幂函数和指数函数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

幂函数 知识点： 【例1】已知幂函数f(x)=a2-4a+4x-2,则下列说法正确的有() A.a=1或3 B.f(x)一定为奇函数 C.f(x)一定为减函数 D.f(x)必过点(L,) 【变式1-1】幂函数f(x)=m2-m-1xm-2m-2在(0，+o)上递减，则实数m=（) A.-2 B.-1 C.2 D.2或-1 【变式1-2】已知幂函数f(x)=m2-3xm-在(0，+0)上是减函数，则f(2)=. 【例2】若f(x)=x3,且f(a+2)<f(2a),则a的取值范围是() A.(-0,2） B.(2,+0) C.-2,2 D.（-2,+0） 【变式2-1】已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则不等式f(2x-1)<f(x+1)的解集 是 【变式2-2】已知(a-2)i<(3a+1)i,则实数a的取值范围是」 【例3】己知幂函数f(x)=a2-a-1x为偶函数，则a=() A.-1或2 B.2 C.-1 D.1 【变式3-1】己知幂函数f(x=a2-a-1x“是偶函数，则不等式f(x+1)>f(2x-1的解 集为 指数和指数函数 目目 考点01 指数的计算 1.计算： (-8)+(5-2)-(2-5): (2(晋)号-(9)5+(0.008)×是 8)(传)1-(5-2)°-0.0643： ④[(-2)]1+克-4+25 目目 考点02 指数幂比大小 【例1】已知a=208,b=40:,c=(传)2则三个数的大小关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c≥2a>b 【变式1-1】已知a=0.60.7,b=0.706,c=0.70.7,则（) A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b 目目 考点03 指数函数的定点问题 【例1】函数y=x“+1(a是有理数)的图象过一定点P,则P的坐标为 【变式1-1】函数f(x)=(3x-2)°+2的图象恒过点 【变式1-2】已知关于x的函数y=a1+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则 点A的坐标为() A.(1,0) B.(1,2) C.（2,2) D.(13) 【变式1-3】己知函数f(x)=a-2+n（a>0,且a≠1)的图象恒过定点2,1)，若图 象还过点(m,1),则m+n=() A.-2 B.0 C.2 D.4 目目 考点04 指数函数图像 【例1】函数f(x)=背( 其中e为自然对数的底数)的大致图象为() 【变式1-1】函数f(x)=亡2的图象大致为() 【例2】已知函数F(x=(),则使得f(2a)<f(a1)成立的正实数a的取值范围 是() A.(传，+∞)B.(0,青)C.(0,1)D.(1,+∞) 目目 考点05 己知指数函数图像求参数 【例1】f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的图象如图所示，a,b为常数，则() A.a>1b<0 B.a>1b>0 C.0<a<1,b<0 D.0<a<1,b>0 【变式1-1】若函数y=as+b-1(a>0,a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一 定有() A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0 C.0<a<1,且b<0 D.a<1,且b>0 目目 考点06 指数函数的定义域问题 【例1】函数f(x)=V8-2的定义域为() A.R B.(0,3] C.(-∞，3] D.(-0∞，3) t(x-1) 【变式1-1】已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，则函数y=一手的定义域是() A.（1,4] B.（-1,4] C.(-1,4) D.(14) 目目 考点07 指数函数的单调性 【例1】函数y=(传)-4+ 的单调递增区间是() A.(-0,-2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞，2] 【变式1-1】函数f(x)=222-3的单调递增区间是() A.[1,+∞)B.[3,+∞) C.(-∞，1] D.(-∞，-1] 目目 考点08 指数函数的值域 【例1】函数y=3料-1的定义域为[-1,2]，则函数的值域为() A.[2,8] B.[0,8] C.[1,8] D.(-1,8] 【例2】函数f(x)=()x4x的值域为() A.(-∞，专)B.(0,]C.[,十0)D.[2,+0) 【例3】函数f(x)=g-2·3+3在[-1,2]上的值域为 【例4】已知函数fx)=ax-b（a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象过点(0，-1)和3,6)，求fx)在R上的值域 (2)若f(x)在区间1,2上的最大值比最小值大号，求a的值. 目目 考点09 指数函数不等式的解法 【例1】（任）4>64的×的取值范围为 【变式1-1】若函数2之2x3<()-3与不等式x2+ax+b<0解集相同，则a十b= 幂函数 知识点： 1　 幂函数的一般式f（x）=xa，底数为自变量，指数为常数 2　 五个常用的幂函数图像 3　 幂函数恒过定点（1，1） 4　 当a为偶数时，幂函数是偶函数；当a为奇数时，幂函数是奇函数 5　 在（1，+∞）上，幂函数的指数越大图也越高（指大图高） 6　 幂函数比大小，先转化同指数，然后根据a＞0，f（x)=xa在（0，+∞）单调递增，a＜0，f（x）=xa在（0，+∞）单调递减做题 【例1】已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 【变式1-1】幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 【变式1-2】已知幂函数在上是减函数，则 ． 【详解】由题，可得，解得， ，则. 故答案为：. 【例2】若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 由可得，解得． 故选：B. 【变式2-1】已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 【变式2-2】已知，则实数的取值范围是 ． 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 【例3】已知幂函数为偶函数，则（   ） A．或2 B．2 C． D．1 【详解】因为幂函数为偶函数， 所以且为偶数， 所以. 故选：. 【变式3-1】已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 指数和指数函数 地 城 考点01 指数的计算 1. 计算： (1)； (2). (3)； (4) 【详解】（1）. （2） . 【答案】(1)-0.5 (2)9 【分析】（1）根据指数幂运算公式计算即可; （2）根据指数幂运算公式及根式的运算公式即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. 地 城 考点02 指数幂比大小 【例1】已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，，，所以. 故选：A. 【变式1-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 地 城 考点03 指数函数的定点问题 【例1】函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 【变式1-1】函数的图象恒过点 . 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 【变式1-2】已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 【变式1-3】已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【详解】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 地 城 考点04 指数函数图像 【例1】函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意可得 ， 又，当，；当，，只有选项B符合. 故选：B. 【变式1-1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 【例2】已知函数，则使得f（2a）＜f（a-1）成立的正实数a的取值范围是（ A ） A. （，+∞） B.（0，） C.（0，1） D.（1，+∞） 地 城 考点05 已知指数函数图像求参数 【例1】的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质即可判断得出结论. 【详解】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 【变式1-1】若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 地 城 考点06 指数函数的定义域问题 【例1】函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 【变式1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 地 城 考点07 指数函数的单调性 【例1】函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 【变式1-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 地 城 考点08 指数函数的值域 【例1】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 【例2】函数的值域为（ C ） A. （-∞，） B.（0，] C.[，） D.[，） 【例3】函数在[，2]上的值域为__[2,66]____ 【例4】已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 地 城 考点09 指数函数不等式的解法 【例1】的x的取值范围为_____（-∞，1）__ 【变式1-1】若函数与不等式_-5_ 学科网（北京）股份有限公司 $