3.1.2 函数的单调性（第二课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性第二课时，核心知识点为平均变化率的概念、单调性与平均变化率的关系及几何意义。课堂导入从直线斜率复习切入，通过两点连线斜率自然过渡到函数差商，搭建从几何直观到代数抽象的学习支架。 其亮点在于以“尝试与发现”引导学生观察函数图像两点连线斜率符号与单调性的关系，培养数学眼光。通过一次函数、反比例函数等实例的严谨证明，发展逻辑推理的数学思维。结合倒水容器等现实情境，用数学语言描述变化规律，帮助学生深化理解，也为教师提供结构清晰、重点突出的教学资源。

人教B版(2019)必修第一册 3.1.2 函数的单调性 （第二课时） 第三章 函数 1 学习目标 掌握函数的平均变化率,体现数学抽象能力（重点） 理解函数的单调性与平均变化率的关系,体现逻辑推理能力（重难点） 理解平均变化率的几何意义,体现逻辑推理能力（重点） 2 新课导入 两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立. 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，当x1≠x2 时，称 为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在. 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. 3 新课学习 若记Δx=x2-x1，相应的Δy=y2-y1，则当Δx≠0时，斜率可记为 如图所示，直线AB的斜率即为Rt△ACB 中BC与AC的比，另外，图中，直线 AB的斜率大于零，而直线AD的斜率小于零. 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在. 下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性. 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在. 4 新课学习 尝试与发现：如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律. 可以看出，函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于 0. 5 新课学习 单调性的充要条件 6 新课学习 平均变化率的概念 7 新课学习 举个例子： 因此y=-2x在R上是减函数. 8 新课学习 设x1≠x2，那么 所以函数(-∞,0)在上是减函数. 同理，函数(0,+∞)在上也是减函数. 9 新课学习 例4：判断一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性． 设x1≠x2，那么 因此，一次函数的单调性取决于k的符号：当k>0时，一次函数在R上是增函数；当k<0时，一次函数在R上是减函数． 10 新课学习 思考一下：通过例4，你可以得到什么结论？ 例4说明，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上任意两点确定的直线斜率均为k，这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线. 特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质. 11 新课学习 事实上，如果∆y=k∆x，设x=0时函数值为y0，则 思考一下：通过例4，你可以得到什么结论？ 即y=kx+y0，因此一定是一次函数. y-y0=k(x-0)， 正因为如此，一次函数也经常被称为线性函数. 12 新课学习 举个例子： 如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数. 当容器是如图(1)所示的圆柱时，在固定的∆t时间内，∆y应该是常数，因此函数的图象是如图(2)所示的一条线段. 13 新课学习 举个例子： 当容器是如图(1)所示的圆台时，由容器的形状可知，在固定的∆t时间内，随着t的增加，∆y应该越大，因此函数的图象如图(2)所示. 14 新课学习 例5：证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数，在[-1,+∞)上是增函数，并求这个函数的最值. 设x1≠x2，则 因此： 15 新课学习 思考一下：根据上述的方法求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性？ 16 课堂练习 C 17 课堂练习 B 18 课堂练习 19 课堂练习 B 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 25 课堂练习 26 课堂练习 27 课堂总结 1.平均变化率的概念 2.单调性的充要条件 28 谢 谢 观 看 29 $