22.3.1 相似三角形 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定与性质，通过泰勒斯测金字塔高的情景导入，连接相似图形旧知，以中位线定理为例引入探究，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，情景导入培养数学眼光，演绎推理证明发展数学思维，例题应用强化数学语言。如通过作辅助线证明判定定理，例2用相似比求BC长，助力学生逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学流程与多样化活动设计。

第22章　图形的相似 22.3.1 相似三角形 1.掌握相似三角形的判定定理1.（重点） 2.经历相似三角形的判定定理1的探究过程.（难点） 情景导入 这些情境中都有一个共同点——都涉及到了三角形的放大或缩小．这样的三角形之间有什么关系呢？ 金字塔的测量(泰勒斯测金字塔高) (1)判定两个三角形相似的条件：对应边成比例，对应角相等； (2)两三角形相似又为解题提供了条件. 归纳1： 归纳2： (1)相似比的值与两个三角形的前后顺序有关． (2)相似比为1的两个相似三角形为全等三角形．反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形． 全等三角形是相似三角形的特例 知识模块一　相似三角形的有关概念及性质 自学互研 1．前面我们学习过，什么是相似图形？它有什么性质？两个多边形相似需要满足什么条件？ 答：形状相同，大小不一定相同． 对应角相等，对应边成比例． 如图，DE为△ABC 的中位线，△ADE和△ABC是相似三角形吗? A B C E D 思路点拨：根据中位线定理，有DE//BC，DE=BC. 由此可知 ∠ADE = ∠ABC，∠AED =∠ACB，∠A =∠A； =. 即△ADE和△ABC的三角对应相等、三条边对应成比例. 因此△ADE和△ABC是相似三角形，相似比k=. 如果只有DE//BC这个条件，是否同样也能得到△ADE和△ABC相似的结论呢? A B C E D 思路点拨：显然∠ADE = ∠ABC，∠AED =∠ACB，∠A =∠A. 又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得 =通过度量，还可以发现， 因而有△ADE∽△ABC. 我们可以用演绎推理证明这一结论. 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形. 相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 2．什么是相似三角形？相似三角形具备相似多边形的性质吗？ 已知：如图，DE//BC，并分别交AB、AC于点D、E. 求证：△ADE∽△ABC. A B C E D A B C E D ∴ = ( 平行线分线段成比例 )， ∴ = =. ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形 DFCE 是平行四边形， ∴DE = FC. ∴ . 又∵∠ADE =∠B，∠AED =∠C，∠A =∠A， ∴△ADE∽△ABC ( 相似三角形的定义 ). 证明：∵DE // BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C， (平行线分线段成比例)， 过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 F， F 如图，DE ∥ BC，△AED 与△ABC 是否还是相似的？请说明理由. A B C E D 仍然相似. 理由如下：如图，在AB上截取AF=AE，过点F作FG//DE交AC于点G， F G ∵FG//DE ∴∠AFG=∠E，∠AGF=∠D， 又 AF=AE， ∴△AFG≌ △AED, 又∵△AFG∽△ABC, ∴ △AED∽△ABC, A B C A' B' C' 如图所示的两个三角形中， ∠A = ∠A'， ∠B = ∠B'， ∠C = ∠C' . = = , A B C A' B' C' 此时△ABC 与△A'B'C' 相似，记作 通常把对应顶点写在对应位置上. 如图所示的两个三角形中， △ABC ∽ △A'B'C' 读作： △ABC 相似于 △A'B'C' . 平行于三角形一边的直线，和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交所构成的三角形与原三角形相似. 由此，可以得到下面常用的结论： 问题：如图，在△ABC中，D为边AB上的任一点，作DE∥BC，交边AC于点E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似． 自 探 主 究 已知：如图，DE∥BC，并分别交AB、AC 于点 D、E. 求证：△ADE ∽ △ABC . 证明 ∵ DE∥BC ， A B C D E 合 探 作 究 ∴ ∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C， = (平行线分线段成比例)， 用演绎推理来证明这个结论： A B C A' B' C' 例1 如图，在Rt△ABC和Rt△A' B' C' 中，∠C=∠C’都是直角，∠A=∠A' .求证：△ABC∽△A' B' C' . 证明： ∵∠C=∠C' =90°， ∠A=∠A' ， ∴△ABC∽△A' B' C' . （两角分别相等的两个三角形相似） 此例告诉我们，两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似. 例2 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的三等分点，DE∥BC，DE = 5. 求 BC 的长. A B C E D 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ( 平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似 )， ∴ ∴BC =3DE =15. 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 总结归纳 1．命题正确的是(　　) A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．以上都不对 C 2．如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(　　) A．28° B．32° C．42° D．52° C 3.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形周长的比是多少? 解:设较大三角形的另外两边长分别为x，y(x>y)， 则 = ， = ， 所以39＋36＋15 =90，， 所以x=36， y=15， 所以较大三角形的周长是90，较小三角形与较大三角形周长的比是 . 4．如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F. (1)求证：△AOB≌△DOC； （1）证明：∵OA＝OD，∠ABO＝∠DCO， ∠AOB＝∠DOC， ∴△AOB≌△DOC(AAS)． (2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长． (2)解：由题知，BE＝BC＋CE＝4. ∵△AOB≌△DOC，∴CD＝AB＝2. ∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD， 随堂练习 5如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形，并求出它们的相似比. A D B C O 解:△AOB, △BOC, △DOC, △AOD,△ABC, △ADC, △DAB,△BCD都两两相似. 同类三角形（小三角形之间、大三角形之间）的相似比为 1:1；小三角形与大三角形的相似比为 . 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边的比等于相似比； 相似三角形 当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似； 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. ∴＝，∴＝，∴EF＝. $