22.3.4 相似三角形的应用第2课时课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形应用，核心内容为等积式与比例式的证明及三角形重心性质。通过情景导入明确比例式与等积式的转化关系及几何意义，搭建从相似三角形性质到实际应用的学习支架。 其亮点在于以范例、仿例及合作探究为载体，通过证明CD²=AD·BD等实例培养推理能力，结合重心分中线1:3的探究发展模型意识。总结归纳清晰，随堂练习巩固，助力学生提升逻辑思维，教师可高效开展教学。

华师版 九年级 数学（上） 第22章　图形的相似 22.3.4 相似三角形的应用 第2课时 等积式、比例式的证明与应用 1 情景导入 等积式与比例式的关系： 比例式：a∶b＝c∶d⇔等积式：ad＝bc 交叉相乘：＝⇔ad＝bc 几何意义：比例式常出现在相似三角形、平行线分线段成比例中． 等积式常与面积、勾股定理等相关． 基本形式：1.线段比例式：＝. 2．乘积形式：AB·CD＝EF·GH. 知识模块一　证明比例式或等积式 自学互研 例8 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高.求证:CD2=AD·BD.你还能找出其他类似的结论吗? A B C D 利用相似三角形，可以证明几条线段之间的乘积关系. A B C D 证明 ∵∠ACD=90°－∠CAD=∠B, ∠CDA=∠BDC = 90°, ∴△ACD∽△CBD. 即 CD2=AD·BD. ∴＝, 还可以证明 CA2 = AD·AB, CB2 = BD·BA 合 探 作 究 范例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE·AB＝AF·AC. 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵DE⊥AB， ∴△ABD∽△ADE. ∴＝. ∴AD2＝AE·AB. 同理：AD2＝AF·AC. ∴AE·AB＝AF·AC. 仿例：如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB. 求证：＝ . 解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形． ∴DE＝BF. ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴＝ . ∴＝ . 知识模块二　三角形的重心的有关证明及运用 自学互研 例9 如图22.3.22，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G. 求证:＝ = . A B C D E G 证明 如图，连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC， = (三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半). ∴△G∽△G. ∴ = = = . ∴＝ = . A B C D E G 拓展 如果在上图所示的△ABC中取边AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图那么我们同理可得 A B C D E G′ F ＝ = ， 所以 = = ， 即两图中的点与点是重合的. 自 探 主 究 在纸上任意作△ABC，画出三条中线，AD，BE，CF，验证交点G的存在性，并测量，，的值，记录数据． 根据测量数据，你可发现什么规律？ 总结归纳 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 合 探 作 究 范例：如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是三角形的重心，AB＝8，过点G的直线MN∥AB，求GC的长． G C M N A B 解：连结CG并延长，与AB交于点H. ∵点G是△ABC的重心， ∴CG＝CH，点H为AB的中点． ∵∠C＝90°，且AB＝8， ∴CH＝AB＝4. ∴CG＝CH＝. H G C M N A B 变例：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成1∶2的两条线段． (1)如图①，在△ABC中，AE为中线，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则AE＝____． (2)如图②，在△ABC中，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为48，则△CEG的面积为____． 6 8 课堂小结 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 随堂练习 1.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求证:BC2=AC·DC . A B C D 证明 ∵AB=AC， ∠A=36° ， ∴ ∠ABC =∠C =72 ° ， ∵ BD是∠ABC的平分线， ∴△ ABC ∽△ BDC. ∴ = . ∴ ∠ABD =∠DBC =36 °=∠A ， ∴ BC2=AC·DC . 又∠C =∠C， 2.如图，已知正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，试证明： (1) ＝ ； (2)EF2=BE·FC. D E F G A B C 证明 (1)∵∠DEB=∠BAC = 90°，∠B=∠B ， ∴△ BDE ∽△ BCA. ∴ = . ∴ ＝ . D E F G A B C (2)∵∠B＋∠BDE= 90°，∠B＋∠C =90° ∴∠BDE= ∠C ， 又∵∠DEB=∠GFC = 90° ∴△ BDE ∽△ CGF. ∴ = . ∵DE=GF = EF ∴ = . ∴EF2=BE·FC. $