第四章 指数函数与对数函数 单元检测卷（培优卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 人教A版高一数学必修一指数函数与对数函数单元培优卷，通过基础运算、性质探究及创新应用，全面检测单元核心知识，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|指数对数运算、函数单调性比较|如第7题结合对称性与周期性，考查数学抽象与逻辑推理| |多选题|3|函数定义域值域、奇偶性应用|如第11题函数零点综合，培养数据分析与直观想象| |填空题|3|指数幂化简、不等式求解|第14题奇函数性质应用，强化数学建模能力| |解答题|5|新定义问题、函数综合应用|第17题“局部奇偶性”创新设计，提升创新意识与运算能力|

人教A版高一数学必修一第四章指数函数与对数函数单元检测 （培优卷） 一、单选题 1．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．化简(的结果是 A． B． C． D． 6．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 7．已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 8．设函数，若函数有且只有两个不相等的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 9．已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 10．已知定义在上的函数满足:当时，恒有.下列结论正确的是（    ） A． B．函数在区间上为增函数 C．函数在区间上为增函数 D． 11．已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 三、填空题 12．已知，，则______________． 13．已知函数，则的解集为_____________________． 14．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为______. 四、解答题 15．已知函数，当时，. (1)求的值； (2)已知，求的解析式. 16．求值： (1)； (2)已知（且），求的值． 17．若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数其中为常数. （1）若为上的“局部奇函数”，当时，求不等式的解集； （2）已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”， （i）求函数的值域； （ii）对于上的任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知是定义在上的偶函数，且时，. (1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）； (2)若，求实数的取值范围. 19．设． (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； (3)设，若对任意，都存在使得成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册第四章单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B B A B B ACD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】将都化为的形式，利用在上单调递增，判断的大小关系可得结果. 【详解】解：，， ，令，则在上单调递增，所以. 故选：A 2．B 【分析】根据指、对、幂的运算逐项判断即可． 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 3．D 【分析】构造函数，证明函数的奇偶性，推理得到其单调性，利用函数的单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】设，该函数的定义域为， ，都有，且， 所以函数是奇函数， 因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数， 故是上的减函数，是上的增函数， 由，得，则， 则，解得. 4．B 【分析】计算，，，得到大小关系. 【详解】，，，故. 故选：B. 5．B 【分析】根据平方差公式以及分数指数幂的运算即可求解. 【详解】因为,所以原式的分子分母同乘以, 所以原式, ,, 故选：B. 6．A 【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 考点：函数的单调性. 7．B 【分析】设表示函数的图像，，根据中心对称性与轴对称性，可依次得，，，取，可计算得，从而可计算得. 【详解】用表示函数的图像，对任意的， 令，则，且， 利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得 ，，， 取，此时， 因此. 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算. 8．B 【分析】先确定时，函数为周期为的函数，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当时，函数为周期为的函数，即 画出函数图像，如图所示： 函数有且只有两个不相等的零点，故 故选 【点睛】本题考查了函数的零点问题，根据函数周期画出函数图像是解题的关键. 9．ACD 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得.对于B，直接代入求解即可.对于C ，根据，求解即可.对于D ,根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得. 【详解】对于A，要使定义域为R，只需恒成立， 所以判别式，所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A对 对于B，若， 即，整理得，得， 此时，故B错； 对于C，，因为与m无关，所以过定点（1,2),故C正确； 对于D，若在上单调递减，只需函数在上递减，且，即，解得，故D对. 故选：ACD 10．ACD 【详解】令，则，∴，故A正确; 不妨设，由，可得， ∴，∴函数在区间上为增函数，故C正确， 取，此时在区间上为增函数， 而，其不是增函数，故B项错误; ∵，∴， ∵函数在区间上为增函数， ∴且， ∵，所以， ∴， ∴ ，故D正确. 11．ACD 【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，根据指数函数性质结合基本不等式分析判断A；根据对数函数性质结合基本不等式分析判断B；根据题意结合函数单调性分析判断C；令，方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断D. 【详解】由，得， 函数的零点，即为的图象与直线交点的横坐标， 如图，作出函数的图象. 如图，，且， 对于A，由，得， 整理得，即，则，故A正确； 对于B，由，得， 则，整理得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得， 则，， 因函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，因此，故C正确； 对于D，方程，即，令，则，而， ①若，则方程无实根，即方程无实根，方程无实根； ②若，则方程有2个不相等的实根，且有2个不相等的实根； 有3个不相等的实根，方程有5个不相等的实根； ③若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，有4个不相等的实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有10个不相等的实根； ④若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，或或均有3个不相等的实根， 因此方程有9个不相等的实根； ⑤若，则方程有3个不相等的实根满足：， 且无实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有6个不相等的实根； 综上，方程最多有10个不同的实根，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： ①转化为两个常见的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； ②分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 12．/ 【分析】由得到，再利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，， 所以，， 故答案为： 13． 【分析】由解析式得，即关于对称，再应用定义求证上单调性，结合对称性及不等式有，即可求解集. 【详解】由，则， 所以关于对称， 当，令，则 ，而， 所以，即在上递增， 根据对称性知：在上递减， 由，则，即， 所以，即，可得， 故不等式解集为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据解析式求得，并确定区间单调性为关键. 14． 【分析】先根据对称性定义得出对称中心为，再结合二次函数值域及对数函数单调性计算求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以的图象关于对称， 所以， 当时，，且单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性知在上单调递增， 又的图象关于点对称，且在上单调递增，故在上单调递增， 由，可得， 又，所以， 所以，即，解得， 所以该不等式的解集为. 故答案为:. 15．(1)2 (2) 【分析】（1）根据，且代入求解即可 （2）利用，且，利用倒序相加法求解即可 【详解】（1）， 即 ， ， ，当且仅当，即取等号， 又，. （2）由， 得 ， 又当时， 所以两式相加可得 ， 所以 16．(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂与对数的运算法则，即可求解； （2）对原式进行平方化简得到之后，再平方可得到，化简即可. 【详解】（1）根据指数幂与对数的运算法则，可得： . （2）已知， 则， ， 故． 17．（1）；（2）（i）；（ii）. 【解析】（1）根据局部奇函数性质得，进而，即，由于，，故的解集为； （2）（i）由题得，故分别求各段的函数值域，求并集即可得函数的值域；（ii）根据题意分当时，当时，当时三种情况讨论求解. 【详解】解：（1）对上成立，即， 所以，故等价于， 令，即，解得或， 又，，，又 的解集为. （2）（i） ①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以； ②当，令，为对勾函数，，所以. 的值域为 （ii）①当时，， ， ②当时，， 成立， ③当时，， ， 综上，的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，化归转化思想，数学运算求解能力，是中档题.其中本题第二问的第一个问题的解题的关键在于借助对勾函数的单调性求解值域，第二个问题在于分类讨论求解，即分当时，当时，当时三种情况讨论求解. 18．(1)函数在上的解析式为， 函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】(1)设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解； (2)结合（1）的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解. 【详解】（1）设，则，所以， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 则函数在上的解析式为， 函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知：，所以不等式可化为，结合函数的单调性可知：， 解得：，所以实数的取值范围为. 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据对数函数的单调性解不等式； （2）根据得到，求出方程的根，再根据该解集中恰有一个元素得到的取值范围； （3）先代入化简，得到，求出的取值范围为，再根据求出的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以可化为， 又对数函数在单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为 （2）方程即， 所以， 化简得，即， 所以， 当是方程的根时，，所以， 当是方程的根时，，所以， 因为关于的方程的解集中恰有一个元素， 所以， 所以的取值范围为； （3）因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围为， 令， 当时取得最大值4，当或时，， 所以函数的值域为， 综上，， 所以，所以，解得或， 由，且，即，显然， 综上所述，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $