3.1.3 第1课时 函数的奇偶性-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦函数的奇偶性核心知识点，从生活对称现象引入，系统梳理奇函数（f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称）和偶函数（f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）的定义。强调定义域关于原点对称的前提，通过表格对比、思考辨析和例题构建从概念理解到判断应用的完整学习支架。 资料特色在于融合数学抽象与直观想象，以雪花晶体等对称实例引导学生用数学眼光观察现实，通过定义辨析题（如“存在x满足f(-x)=f(x)是否为偶函数”）培养逻辑推理。课中思考辨析和跟进训练助力教师互动教学，课后分层作业覆盖基础与提升，帮助学生查漏补缺，巩固知识应用能力。

3.1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 学习任务 1．结合具体函数，理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象) 2．了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系．(直观想象) 3．掌握判断和证明函数奇偶性的方法．(逻辑推理) 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… 问题　(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？ (2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 知识点1　奇函数、偶函数的定义 奇偶性 偶函数 奇函数 前提 设函数y＝f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D 条件 f (－x)＝f (x) f (－x)＝－f (x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 (1)定义域关于原点对称时，函数f (x)＝0既是奇函数又是偶函数． (2)若奇函数在原点有定义，则f (0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． 1．具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ [提示]　定义域关于原点对称． 知识点2　奇函数、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数． 由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(－∞，0]或[0，＋∞)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形． 2．若f (x)为奇函数，且点(x，f (x))在其图象上，则哪一个点一定在其图象上？若f (x)为偶函数呢？ [提示]　若f (x)是奇函数，点(x，f (x))在其图象上，则点(－x，f (－x))，即点(－x，－f (x))也在其图象上．若f (x)是偶函数，点(x，f (x))在其图象上，则点(－x，f (－x))，即点(－x，f (x))也在其图象上． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇函数的图象一定过原点． (　　) (2)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，函数f (x)是偶函数． (　　) (3)若对于定义域内的任意一个x，都有f (x)＋f (－x)＝0，则函数f (x)是奇函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ [提示]　(1)不一定，如函数f (x)＝． (2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立． (3)若f (x)＋f (－x)＝0，则f (－x)＝－f (x)． 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图象都不具有奇偶性．] 3．若f (x)是定义在R上的奇函数，f (3)＝2，则f (－3)＝________，f (0)＝________． －2　0　[由奇函数定义及性质可知， f (－3)＝－f (3)＝－2，f (0)＝0．] 类型1　函数奇偶性的判断 【例1】　【链接教材P111例1】 (1)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 (2)函数f (x)＝－2x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．坐标原点对称 C．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称 (3)判断下列函数的奇偶性： ①f (x)＝|2x－1|－|2x＋1|； ②f (x)＝； ③f (x)＝ (1)B　(2)B　[(1)f (x)＝的定义域为R，关于原点对称． 又因为f (－x)＝＝＝f (x)，即f (－x)＝f (x)， 所以f (x)为偶函数． (2)函数的定义域A＝{x|x≠0}， 所以x∈A时，－x∈A，且f (－x)＝－＋2x＝－＝－f (x)， 所以f (x)为奇函数，故图象关于坐标原点对称．] (3)[解]　①因为x∈R，f (－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数． ②函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数． ③(法一)作出函数图象如图， 关于原点对称，所以函数是奇函数． (法二)当x>0时，f (x)＝1－x2， 此时－x<0， 所以f (－x)＝(－x)2－1＝x2－1， 所以f (－x)＝－f (x)； 当x<0时，f (x)＝x2－1，此时－x>0，f (－x)＝＝1－x2， 所以f (－x)＝－f (x)； 当x＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0． 综上，对x∈R，总有f (－x)＝－f (x)，所以f (x)为R上的奇函数． 【教材原题P111例1】 例1　判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f (x)＝x＋x3＋x5； (2)f (x)＝x2＋1； (3)f (x)＝x＋1； (4)f (x)＝x2，x∈[－1，3]． [解]　(1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R． 又因为 f (－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f (x)， 所以函数f (x)＝x＋x3＋x5是奇函数． (2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R． 又因为f (－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f (x)， 所以函数f (x)＝x2＋1是偶函数． (3)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R． 又因为f (－1)＝0，f (1)＝2，所以 f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)， 因此函数f (x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数(也可说成f (x)是非奇非偶函数)． (4)因为函数的定义域为[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3∉[－1，3]，所以函数f (x)＝x2，x∈[－1，3]是非奇非偶函数． 　判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图象法： [跟进训练] 1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x)＝x3；②f (x)＝|x|＋1；③f (x)＝； ④f (x)＝x＋；⑤f (x)＝x2，x∈[－1，2]． ②③　[对于①，x∈R，f (－x)＝－x3＝－f (x)，则为奇函数； 对于②，x∈R，f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，则为偶函数； 对于③，定义域为{x|x≠0}， 关于原点对称，f (－x)＝＝＝f (x)，则为偶函数； 对于④，定义域为{x|x≠0}， 关于原点对称，f (－x)＝－x－＝－f (x)， 则为奇函数； 对于⑤，定义域为[－1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．] 类型2　奇、偶函数图象的应用 【例2】　已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f (x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f (x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合． [解]　(1)由题意作出函数图象如图． (2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． [母题探究] (变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ [解]　(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)． (3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)． 　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题． [跟进训练] 2．如图是函数f (x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据． [解]　因为f (x)＝， 所以f (x)的定义域为R．又对任意x∈R，都有f (－x)＝＝＝f (x)， 所以f (x)为偶函数， 所以f (x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示． 类型3　利用奇偶性求值 【例3】　(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________． (2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________． (1)　0　(2)7　　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝． 又函数f (x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0． (2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， 所以f (－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f (－3)＝－3，所以g(3)＝5．又f (3)＝g(3)＋2， 所以f (3)＝5＋2＝7．] 　利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f (x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数即可求解． [跟进训练] 3．(1)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，求实数a的值． (2)已知定义域为R的函数g(x)＝f (3x)＋x2为奇函数，且f (3)＝3，求f (－3)． [解]　(1)(法一)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4． (法二)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4． (法三)根据二次函数的奇偶性可知，形如f (x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4． (2)∵函数g(x)＝f (3x)＋x2是定义域为R的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)， ∴g(－1)＝－g(1)＝－(f (3)＋1)＝－4， ∴g(－1)＝f (－3)＋1＝－4， ∴f (－3)＝－5． 1．(教材P115练习AT2(4)改编)函数f (x)＝，x∈(0，1)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 C　[f (x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．] 2．函数f (x)＝的图象关于(　　) A．x轴对称　　　 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称 B　[由得f (x)的定义域为[－，0)∪(0，]，关于原点对称． 又f (－x)＝＝＝－＝－f (x)， ∴f (x)是奇函数， ∴f (x)＝的图象关于原点对称．] 3．已知 f (x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f (－5)＝17，则f (5)＝________． －13　[由题意，设g(x)＝f (x)－2＝ax7－bx5＋cx3，又g(－x)＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数， 可得g(－5)＋g(5)＝0， 即f (－5)＋f (5)＝4， 又f (－5)＝17，则f (5)＝－13．] 4．已知函数f (x)＝是奇函数，则m＝________． 2　[x<0时，－x>0，f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x． 因为f (x)为奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)＝－x2－2x， 所以f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 即m＝2．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你对函数奇偶性的定义是怎样理解的？ [提示]　(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”． (2)奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称． 2．根据奇、偶函数的定义，你认为它们的图象有什么特点？ [提示]　偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．判断或证明函数奇偶性有哪些常用方法？ [提示]　(1)定义法．(2)图象法． 课时分层作业(二十二)　函数的奇偶性 一、选择题 1．已知f (x)是奇函数，且f (a)＝－2，则f (－a)＝(　　) A．－2 B．2　　　 C．±2 D．0 B　[f (－a)＝－f (a)＝2．] 2．下面为偶函数的是(　　) A．f (x)＝x2(x≥0) B．f (x)＝(x－1) C．f (x)＝0 D．f (x)＝|x|(x≤0) C　[对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数； 又选项B中f (－1)＝0，而f (1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数； 对于选项C，无论x取何值都满足f (－x)＝f (x)＝0．] 3．设f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则f (a＋b)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 B　[因为f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数， 所以解得 所以f (x)＝－x3＋x，a＋b＝1， 则f (a＋b)＝f (1)＝－1＋1＝0．故选B．] 4．下列函数为奇函数的是(　　) A．f (x)＝－|x| B．f (x)＝2－x C．f (x)＝ D．f (x)＝－x2＋8 C　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C．] 5．已知f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f (1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 C　[∵f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1， ∴f (－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1． 又f (x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f (x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1， ∴f (1)＋g(1)＝1．] 二、填空题 6．若函数f (x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是_______． 2　[∵f (x)为偶函数，故m－2＝0， ∴m＝2．] 7．设f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________． －5　[由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0， ∴f (－2)＋f (0)＝－5．] 8．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f (3)＝0，则xf (x)<0的解集为________． {x|x<－3或x>3}　[如图，由题意可画出函数f (x)的函数图象． 当x>0，f (x)<0时，x>3； 当x<0，f (x)>0时，x<－3． 综上，x>3或x<－3．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝x2－2|x|－3． (1)求证：函数f (x)是偶函数； (2)画出函数f (x)的图象，并由图象直接写出函数f (x)的值域． [解]　(1)证明：因为f (x)＝x2－2|x|－3， 所以f (－x)＝(－x)2－2|－x|－3＝x2－2|x|－3＝f (x)， 所以f (－x)＝f (x)， 所以f (x)是偶函数． (2)f (x)的图象如下： 所以f (x)的值域为[－4，＋∞)． 10．已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝(　　) A．21 B．－21 C．26 D．－26 B　[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f (－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13．又g(x)为奇函数， 所以g(3)＝－g(－3)＝－13， 于是f (3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．] 11．(多选)勒热纳狄利克雷是德国著名的数学家，曾受业于高斯，他是解析数论的奠基者，也是现代函数概念的提出者，在数学、物理等诸多领域成就显著．以他名字命名的狄利克雷函数的解析式为D(x)＝下面关于函数D(x)的论断中不正确的是(　　) A．函数D(x)是奇函数 B．函数D(D(x))是偶函数 C．∀x，y∈R，D(x＋y)＝D(x)＋D(y) D．∃x∈R，D(D(x))＝0 ACD　[A：函数D(x)的定义域为R，关于原点对称，若x为有理数，则－x也为有理数，有D(x)＝D(－x)＝1；若x为无理数，则－x也为无理数，有D(x)＝D(－x)＝0，所以函数D(x)是R上的偶函数，故A错误； B：当x为有理数时，D(x)＝1，则D(D(x))＝D(1)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，则D(D(x))＝D(0)＝1，所以当∀x∈R，均有D(D(x))＝1，则函数D(D(x))为偶函数，故B正确； C：当x＝y＝1时，D(x＋y)＝D(2)＝1，D(x)＝D(y)＝D(1)＝1，D(x)＋D(y)＝2，则D(x＋y)≠D(x)＋D(y)，故C错误； D：由选项B的分析可知，当∀x∈R，均有D(D(x))＝1，故D错误．故选ACD．] 12．已知定义在非零实数上的奇函数f (x)，满足f (x)＋2f＝3x，则f (1)等于________． －3　[因为f (x)＋2f＝3x， 所以f (1)＋2f (－1)＝3， 因为f (x)为定义在非零实数上的奇函数， 所以－f (1)＝f (－1)， 即f (1)－2f (1)＝3， 所以f (1)＝－3．] 13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝2x－c，则c＝________，f (－2)＝________． 1　－3　[函数f (x)是定义在R上的奇函数， 且x≥0时，f (x)＝2x－c， 所以f (0)＝1－c＝0，所以c＝1，又当x≥0时，f (x)＝2x－1，所以f (2)＝3，又由函数f (x)为奇函数，则f (－2)＝－f (2)＝－3．] 14．已知函数f (x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R，a为实数，判断f (x)的奇偶性． [解]　当a＝0时，f (x)＝x2＋|x|＋1， 此时f (－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f (x)，故函数f (x)为偶函数． 当a≠0时，因为f (a)＝a2＋1，f (－a)＝a2＋2|a|＋1， 显然，f (－a)≠±f (a)，所以此函数既不是奇函数也不是偶函数． 综上，当a＝0时，f (x)为偶函数；当a≠0时，f (x)既不是奇函数也不是偶函数． 15．已知函数y＝f (x)，x∈R，且当x≥0时，f (x)＝2x3＋2x－1． (1)若函数y＝f (x)是偶函数，求f (－2)． (2)y＝f (x)是否可能是奇函数？若可能，求f (x)的表达式；若不可能，说明理由． [解]　(1)若y＝f (x)是偶函数， 应有f (－2)＝f (2)．而f (2)＝2×23＋22－1＝19， 因此f (－2)＝19． (2)若y＝f (x)是奇函数，当x<0时，应有 f (x)＝－f (－x)＝－[2(－x)3＋2－x－1]＝2x3－2－x＋1． 此外，当x＝0时， f (x)＝2×03＋20－1＝0＝－f (－x)． 因此，y＝f (x)可能是奇函数，此时 f (x)＝ 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $