22.3.2 相似三角形的判定 第2课时 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，核心内容为判定定理2（两边成比例且夹角相等）和定理3（三边对应成比例）。课堂导入通过回顾定义及两角相等的判定方法，结合点E在AC上移动的情境，引导学生观察边的比例关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以情境探索激发数学眼光，通过点E移动观察比例关系培养几何直观与创新意识。合作探究中严格的定理证明过程，强化数学思维的推理能力，例题与符号语言规范表达则提升数学语言的模型意识。学生能在探究中发展推理与应用能力，教师可借助结构化内容高效开展教学。

华师版 九年级 数学（上） 22.3.2 相似三角形的判定 1 1.掌握相似三角形的判定定理1.（重点） 2.经历相似三角形的判定定理1的探究过程.（难点） 情景导入 到目前为止，我们学会了哪些判定三角形相似的方法？ （1）根据定义；（2）两角分别相等的两个三角形相似. 观察右图，如果有一点 E 在边 AC 上移动，那么点 E 在什么位置时能使△ADE 与△ABC 相似呢？ 图中 △ADE 与△ABC 的一组边 AD 和 AB 的长度的比值为 .将点 E 由点 A 开始在 AC 上移动，可以发现当 AE = AC 时，△ADE 与△ABC 似乎相似. 此时 = ____. A B C D 知识模块一　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 自学互研 1.观察右图，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使入△ADE与△ABC相似呢? 探索 A C B D A C B D 2.图中△ADE与△ABC的一组边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC似乎相似，此时DE∶BC＝______． 2∶3 E 下面我们来证明上述猜想. 已知：如图，在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A =∠A1， . 求证：△ABC∽△A1B1C1. A1 B1 C1 A B C 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 合 探 作 究 下面我们来证明上述猜想． 已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1， ＝. 求证：△ABC∽△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC， A B C A1 B1 C1 ∴＝ . ∵＝ ，AD＝A1B1， ∴AE＝A1C1. 又∵∠A＝∠A1，AD＝A1B1， ∴△ADE≌△A1B1C1， ∴△ABC∽△A1B1C1. D E 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 相似三角形的判定定理2 C A B A′ B′ C′ 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 总结归纳 这样我们又有了一种判定两个三角形相似的方法，即 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 例1 如图，已知AE=54，BE=45，CE=30，FE=36.求证：△AEB ∽△FEC . 证明：∵ = = 1.5, = = 1.5, ∴ = . 又∵∠AEB＝∠FEC， ∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）. 54 30 36 45 E A F C B 在下图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数. 画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？你同伴的结论和你的一样吗？ A B C A1 B1 C1 两个三角形对应角均相等，两个三角形相似. 如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？ 例1 如图,已知 AE= 54,BE= 45,CE=30,FE=36.求证:△AEB∽△FEC. 证明：∵＝＝1.5，＝＝1.5， ∴＝. 又∵∠AEB＝∠FEC， ∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 仿例：如图，已知AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵AB·AE＝AD·AC， ∴＝. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE. ∴△ABC∽△ADE. 例2 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的三等分点，DE∥BC，DE = 5. 求 BC 的长. A B C E D 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ( 平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似 )， ∴ ∴BC =3DE =15. 知识模块二　三边对应成比例的两个三角形 相似 自学互研 如果两个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形相似吗？ 探索 总结归纳 我们可以发现这两个三角形相似.即有如下定理: 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 18 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理3 C A B A′ B′ C′ 符号语言： ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 例3 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm.求证;△ABC∽△A′B′C′. 证明：∵ = = , = = , = =. ∴ ∴△ABC ∽△ABC ( 三边成比例的两个三角形相似 ). 课堂小结 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 1．能判定△ABC∽△DEF的条件是(　　) D 2．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1、、，乙三角形木框的三边长分别为5、、，则甲、乙两个三角形木框(　　) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 A 2.在第1题的小题(3)中，若已知BC=a，∠B=α，你能求出B'C'的长及∠B' 、∠ C'的大小吗?写出你的计算过程 解：∵△ABC∽ △ABC， ∴＝ ＝2， 又∵BC ＝a, ∴BC ＝2a, ∠B =∠B=α， ∠ C =180°－40°－α =140 °－α. 3.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形周长的比是多少? 解:设较大三角形的另外两边长分别为x，y(x>y)， 则 = ， = ， 所以39＋36＋15 =90，， 所以x=36， y=15， 所以较大三角形的周长是90，较小三角形与较大三角形周长的比是 . 4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A、B、C、D、E、F都是格点，求证：△ABC∽△DEF. 5.在图中，点E在边AC上移动，除了教科书中提出的△ADE外，你还能找到另外的△ADE与原三角形相似吗?若能，请求出此时AE的长. A C B D 解：能. 当∠ADE=∠C时,△ADE∽△ACB, 此时＝ ， E ∵∠A =∠A， ∴ △ADE∽ △ACB. ∴ AE ＝ . 26 随堂练习 6.如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形，并求出它们的相似比. A D B C O 解:△AOB, △BOC, △DOC, △AOD,△ABC, △ADC, △DAB,△BCD都两两相似. 同类三角形（小三角形之间、大三角形之间）的相似比为 1:1；小三角形与大三角形的相似比为 . 定理2 相似三角形 的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3 三边对应成比例的两个三角形相似. A.＝ B.＝,∠A＝∠F C.＝，∠B＝∠E D.＝，∠A＝∠D 证明：∵AB＝4，AC＝，BC＝， DE＝8，DF＝2，EF＝2， ∴＝，＝，＝， ∴＝＝， ∴△ABC∽△DEF. $