专题2.1 等式性质与不等式性质【知识解读】-2026-2027学年高中必修一数学《知识解读•题型专练》(人教版2019版）

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先通过实际问题建立不等关系，再系统梳理作差法、作商法比较大小的方法，最后结合等式性质延伸至不等式性质的应用，形成从具体到抽象的学习支架。 资料以题型归纳为特色，如投资方案、矩形面积等实例培养用数学眼光观察现实世界的能力，作差作商推理过程强化数学思维，规范证明与表示提升数学语言表达。课中例题与变式辅助教师教学，课后练习助力学生查漏补缺。

专题2.1 等式性质与不等式性质【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·用不等式表示不等关系】 1 【题型 2·作差法比较代数式的大小】 2 【题型3·作商法比较代数式的大小】 3 【题型 4·由已知条件判断所给不等式是否正确】 4 【题型 5·由不等式的性质证明不等式】 4 【课后练习】 5 知识点1 不等关系 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型 1·用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 知识点2 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型 2·作差法比较代数式的大小】 【例2】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【变式2-1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【变式2-2】（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【变式2-3】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【题型3·作商法比较代数式的大小】 【例3】21-22高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 【变式3-1】（专题10不等式基本性质-2020年初升高数学无忧衔接（沪教版））设，且，比较：与的大小 【变式3-2】．（20-21高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 知识点3 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型 4·由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例4】（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【变式4-1】（24-25高二下·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·广西·期中）已知，b，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型 5·由不等式的性质证明不等式】 【例5】（011题组8利用不等式性质证明不等式（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【变式5-1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【变式5-2】（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【变式5-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【题型 6·由不等式的性质求参数的取值范围】 【典例6】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________ 【变式6-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则的取值范围为______． 【变式6-2】（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是___________. 【变式6-3】（25-26高一上·四川·阶段检测）已知，，则的取值范围是_________. 课后练习 【课后练习】 1．（2025高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 4．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A．B． C． D． 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 6．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广西柳州·期末）（多选）若，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 10．（23-24高一上·福建宁德·阶段检测）设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________ 11．（24-25高一上·云南·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·用不等式表示不等关系】 1 【题型 2·作差法比较代数式的大小】 3 【题型3·作商法比较代数式的大小】 4 【题型 4·由已知条件判断所给不等式是否正确】 6 【题型 5·由不等式的性质证明不等式】 8 【题型 6·由不等式的性质求参数取值范围】 9 【课后练习】 11 知识点1 不等关系 1．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型 1·用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 【变式1-1】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 知识点2 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型 2·作差法比较代数式的大小】 【例2】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差后配方来判断符号，即可得大小关系； （2）作差后通分，由题目条件判断符号，即可证明大小关系. 【详解】（1）， 所以. （2）证明： 因为，，， 所以，， 所以原式大于0， 即. 【变式2-1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 【变式2-2】（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 【变式2-3】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 【题型3·作商法比较代数式的大小】 【例3】21-22高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【变式3-1】（专题10不等式基本性质-2020年初升高数学无忧衔接（沪教版））设，且，比较：与的大小 【答案】. 【解析】用作商法，结合已知条件，利用不等式性质即可判断大小. 【详解】 ，， ，， ， 故 【点睛】本题考查利用作商法比较代数式的大小，属基础题. 【变式3-2】．（20-21高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 知识点3 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型 4·由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例4】（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·浙江温州·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 【变式4-2】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】已知，所以，故A错误；，故B错误，D正确； 由于，，故C错误； 故选：D 【变式4-3】（24-25高一上·广西·期中）已知，b，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质即可求解AC，举反例即可求解BD. 【详解】若,则，故，A错误， 若中有一个为0，则或无意义，故B错误； 对于C,由于且，故，C正确 对于D，取，，则,故D错误. 故选：C. 【题型 5·由不等式的性质证明不等式】 【例5】（011题组8利用不等式性质证明不等式（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 【变式5-1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1) 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. (2) 由，而， 所以，即，得证. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【变式5-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 【题型 6·由不等式的性质求参数取值范围】 【典例6】（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由不等式性质计算即可. 【详解】因为， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一上·四川·阶段检测）已知，，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用不等式的性质先求出，再得到即可求解. 【详解】因为，，所以； 所以，所以的取值范围是 故答案为： 课后练习 【课后练习】 1．（2025高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【分析】通过作差法即可求解. 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 4．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 6．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 7．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 8．（25-26高一上·广西柳州·期末）（多选）若，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质对4个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，根据不等式的性质，当，有，故A正确. 对于B，当时，，此时，故B错误. 对于C，，， ，故C正确. 对于D， ，，，故D错误. 故选：AC 9．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 10．（23-24高一上·福建宁德·阶段检测）设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________ 【答案】 【解析】利用不等式性质比较大小即得结果. 【详解】 ，，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用不等式性质比较大小，属于基础题. 11．（24-25高一上·云南·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】证明见解析 【分析】先利用不等式的性质证得，再利用作差法证明即可. 【详解】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $