 是等腰直角三角形， ； 综上所述，点的坐标为，． 【解析】【分析】（1）过点B作轴于F，先利用AAS证明，就可求得BF，CF，再FO=FC+CO求出FO，就可得出点的坐标，把点的坐标代入抛物线，求出的值，就可得到抛物线的解析式； （2）先利用配方法求得抛物线的顶点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，就可求出BD与x轴的交点的坐标，然后可以求出； （3）求出直线的解析式，联立方程组求出直线与抛物线另一交点的坐标，并计算的长度与比较，判断是否为等腰直角三角形，再过点作平行于的直线，求出解析式，求出交点并判断是否为等腰直角三角形即可． 3．【答案】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， 解得， ． （2）解：由可知二次函数解析式为：，，， ， 设， ， ， ， 当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ． 【解析】【分析】(1)把A，B两点代入，列出方程组求出b，c (2)设，先由A，B两点，求出AB的值，再根据三角形的面积公式：，求出n，再代入二次函数，求出x值即可. 4．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系． 所在直线是AB的垂直平分线，且， ． 点的坐标为． 点的坐标为． 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为． 点在抛物线上， ．解，得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：点D，E在抛物线上， 设点的坐标为． ，交轴于点， ． 在Rt中，， ． ． 根据题意，得， ． 解，得（不符合题意，舍去）， ． 答：DE的长为4米，CF的长为2米. （3）解：． 【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称 直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3 设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9） ∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6 ∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+ ∴ k=-，矩形周长最大值为. 【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为. 5．【答案】（1）解：由题意得：， 即抛物线的表达式为： （2）解：如图1，连接，过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则四边形的面积， 解得：， 即点； （3）该定值为2 证明：依据题意作图如图2， 设点、的坐标分别为：， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 将代入上式得：， 整理得：； 同理可得，直线的表达式为：， 当时，， 解得：， 同理可得：， ， 则 ． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作轴交于点，设点，则点，再利用“ 四边形的面积为9 ”列出方程求解即可； （3）设点、的坐标分别为：，先求出直线MN和AM的解析式，再求出，，再求出即可． 6．【答案】（1）抛物线中， ，， 抛物线的焦点坐标为，准线的方程为， 故答案为：，； （2）由（1）知抛物线焦点的坐标为， 点，到焦点的距离是它到轴距离的3倍， ，整理得：， 又， ， 解得：或（舍去）， （负值舍去）， 点的坐标为 （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； 直线m：交y轴于点C， ∴设的坐标为 过点作平行线交轴于一点，如图 即 ∴ ∵直线与直线垂直， ∴ ∵当，，三点共线， ∴ 解得 ∴ ∴点 ． 即的最小值为． （4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线， ∴ 抛物线的焦点坐标为，准线的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： 点的坐标为，准线， 点的横坐标为，代入解得， 即， ∴， 则的面积为． 【解析】【分析】(1)由题意直接求抛物线的焦点与准线； (2)设点P的坐标，结合题中所给抛物线的性质得，求解方程即可； (3)利用抛物线的性质，得=，当F、P、E共线时取最小值； (4)抛物线向下平移2个单位，即焦点和抛物线也相应向下平移2个单位，求出PO+PD的最小值时的P点坐标，即可求出面积. 7．【答案】（1）解：将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中， ， 解得：， ∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3． （2）解：存在，P的坐标为（，）；△APC面积的最大值为. 【解析】【解答】（2）解：存在，P的坐标为（，）；△APC面积的最大值为. 令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∵C（0，3）， ∴OC＝3， 过点P作PE⊥x轴于点E， 设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内， ∴OE＝﹣x，AE＝3+x， ∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC AE×PE（OC+PE）×OEOA×OC （3+x）（﹣x2﹣2x+3）（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）3×3 （x）2 ∵0， ∴S△APC有最大值， ∴当x时，S△APC有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（，）． 【分析】（1）利用待定系数法将已知点代入抛物线解析式中组成方程组，解之即可得抛物线解析式； （2）利用（2）的抛物线解析式求出与x轴交点A坐标，设点P坐标进而利用铅锤法分割表示算法不规则的目标三角形面积，最后利用配方法(非负性结构)分析或二次函数最值分析得出目标三角形面积的最大值及点P的坐标即可. 8．【答案】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：的坐标为或或或． 【解析】【解答】解：（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图： 此时； ②当在第一象限，在第四象限时， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式. （2）过作轴交于，由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设，则，可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据△ACD的面积为3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标. （3）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，，过作轴于，过作轴于，分情况讨论：OA=OC=3时，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当在第一象限，在第四象限时，利用AAS证明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第三象限时，如图：利用AAS证明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性质可知PN=OM，ON=DM，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出n、m的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第一象限，如图：同理可求出符合题意的点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标. 9．【答案】（1）解：把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5， ∴B（3，5）， 把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8； （2）解：设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0）， ∵PE＝2DE， ∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2）， 解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）； ∴P的坐标为（1，9）； （3）M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【解析】【解答】解：（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下： 过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图： 在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8， 解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），C（4，0）， ∴AC＝6， ∵B（3，5）， ∴S△ABC＝×6×5＝15， 设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2）， ∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|， ∴S△ABM＝MK•|xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|×5＝|﹣m2+m+6|， ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半， ∴|﹣m2+m+6|＝×15， ∴|﹣m2+m+6|＝3， ∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3， 解得m＝或m＝， ∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【分析】（1）把点B坐标代入y=x+2求出m的值，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式； （2）设P(t，﹣t2+2t+8)，可得E(t，t+2)，D(t，0)，利用PE＝2DE建立关于t的方程并求解，根据点P的位置排除不满足条件的t值即可. （3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，计算出△ABC的面积，设点M（m，﹣m2+2m+8），得MK的长，于是可表示△ABM的面积为S△ABM＝MK•|xB﹣xA|. 根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半得△ABM的面积，得到关于m的方程，求解即可. 10．【答案】（1）解：把，，代入得， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：如图： ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴抛物线对称轴为直线， P，C两点关于抛物线对轴对称，， ， 设， ， ， ， 整理得，， 解得，（舍去）， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设点，则点，设直线PQ交x轴于点H， 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设直线PQ表达式为：， 代入，，得：， 解得：， 直线PQ的表达式为：， 令，得， ∴， ∴， ∴ 即S存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线PQ表达式为：， 令，得， ∴， ∴， ∴ 即S存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方， 同理可求， 即S存在最小值为， 综上所述，的面积S是否存在最小值，且为. 【解析】【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的方程组，求解可得a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式； （2）首先将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴直线为x=1，则可得P（2，-3），根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），在Rt△PQO中，利用勾股定理及平面内两点间距离建立出关于字母m的方程，求解可得m的值，从而得到点Q的坐标； （3）存在，理由如下：根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），则Q[m+1，(m+1)2-2(m+1)-3]，设直线PQ交x轴于点H，然后分类讨论：①当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，②当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，③当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，分别利用待定系数法求出直线PQ的解析式，然后令直线PQ解析式中的y=0算出对应的x的值得到OH的长度，进而再根据S=S△OHQ-S△OHP建立出函数关系式，将所得函数解析式配成顶点式即可求出其最小值. 11．【答案】（1） （2）如图1，过点 P 作. 轴交 BC 于点 Q. 设直线 BC 的解析式为： 将B(6，0)，C(0，-6)代入，得 解得 ∴直线 BC 的解析式为 根据三角形的面积，当平行于直线 BC 且与抛物线只有一个交点时，点 P 到 BC 的距离最大，此时，的面积最大， 时，PQ 的最大值为 面积的最大值为 … （3）点 F 的坐标为(4，或 或 【解析】【解答】解：(1)令x=0，则y=-6，故C坐标为(0，-6)，令y=0，即，解得x1=-2，x2=6， 故A(-2，0)、B(6，0)、C(0，-6) (3)设点F(t，t2-2t-6)，E(n，0) ①AEFC为平行四边形时，由CF||AE知，A→E，C→F， 即n+2=t，t2-2t-6+6=0，得t=4或0(舍)，得F(4，-6)； ②ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上， 即有t2-2t-6+(-6)=0，解得t=或 综上所述点F的坐标为 (4，或 或 【分析】(1)分别令x=0，求出点C的坐标，令y=0，即可求出A和B的坐标； (2)先求出直线BC的解析式，设点(m，n)，求出△PBC的面积表达式，利用二次函数关系可求得面积的最大值； (3)ACFE和ACEF为平行四边形进行讨论，结合平移的性质AEFC为平行四边形，A→E，C→F可得t的值，即得点F的坐标；ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，利用中点坐标公式得t2-2t-6+(-6)=0，解方程即可得t的值. 12．【答案】（1）∵抛物线点，， ∴， 解方程组得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图2，连接，， 由， ∴，而，， ∴，， 设， ∴，， ， ∴与的面积和 ， 当时，面积和最大， 最大面积为：； ∴； （3）如图3，连接，记，的交点为K，过K作于T， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， ∵K关于x轴对称的点， 此时与抛物线的交点Q也符合题意； 同理可得：直线的解析式为：， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）连接OP和BP，设点P的横坐标为x，利用x的代数式表示点P的坐标，计算三角形BOC、POC、PAO和PBO的面积，再利用面积的关系构建二次函数，根据二次函数的性质求解。 （3）连接CB，记BQ，AC的交点为K，过K作KT⊥AB于T，证明求出AK的长，得出点K的坐标和直线BK的解析式，再联立求解函数交点坐标即可，同理求出K关于x轴对称的点的坐标，此时与抛物线的交点Q也符合题意；同理可求出直线的解析式，再联立求解函数交点坐标即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $