第四章 指数函数与对数函数 单元检测卷（能力卷01）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 人教A版高一数学必修一第四章指数函数与对数函数单元检测（能力卷01），通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖函数性质、运算及应用，融合数学思维与实际情境，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|指数运算、零点区间、函数值域等|基础巩固，如第1题指数运算考查基本技能| |多选题|3|函数奇偶性、充分条件等|辨析能力，如第10题结合偶函数性质与对称性| |填空题|3|对数运算、函数最值等|知识综合，如第14题结合奇偶性求参数范围| |解答题|5|实际应用、单调性证明等|能力提升，如第15题精准扶贫资金模型体现数学语言表达现实世界|

人教A版高一数学必修一第四章指数函数与对数函数单元检测 （能力卷01） 一、单选题 1．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，是的充分条件 D．的必要条件是 10．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，f（x）是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ） A． B．直线为函数图象的一条对称轴 C．函数f(x)在区间[-2，7]上存在2个零点 D．若在区间[－4，0]上的根为，，则 11．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．若，则无最值 D．若b恒成立，则的最大值为6 三、填空题 12．已知函数，若，则________． 13．已知函数给出下列命题： ①函数有最小值； ②当时，函数的值域为； ③若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是. 其中正确的命题是________. 14．已知奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，若恒成立，则a的取值范围是__________. 四、解答题 15．为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长. (1)写出第年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？ （参考数据：）. 16．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 17．已知函数f（x）=ln（x2-ax+4）． （1）若f（x）定义域为R，求实数a的取值范围； （2）当a=4时，解不等式f（ex）≥x． 18．已知函数，. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若函数，，是否存在，使得的最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．已知函数且. (1)若函数有零点，求a的取值范围； (2)设函数，在（1）的条件下，若，使得，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册第四章单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B A D B B ACD AB 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 2．B 【分析】利用单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为，， 所以，所以在有零点， 因为和都是上的增函数， 所以在上单调递增， 所以存在唯一零点. 故选：B 3．B 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 4．B 【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 5．A 【解析】根据对数函数的图象与性质，求得，，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得，， 又由，， 因为，所以，可得， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．D 【分析】根据函数的解析式，分析得到函数的奇偶性及单调性，结合性质及题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】依题函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数， 又当时， ，根据基本函数的性质知， 函数在上单调递增， 由对称性知，函数在上单调递减， 因为， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 7．B 【分析】利用幂函数与指数函数的单调性判定即可. 【详解】由单调递增， 则可知，即B正确. 故选：B. 8．B 【分析】根据基本不等式结合对数的运算性质可求得结果 【详解】因为正数满足， 所以，当且仅当时，等号成立，得. 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2， 故选：B 9．ACD 【分析】利用量词命题的真假性与充分必要条件的定义，结合对数方程及不等式的性质，逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，当时，不成立，故B错误； 对于C，当，时，显然成立， 所以，是的充分条件，故C正确； 对于D，当时，且，即且， 所以的必要条件是，故D正确. 故选：ACD. 10．AB 【分析】根据给定条件，逐一分析各个选项中对应条件即可判断作答. 【详解】在R上的偶函数满足， 令，则，即，A正确； 因，则有，即， 于是得直线是函数图象的一条对称轴，B正确； 因，则当时，，而， 则函数f(x)在区间[-2，7]上至少存在3个零点，C不正确； 由于函数f(x)的图象关于直线对称，则，即，D不正确. 故选：AB 11．BCD 【分析】对A，根据偶函数定义判断；对B，根据单调性的定义即可判断；对C，根据函数的奇偶性及单调性，即可判断；对D，分离参数后结合基本不等式即可求解，进而判断. 【详解】对于A，因为函数的定义域为R，且，所以为偶函数，故A错误； 对于B，设，则， 因为，所以，即， 因为，，所以，则， 所以，即，故在上单调递增，故B正确； 对于C，因为为偶函数，且在上单调递增， 所以，所以， 两边平方，整理得，解得或，故无最值，故C正确； 对于D，由于，在上单调递增，在上单调递减，所以， 故，即， 令，则，故在上恒成立， 因为，当且仅当时取等号， 故，即的最大值为6，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】由对数，指数运算性质可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 13．② 【分析】对于①：如果有解，则函数的值域为R，无最小值.即可判断； 对于②：直接求出当时，函数的值域，即可判断； 对于③：由在区间上是减函数，列不等式组，求出的取值范围. 【详解】由函数， ①若有解，则函数的值域为R，无最小值，故①不正确； ②当时，函数，定义域为，值域为R，故②正确； ③要使在区间上是减函数，则 ，无解，故③不正确. 故答案为：② 14． 【分析】利用函数奇偶性结合，求出函数和的解析式，由函数单调性解不等式，问题转化为恒成立，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】奇函数与偶函数的定义域均为，且满足， 则有， 解得，， 函数和在R上都单调递增， 则在R上单调递增，且有， 恒成立，即恒成立，即恒成立， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以，即a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：由，利用函数奇偶性通过方程组求和的解析式，函数不等式要利用单调性求解，恒成立问题可转化为求函数最值. 15．(1)， (2)该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元 【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得，然后利用对数运算求解集. 【详解】（1）第年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金（万元） 则， 其定义域为 （2）由（1）得 所以，即 所以，故该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元. 16．(1)； (2)由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. (3). 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）略 （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 17．(1) -4＜a＜4；(2) {x|x≤0或x≥ln4 }． 【分析】（1）转化为判别式△＜0,即可； （2）时,将不等式转化为,再结合定义域即可得到 范围 【详解】（1）由已知得解集为, ∴,解得； （2）当时,, ,∴, 又, 即,且 则,且 令,则,解得或, ∴或, 综上,的解集为或 【点睛】本题考查已知定义域求参数问题,考查二次型函数,考查含对数的不等式的解法,解题时注意定义域优先 18．(1)偶函数，证明见解析 (2)存在， 【分析】(1)根据偶函数的定义判断； (2)将转化为二次函数，分类讨论求函数的最值. 【详解】（1）证明：定义域为， 所以为偶函数； （2）， 当时，， 令，则，， 当时，即，在上单调递增， 所以时，，解得; 当时即，时，， 解得不成立； 当时，即，在上单调递减， 所以时， . 解得不成立. 故存在满足条件的 19．(1) (2) 【分析】（1）函数有零点，即方程有解，则函数的图象与直线有交点，再分和两种情况讨论，即可得解； （2），使得成立，即成立，利用基本不等式求出的最小值，分离参数，从而可得出答案. 【详解】（1）若函数有零点， 即，即方程有解， 令，则函数的图象与直线有交点， 当时，，故方程无解， 当时，， 由方程有解可知，所以， 综上，a的取值范围是； （2）当时，， 由（1）知，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是， 由题意，，使得成立， 即成立， 所以对恒成立， 设，则对恒成立， 设函数， 因为函数和函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 所以，所以， 即m的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $