2026-2027学年高一上学期2.1等式性质与不等式性质新授课 导学案

该高中数学导学案聚焦等式与不等式性质，涵盖不等式性质、实数比较大小方法及绝对值不等式等核心知识点。通过概念填空与判断正误夯实基础，衔接等式性质学习脉络，搭建从基础概念到应用的学习支架。 资料以分层训练为特色，设单选、多选等多样题型并对应考点，助力学生系统掌握。通过作差作商法培养数学思维中的推理能力，结合矩形仓库面积等实际问题训练数学语言表达现实世界的能力，提升学习效率与核心素养。

2.1等式性质与不等式性质 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】概念填空 1．不等式的性质： 性质1  对称性：______； 性质2  传递性：，______； 性质3  可加性：； 性质4  可乘性：，______，，______； 性质5  同向可加性：，______； 性质6  同向同正可乘性：，______； 性质7  同正可乘方性：（，）. 2．两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （2）作商法 3．含有绝对值的不等式基本性质 （1）若___________ ; （2）若____________; （3） 【2】概念的巩固 判断正误． （1）若，则一定成立．( ) （2）若，则．( ) （3）若，则．( ) ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 用不等式表示不等关系 1, 15 作差法比较代数式的大小 2，16 作商法比较代数式的大小 3，17 有已知条件判断所给不等式是否正确 6,7,11 由不等式的性质比较数（式）的大小 4,5,8,9,10，12,18,19 由不等式的性质证明不等式 14 绝对值不等式 13， ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 二、多选题 9．已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 10．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设，，则，的大小关系为_______. 13．设，不等式的解集为__________． 14．若实数，满足，，则的取值范围是________． 四、解答题 15．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围. 16．（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 17．已知，试比较和的大小. 18．若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 19．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式性质与不等式性质 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】概念填空 1．不等式的性质： 性质1  对称性：______； 性质2  传递性：，______； 性质3  可加性：； 性质4  可乘性：，______，，______； 性质5  同向可加性：，______； 性质6  同向同正可乘性：，______； 性质7  同正可乘方性：（，）. 【答案】 2．两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （2）作商法 【答案】；；；；； 3．含有绝对值的不等式基本性质 （1）若___________ ; （2）若____________; （3） 【答案】 或 【2】概念的巩固 判断正误． （1）若，则一定成立．( ) （2）若，则．( ) （3）若，则．( ) 【答案】 错误 正确 错误 【详解】（1）当时，若，则，故该结论错误； （2）∵，∴，∴，故该结论正确； （3）当时，满足，但不满足，故该结论错误． ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 用不等式表示不等关系 1, 15 作差法比较代数式的大小 2，16 作商法比较代数式的大小 3，17 有已知条件判断所给不等式是否正确 6,7,11 由不等式的性质比较数（式）的大小 4,5,8,9,10，12,18,19 由不等式的性质证明不等式 14 绝对值不等式 13， ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 2．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 6．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 7．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 8．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 二、多选题 9．已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 10．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用同向不等式的可加性等性质进行判断即可. 【详解】因为，所以，即，故A正确； 因为，所以，又因为，所以，故B错误； 因为，所以，又因为，所以，故C正确； 因为，，所以，故D正确； 故选：ACD 11．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质可判断A,C正确；通过举反例说明B,D错误即得. 【详解】对于A，因，，利用不等式的同向可加性，则有，故A正确； 对于B，不妨取，但，故B错误； 对于C，因，，故由不等式的同向可加性，可得，故C正确； 对于D，因，不妨取，显然，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．设，，则，的大小关系为_______. 【答案】 【解析】先分别将平方，再进行大小比较即可． 【详解】，两式的两边分别平方， 可得，， 显然. 所以. 故答案为： 13．设，不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】不等式可变形为，即，解得. 所以不等式的解集为. 14．若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】. 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为：. 四、解答题 15．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据题意列出不等式组即可求解； （2）根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】（1）由题可得， 则矩形仓库的另一条边长为， 所以仓库的面积， 故该题中的不等关系可表示为. （2）因为矩形的长、宽都不能超过14m， 所以，解得. 16．（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 17．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 18．若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】，理由见解析. 【分析】利用不等式的基本性质，直接判断两式的大小关系. 【详解】，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 19．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $