精品解析：2022年浙江省金华市中考数学冲刺卷

2022年浙江省金华市中考数学冲刺卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数：，，，3.1416，，其中有理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只，4000亿用科学记数法表示为（　　） A. 4×103亿 B. 4×107亿 C. 4×1010亿 D. 4×1011亿 4. 不等式2x+1≥x+2的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，下列判断错误的有（ ）个 （1）若，，则是的平分线； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则． A. 0 B. C. D. 3 6. 将如图所示的立方体盒子（其余各面无任何标记）展开成一个平面图形，则下列图中可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆的顶端处有一探射灯，射出的边缘光线和与水平路面所成的夹角和分别是37°和60°（图中的点均在同一平面内，）.则的长度约为（ ）（结果精确到0.1米，）参考数据：(=1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A. 9.4米 B. 10.6米 C. 11.4米 D. 12.6米 8. 若A（-1，y1），B（-2，y2）,C（2，y3）三点都在函数（k>0）的图象上，则y1,y2,y3的大小关系式( ) A. y1< y3< y2 B. y1< y2< y3 C. y2< y1< y3 D. y3< y1< y2 9. 某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的30包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（ ） A. 盈利了 B. 亏损了 C. 不盈不亏 D. 盈亏不能确定 10. 如图，与的边相切，切点为点，并分别与、边相交于、点，，过点作交于点，若的半径不变，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 要使二次根式有意义，则x应满足 _____． 12. 填表，使上下每对，的值是方程的解． 0 2 0 3 13. 周末小明到商场购物，付款时想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，则选择“微信”支付方式的概率为____________. 14. 如图，菱形的边长为，将菱形沿射线方向平移得到四边形交于点E，若，则平移的距离为_____． 15. 建党百年之际，我们要大力发扬“三牛精神”．现由边长为2的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板，将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“孺子牛”造型，则矩形EFGH与“孺子牛”的面积之比为 __． 16. 如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为_ cm2． 三．解答题（共8小题，满分66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简再求值：求代数式的值，其中． 19. 如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON． （1）求∠ACD度数； （2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1） 20. 甲、乙两名队员各参加十次射击训练，成绩分别被制成如图两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 7 7 b 1.2 乙 7 a 8 4.2 （1）直接写出：　　，　　； （2）请选择适当的统计量，从两个不同的角度说明支持乙参加比赛的理由． 21. 如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m， （1）求出s关于x的函数关系式； （2）求s的最大值与最小值． 22. 已知：△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB． （1）如图1，求证：∠DAB＝∠DBC； （2）如图2，过点D作DM⊥AB于点M，连接AO，交BC于点N，BM＝AM+AD，求证：BN＝CN； （3）如图3，在（2）的条件下，点E为⊙O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点P，连接CE，交AO的延长线于点Q，连接PQ，PQ⊥OQ，点F为AN上一点，连接CF，若∠DCF+∠CDB＝90°，tan∠ECF＝2，，PQ+OQ＝6，求CF的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点，点坐标为，轴，且,． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式． （2）点是轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 24. 在平面直角坐标系xOy中，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，直线AC交x轴于点C，AB＝AC，点C的坐标是（3，0）． （1）如图1，求点B坐标； （2）如图2，点D在线段AB上，点E在线段AC延长线上，连接DE交OC于点F，DF＝EF，过点E作EH⊥x轴，垂足为点H，设点F的横坐标为t，BH长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在BA的延长线上取一点K，使AK＝CE，连接CK、FK，过点D的直线交x轴于点G，交直线AC于点M，连接BM、GK，若∠BMG＝∠FKC，BM∥KF，△CKG的面积为12，求直线GK的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年浙江省金华市中考数学冲刺卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数：，，，3.1416，，其中有理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数与无理数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：有理数是整数与分数的统称，而无理数是无限不循环小数，则有：， ∴在，，，3.1416，，其中有理数有，3.1416，共3个； 故选C． 【点睛】本题主要考查有理数与无理数的概念及立方根，熟练掌握有理数与无理数的概念及立方根是解题的关键． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题． 【详解】， 因为，故． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为解题工具． 3. 2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只，4000亿用科学记数法表示为（　　） A. 4×103亿 B. 4×107亿 C. 4×1010亿 D. 4×1011亿 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：4000亿亿， 故选：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 不等式2x+1≥x+2的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解不等式的步骤：先解不等式2x+1≥x+2，再选择数轴即可． 【详解】解：不等式2x+1≥x+2 移项得，2x﹣x≥2﹣1 合并得，x≥1． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤以及注意事项． 5. 如图所示，下列判断错误的有（ ）个 （1）若，，则是的平分线； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则． A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的判定和性质，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠2=∠3， 又∵∠1=∠3， ∴∠1=∠2，则BD是∠ABC的平分线；（1）正确； ∵∠2，∠3是直线AD和直线BC被直线BD所截形成的内错角， ∵AD∥BC，则∠2=∠3， ∵∠1是直线AB和直线AD被直线BD所截形成的角， ∴若AD∥BC，不能证明∠1=∠2=∠3；故（2）错误； ∵∠3+∠4+∠C=180°，即同旁内角∠ADC+∠C=180°，则AD∥BC；故（3）正确； ∵内错角∠2=∠3，则AD∥BC；故（4）正确； ∴错误的选项只有（2）； 故选：B. 【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 6. 将如图所示的立方体盒子（其余各面无任何标记）展开成一个平面图形，则下列图中可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，利用正方体的展开图的特点解题即可． 【详解】解：选项A、B、D中含有标记的三个面不相交于一点，与原立方体不符， 所以只有C是立方体的展开图． 故选：C． 7. 如图，是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆的顶端处有一探射灯，射出的边缘光线和与水平路面所成的夹角和分别是37°和60°（图中的点均在同一平面内，）.则的长度约为（ ）（结果精确到0.1米，）参考数据：(=1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A. 9.4米 B. 10.6米 C. 11.4米 D. 12.6米 【答案】C 【解析】 【分析】延长DC交AN于H．求出BC=CD，在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题. 【详解】延长DC交AN于H． ∵∠DBH=60°，∠DHB=90°， ∴∠BDH=30°， ∵∠CBH=30°， ∴∠CBD=∠BDC=30°， ∴BC=CD=10（米）； 在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65， ∴DH=15， 在Rt△ADH中，AH==20， ∴AB=AH-BH=20-8.65≈11.4（米）． 故选C. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 8. 若A（-1，y1），B（-2，y2）,C（2，y3）三点都在函数（k>0）的图象上，则y1,y2,y3的大小关系式( ) A. y1< y3< y2 B. y1< y2< y3 C. y2< y1< y3 D. y3< y1< y2 【答案】B 【解析】 【分析】根据k>0得到该函数图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，再由点的横坐标确定点所在的象限，得到纵坐标的关系. 【详解】∵（k>0）， ∴该函数图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵A（-1，y1），B（-2，y2）,C（2，y3） ∴点A、B在第三象限，点C在第一象限， ∴y1< y2< y3， 故选：B. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，明确k值的重要性及对函数的增减性的影响是解题的关键 9. 某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的30包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（ ） A. 盈利了 B. 亏损了 C. 不盈不亏 D. 盈亏不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得：总进价为：元，共进了（包）， ∵商家以每包元的价格卖出， ∴总收入为：元， ∴利润为：， ， ， ∴盈利了． 10. 如图，与的边相切，切点为点，并分别与、边相交于、点，，过点作交于点，若的半径不变，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由两角对应相等可判定，由此得到，变形得到，由勾股定理得到，可得，推断出的最大值是直径的平方，再由，点、在上，推出是的直径，再根据勾股定理即可得解． 【详解】解：连结, ， ， ， , 又， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 最大值是是直径时， 的最大值是直径的平方， ， ， 点、在上， 是的直径， ， 是直径的平方， 的最大值可表示为：， 故选：． 【点睛】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 要使二次根式有意义，则x应满足 _____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是：被开方数． 【详解】解：二次根式有意义 ∴， ∴． 12. 填表，使上下每对，的值是方程的解． 0 2 0 3 【答案】见解析 【解析】 【分析】当已知的值时，把的值代入即可得到一个关于的方程，解方程求得对应的的值即可； 当已知的值时，把的值代入即可得到一个关于的方程，解方程求得对应的的值即可． 【详解】解：中， 当时，代入方程得：，解得； 当时，代入方程得：，解得； 当时，代入方程得：，解得； 当时，代入方程得：，解得； 当时，代入方程得：，解得； 当时，代入方程得：，解得； 当时，代入方程得：，解得； 当时，代入方程得：，解得； 故答案为： 0 2 2 11 5 0 3 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，正确解一元一次方程是关键． 13. 周末小明到商场购物，付款时想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，则选择“微信”支付方式的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式直接写出答案即可． 【详解】∵共“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式， ∴选择“微信”支付方式的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝． 14. 如图，菱形的边长为，将菱形沿射线方向平移得到四边形交于点E，若，则平移的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于O，过点E作于点F，利用菱形的性质和勾股定理，求出，由平移的性质得：，利用等腰三角形三线合一的性质，得出，，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：如图，连接交于O，过点E作于点F， ∵菱形的边长为， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平移的距离为． 15. 建党百年之际，我们要大力发扬“三牛精神”．现由边长为2的正方形ABCD制作的一副如图1所示的七巧板，将这副七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“孺子牛”造型，则矩形EFGH与“孺子牛”的面积之比为 __． 【答案】 【解析】 【分析】七巧板的面积不变，所以可以根据正方形的面积求出“孺子牛”面积，再根据七巧板各边的关系求出矩形面积然后求出比值即可． 【详解】∵“孺子牛”是由七巧板拼成的， ∴“孺子牛”的面积为2×＝8， 由七巧板各边的关系可以得出，矩形EFGH的宽为2+，长为7+， ∴矩形EFGH的面积为（7+）（2+）＝15+8， ∴矩形EFGH与“孺子牛”的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的数量关系是解题的关键． 16. 如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为_ cm2． 【答案】1944 【解析】 【分析】设QM=PN=4k，BM=CN=3k，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵四边形MNPQ是矩形，tanB=tanC=， ∴设QM=PN=4k，BM=CN=3k， ∴MN=108-6x， ∴S矩形MNPQ=4k(108-6k)=-24(k-)2+1944， ∵-24＜0， ∴k=时，矩形MNPQ的面积最大，最大值为1944 cm2， 此时BQ=PC=5k=45，符合题意， ∴矩形MNPQ的面积的最大值为1944cm2． 故答案为：1944． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型． 三．解答题（共8小题，满分66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）根据30°、45°角的三角函数值进行求解即可； （2）根据45°、60°角的三角函数值进行求解即可． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 18. 先化简再求值：求代数式的值，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】解： ， ， 原式． 19. 如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON． （1）求∠ACD度数； （2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1） 【答案】(1) 25°；（2）2.1. 【解析】 【详解】试题分析：（1）延长AC交ON于点E，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等得到∠ACB=∠OCE=65°，再根据∠ACD=90°-∠ACB即可解决问题； （2）接着在Rt△ABC中利用∠ACB的余弦可计算出BC，然后根据矩形的性质即可得到AD的长. 试题解析：（1）延长AC交ON于点E，如图， ∵AC⊥ON， ∴∠OEC=90°， 在Rt△OEC中， ∵∠O=25°， ∴∠OCE=65°， ∴∠ACB=∠OCE=65°， ∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25° （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AD=BC， 在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=， ∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1， ∴AD=BC=2.1． 20. 甲、乙两名队员各参加十次射击训练，成绩分别被制成如图两个统计图： 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差 甲 7 7 b 1.2 乙 7 a 8 4.2 （1）直接写出：　　，　　； （2）请选择适当的统计量，从两个不同的角度说明支持乙参加比赛的理由． 【答案】（1）7.5，7 （2）从中位数、众数上看，乙队员的成绩好于甲队员的成绩 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键． （1）根据中位数、众数的意义，分别求出甲队员射击成绩的众数，乙队员射击成绩的中位数即可； （2）从中位数、众数这两个方面进行分析． 【小问1详解】 解：乙队员10次射击成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此乙队员射击成绩的中位数是7.5，即； 甲队员射击成绩出现次数最多的是7环，共出现4次，因此甲射击成绩的众数是7环，即； 故答案为：7.5，7； 【小问2详解】 解：乙的中位数、众数都比甲的中位数、众数要大，因此从中位数、众数上看，乙队员的成绩好于甲队员的成绩． 21. 如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m， （1）求出s关于x的函数关系式； （2）求s的最大值与最小值． 【答案】（1）S＝﹣x2＋x（17≤x≤27）；（2）最大值是m2，最小值是238m2 【解析】 【分析】（1）由于平行于墙的边为xm，则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m，由面积公式写出S与x的函数关系式，进而求出x的取值范围； （2）根据二次函数的性质，即可求得当x取何值时，这个花园的面积有最大值，最大值是多少，根据|27﹣|＜|17﹣|，得到x＝17时，S最小，把x＝17代入解析式求出最小值． 【详解】解：（1）平行于墙的边为xm． 则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m， 根据题意得：S＝x（45﹣x）＝﹣x2＋x（17≤x≤27）； （2）∵S＝﹣x2＋x＝﹣（x2﹣45）＝﹣（x﹣）2＋（17≤x≤27）， ∵17≤x≤27，a＝﹣＜0， ∴当x＝m时，S取得最大值，此时S＝m2， ∵|27﹣|＜|17﹣|， ∴x＝17m时，S取得最小值，此时S＝238m2， 答：S的最大值是m2，最小值是238m2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二次函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 22. 已知：△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB． （1）如图1，求证：∠DAB＝∠DBC； （2）如图2，过点D作DM⊥AB于点M，连接AO，交BC于点N，BM＝AM+AD，求证：BN＝CN； （3）如图3，在（2）的条件下，点E为⊙O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点P，连接CE，交AO的延长线于点Q，连接PQ，PQ⊥OQ，点F为AN上一点，连接CF，若∠DCF+∠CDB＝90°，tan∠ECF＝2，，PQ+OQ＝6，求CF的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，延长BO交⊙O于G，连接CG，∠OBD＝90°，∠DBC+∠CBG＝90°，BG为⊙O的直径，∠BCG＝90°，∠DBC＝∠G，四边形ABGC为⊙O的内接四边形，∠DAB＝∠G，进而结论得证； （2）如图2，在MB上截取一点H，使AM＝MH，连接DH，DM垂直平分AH，∠HDB＝∠HBD，∠DHA＝∠HDB+∠HBD＝2∠HBD，由（1）知∠DAB＝∠DBC，∠DBC＝2∠HBD，∠DAB＝2∠ABC＝∠ABC+∠C，可知∠ABC＝∠C，AB＝AC，AO垂直平分BC，进而结论得证； （3）如图3，延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，由∠DCF+∠CDB＝90°，可得∠DMC＝∠OBD，，∠BGE＝∠ECF，∠CFN＝∠BON，故tan∠BGE＝tan∠ECF＝2，由（2）知OA垂直平分BC，证明△CFN≌△BON（AAS），则CF＝BO，ON＝FN，设CF＝BO＝r，ON＝FN＝a，则OE＝r，根据 ，可得OQ＝2a，证明△QGO∽△QCF，则，可得，过点O作，交PE于，，点与点E重合，四边形OBPE为正方形，∠BCE＝∠BOE＝45°，△NQC为等腰直角三角形，则NC＝NQ＝3a，BC＝2NC＝6a，在Rt△CFN中，CF＝，证明△PQE∽△BCG，则，可得PQ＝4a，由PQ+OQ＝6 ，求值，进而可得的值． 【小问1详解】 解：如图1，延长BO交⊙O于G，连接CG， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°， ∴∠DBC+∠CBG＝90°， ∵BG为⊙O的直径， ∴∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠G＝90°， ∴∠DBC＝∠G， ∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形， ∴∠DAB＝∠G， ∴∠DAB＝∠DBC． 【小问2详解】 解：如图2，在MB上截取一点H，使AM＝MH，连接DH， ∴DM垂直平分AH， ∴DH＝AD， ∴∠DHA＝∠DAH， ∵BM＝AM+AD，BM＝MH+BH， ∴AD＝BH， ∴DH＝BH， ∴∠HDB＝∠HBD， ∴∠DHA＝∠HDB+∠HBD＝2∠HBD， 由（1）知∠DAB＝∠DBC， ∴∠DHA＝∠DAB＝∠DBC， ∴∠DBC＝2∠HBD， ∵∠DBC＝∠HBD+∠ABC， ∴∠HBD＝∠ABC，∠DBC＝2∠ABC， ∴∠DAB＝2∠ABC， ∵∠DAB＝∠ABC+∠C， ∴∠ABC＝∠C， ∴AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∵点O也在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC， ∴BN＝CN． 【小问3详解】 解：如图3，延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE， ∵∠DCF+∠CDB＝90°， ∴∠DMC＝90°， ∵∠OBD＝90°， ∴∠DMC＝∠OBD， ∴， ∴∠BGE＝∠ECF，∠CFN＝∠BON， ∴tan∠BGE＝tan∠ECF＝2， 由（2）知OA垂直平分BC， ∴∠CNF＝∠BNO＝90°，BN＝CN， ∴△CFN≌△BON（AAS）， ∴CF＝BO，ON＝FN，设CF＝BO＝r，ON＝FN＝a，则OE＝r， ∵ ， ∴OQ＝2a， ∵， ∴△QGO∽△QCF， ∴， 即， ∴， 过点O作，交PE于， ∴， ∴点与点E重合， ∴∠EOG＝90°， ∴∠BOE＝90°， ∵PB和PE是圆O的切线， ∴∠OBP＝∠OEP＝∠BOE＝90°，OB＝OE＝r， ∴四边形OBPE为正方形， ∴∠BOE＝90°，PE＝OB＝r， ∴∠BCE＝∠BOE＝45°， ∴△NQC为等腰直角三角形， ∴NC＝NQ＝3a， ∴BC＝2NC＝6a， 在Rt△CFN中，CF＝， ∵PQ⊥OQ， ∴， ∴∠PQE＝∠BCG， ∵， ∴∠PEQ＝∠BGC， ∴△PQE∽△BCG， ∴，即 ， 解得：PQ＝4a， ∵PQ+OQ＝6 ， ∴4a+2a＝6 ， 解得：a＝ ∴CF＝×＝10． 【点睛】本题考查了圆内接三角形，直径所对的圆周角为90°，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，正切，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用与熟练掌握． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点，点坐标为，轴，且,． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式． （2）点是轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数：；一次函数：；（2），，，． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式． （2）分类讨论，当AO为等腰三角形的腰与底时，求出点E的坐标即可． 【详解】（1）在Rt△OAD中， ∵ ∴ ∴ 把代入中 解得 ∴反比例函数的解析式为 把代入 解得 把和分别代入中，得 解得 ∴一次函数的解析式为． （2）如图， ①当时，有， ②当时，有，可得 ③当时，设E点的坐标为得 解得 ∴ 故点E的坐标为：，，． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的几何问题，掌握锐角三角函数的定义、待定系数法、反比例函数和一次函数的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系xOy中，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，直线AC交x轴于点C，AB＝AC，点C的坐标是（3，0）． （1）如图1，求点B坐标； （2）如图2，点D在线段AB上，点E在线段AC延长线上，连接DE交OC于点F，DF＝EF，过点E作EH⊥x轴，垂足为点H，设点F的横坐标为t，BH长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在BA的延长线上取一点K，使AK＝CE，连接CK、FK，过点D的直线交x轴于点G，交直线AC于点M，连接BM、GK，若∠BMG＝∠FKC，BM∥KF，△CKG的面积为12，求直线GK的解析式． 【答案】（1）点B（﹣3，0）；（2）d＝6＋t；（3）y＝x＋ 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可求BO=CO=3，即可求解； （2）由“AAS”可证△DFQ≌△EFH，△DQB≌△EHC可得DQ=HE，QF=FH，BQ=CH，由线段的和差关系可求解； （3）先求出MGKC，可得S△DKC=S△CKG，由面积关系可求OA=4，由锐角三角函数和全等三角形的性质分别求出点K，点G的坐标，利用待定系数法可求解． 【详解】解：（1）∵点C的坐标是（3，0）， ∴CO＝3， ∵AB＝AC，OA⊥BC， ∴BO＝CO＝3，∠BAO＝∠CAO， ∴点B（﹣3，0）； （2）如图2，过点D作DQ⊥BC于Q， ∴∠DQF＝∠EHF， 又∵∠DFQ＝∠EFH，DF＝EF， ∴△DFQ≌△EFH（AAS）， ∴DQ＝HE，QF＝FH， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ECH， 又∵∠DQB＝∠EHC＝90°，DQ＝EH， ∴△DQB≌△EHC（AAS）， ∴BQ＝CH，BD＝CE， ∴BQ＝CH＝BH﹣BC＝d﹣6， ∵CF＝3﹣t， ∴QF＝FH＝3＋t﹣（d﹣6）＝3﹣t＋d﹣6， ∴d＝6＋t； （3）如图3，过点K作KN⊥y轴于N，连接DC， ∴NKBC， ∴∠NKA＝∠ABC＝∠ACB＝∠HCE， 又∵AK＝CE，∠KNA＝∠CHE＝90°， ∴△AKN≌△ECH（AAS）， ∴CH＝NK，AN＝HE， ∵BQ＝CH＝d﹣6，d＝6＋t， ∴BQ＝CH＝NK＝t＝OF， 又∵NKBC， ∴四边形KNOF是平行四边形， 又∵∠NOF＝90°， ∴四边形KNOF是矩形， ∴∠KFO＝90°， ∵BMKF， ∴∠KFC＝∠MBO＝90°， 又∵∠BMG＝∠FKC， ∴∠MGB＝∠KCF， ∴MGKC， ∴， 又∵BD＝CE＝AK， ∴AB＝DK， ∴BC•OA＝12， ∴OA＝4， ∴AB＝＝＝5＝AC＝DK， ∵tan∠ACB＝， ∴， ∴BM＝8， ∵AOMB， ∴∠BAO＝∠MBA，∠CAO＝∠BMA， 又∵∠BAO＝∠CAO， ∴∠MBA＝∠BMA， ∴AM＝AB＝AC， ∵KCMG， ∴∠AMD＝∠ACK， 又∵∠MAD＝∠KAC， ∴△AMD≌△ACK（ASA）， ∴AD＝AK＝DB＝， ∴BK＝， ∵DQAOKF， ∴， ∴BQ＝OQ＝OF＝， ∴BF＝ ∴KF＝＝＝6， ∴点K（，6）， ∵AN＝NO﹣AO＝2， ∴DQ＝HE＝2， ∵tan∠MGB＝， ∴， ∴GQ＝， ∴OG＝1， ∴点G（﹣1，0）， 设直线GK的解析式为y＝kx＋b， ， ∴， ∴直线GK的解析式为y＝x＋． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法求解析式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $