25.2《降次--解一元二次方程》同步讲义与针对性练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义系统梳理解一元二次方程的核心知识点，涵盖直接开平方法、配方法（五步法）、公式法、因式分解法（含十字相乘法）及根与系数的关系，形成从基础解法到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握降次转化思想。 本资料以“降次”思想为主线，通过例题解析与即学即练结合，培养学生运算能力与推理意识，如配方法五步法强化规范思维，根与系数关系应用提升模型观念。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

25.2《解一元二次方程》同步讲义 目标导航 课程标准 （1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程. （2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想. （4）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程. （5）通过配方进一步体会“降次”的转化思想. 知识精讲 知识点01 直接开方法 1、直接开平方法的解读 开平方 解读 若 则 解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程. 直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即开平方,转化为两个一元一次方程。 2、方程x2=p的根的情况 p的取值 方程x2=p的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 【注意】 （1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况. （2）对于形如的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得 ，即； （3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解. （4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。 知识点02 配方法 1、配方法的目的： 对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式： 2、配方法的依据： 完全平方公式： 【配方五步法】 1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数. 2、化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1. 3、配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式. 4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程无解. 5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解. 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 一次项系数一半的平方 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 或 即 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 知识点03 配方法的应用 配方法的应用是基于，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明； 举例： 证明： 的值恒为正； 第一步 将二次项系数作为公因数提出来 第二步 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数 第三步 将前三项因式分解，剩余常数放到括号外 能力拓展 考法01 直接开方法 【例题1】解方程 【答案】， 【解析】 ， 【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 【答案】C 【解析】 解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为，根据平方根的性质，此时方程无解， 故选：C 【即学即练2】方程的根是______________． 【答案】， 【解析】 解：两边开平方：3x+2=x-1或3x+2=1-x ∴， 考法02 配方法 【例题2】用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 移项得：， 配方得：，即 故选：A． 【即学即练1】用配方法解一元二次方程，配方正确的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【即学即练2】解方程： （用配方法） 【答案】，； 【解析】 解： ∴， 考法03 配方法的应用 【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定 【答案】B 【解析】 x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+， 任意实数的平方都是非负数，其最小值是0， 所以（x-）2+的最小值是， 故多项式x2-5x+8的值是一个正数， 故选B． 【即学即练1】多项式的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51 =x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15 =(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15 =(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15 ∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0， ∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15． 故选：C． 【即学即练2】已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】 根据题意，得 ＝， ∵ ∴ ∴， 故选B． 知识点04 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，推导过程： 当时，. 【知识拓展】 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值(要注意系数前的符号)； ③求出根的判别式 的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根. 【注意】任意一元二次方程都可以用公式法求解。 【微点拨】 (1)虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. (2)一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点05 一元二次方程根的判别式 在推导过程中，出现的代数式称为一元二次方程根的判别式； 1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式： 根的判别式△的正负性 一元二次方程根的情况 原方程有两个不等的实数根：， 原方程有两个相等的实数根 原方程没有实数根 2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围(不等式)： 一元二次方程根的情况 判别式的取值范围 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个实数根 有实数根 【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。 能力拓展 考法01 公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程． (1) ； (2)； (3) ． 【解析】 (1) a=1，b=3，c=1 ∴x==． ∴x1=，x2=． (2)原方程化为一般形式，得． ∵，，， ∴． ∴，即，． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1 ∴b2﹣4ac=17＞0 ∴x= ∴x1=，x2=． 【点睛】 用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解． 【即时训练1】用公式法解方程： ． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2； ∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=9+8=17； ∴x= =， ∴x1=，x2=． 【典例2】用公式法解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ． 【分析】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可. 【解析】 解：(1)∵2x2+x﹣2=0， ∴a=2，b=1，c=﹣2， ∴x===， ∴x1=，x2=． (2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=36+24=60＞0， ∴x=， ∴x1=，x2= (3)∵a=1，b=﹣3，b=﹣7． ∴b2﹣4ac=9+28=37. x= = ， 解得 x1=，x2=． 【总结升华】 首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 【即时训练2】用公式法解下列方程：； 【答案】 解：移项，得． ∵ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 考法02 根的判别式的应用 【典例3】关于的一元二次方程，下列说法正确的是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】 根据根的判别式即可得出答案． 【详解】 解： 原方程没有实数根， 故选C． 【点睛】 本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 【即学即练3】下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别计算每个一元二次方程的根的判别式，从而可得答案． 【详解】 解： ， 方程有两个相等的实数根，故不符合题意； ， 方程没有实数根，故符合题意； ， 方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； ， 则 方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选： 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“利用一元二次方程根的判别式的值大于或等于，原方程有两个实数根，判别式的值小于 原方程没有实数根．”是解题的关键． 【即学即练4】一元二次方程的根的情况是( ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【分析】 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】 解： ∴一元二次方程有两个相等的实数根 故选：D 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【典例4】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是( ) A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△≥0，然后解不等式组，即可得到k的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴k≠0，且△＝(−6)2−4k×3＝−12k＋36， ∵方程有实数解， ∴△≥0， ∴−12k＋36≥0， ∴k≤3， ∴k的取值范围是：k≤3且k≠0． 故选：D． 【点睛】 此题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式△＝b2−4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 【即学即练5】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可． 【详解】 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数． 【即学即练6】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， ． 故选：B． 【点睛】 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△方程有两个不相等的实数根；(2)△方程有两个相等的实数根；(3)△方程没有实数根． 【即学即练7】若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠1 【答案】C 【分析】 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=12-4(m-1)×1≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：∵，，， ， 根据题意得m-1≠0且， 解得且． 故选：C． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 知识点06 因式分解法解一元二次方程 因式分解法的原理为：如果 ，那么 或 ；推广到一元二次方程中： 若一元二次方程 ，那么或，解得两个实数根。 1.c特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知中，c=0时，方程必有一根为0： 因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。 2.常用的因式分解法 提公因式分法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等. 提公因式法 使用场景： 有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法 使用场景： 等号一侧为完全平方式(即计算△=0) 平方差公式法 使用场景： 平方减平方形式：例如 十字相乘法 使用场景： 前两种方法都不能用时； 【知识拓展】 (1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； (2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； (3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点07十字相乘法解一元二次方程 若一元二次方程 有两个实数根，那么可以将一元二次方程写成： ，化简得；有对应相等得： 可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。 【即学即练】 序号 一元二次方程 十字相乘法分解结果 ① ② ③ ④ ⑤ 考法01 因式分解法解方程能力拓展 【典例1】； 【答案】 (1)或； 【详解】 解：(1)原方程可化为： 解得：， 【典例2】 【答案】x1=3，x2=-1； 【分析】(1)移项，再利用因式分解法求解可得． 【详解】解：(1)， 移项化简可得：， ∴x-3=0，x+1=0， 解得：x1=3，x2=-1． 【即学即练1】 【答案】x1=2，x2=3 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】， ∴， ∴， ∴4-2x=0或x-3=0， 解得：x1=2，x2=3． 【即学即练2】3x(x﹣1)＝2﹣2x 【答案】x1＝1，x2＝． 【分析】将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解, 【详解】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0, (x﹣1)(3x+2)＝0, x﹣1＝0或3x+2＝0, 所以x1＝1,x2＝﹣． 【即学即练3】 【答案】. 【分析】把x-1看做一个整体，先移项，再利用因式分解法，化为ab=0的形式解方程即可. 【详解】 移项得-x(x-1)=0 (x-1)[4(x-1)-x]=0 即x-1=0或3x-4=0 解得 【典例3】． 【答案】或． 【分析】 利用直接开平方法把方程化为：从而可得答案． 【详解】 原方程可化为： 由此得出： 或 解得： ，． 【点睛】 本题考查的是因式分解法，直接开平方法解一元二次方程，掌握以上解一元二次方程的方法是解题的关键． 【即学即练4】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0； 【答案】(1) x1=5, x2=﹣15 【解析】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0； 设y=x+2，则原方程可变形为： y2+6y﹣91=0， 解得：y1=7，y2=﹣13， 当y1=7时，x+2=7， x1=5； 当y2=﹣13时，x+2=﹣13， x2=﹣15； 【典例4】 【答案】x1＝0，x2＝； 【分析】 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解； 【详解】 3x﹣1＝±(x﹣1), 即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1), 所以x1＝0,x2＝； 【点睛】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法. 【即学即练5】； 【答案】； 【分析】先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可； 【详解】， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 考法02 十字相乘法解方程 【典例5】 【答案】 【分析】根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可； 【详解】， ∴ ， ∴ ； 【即学即练6】 【答案】 【分析】利用因式分解法解方程得出答案； 【详解】 解得： 【即学即练7】 【答案】， 【分析】把方程左边进行因式分解得到(x-9)(x-1)=0，再解两个一元一次方程即可； 【详解】∵， ∴， ∴或， ∴，； 一元二次方程根与系数的关系 知识点08 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点08 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 当△≥0且时 两根同号 当△≥0且，时 两根同为正数 当△≥0且，时 两根同为负数 当△＞0且时 两根异号 当△＞0且，时 两根异号且正根的绝对值较大 当△＞0且，时 两根异号且负根的绝对值较大 【知识拓展】 (1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； (2)若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 能力拓展 考法01 一元二次方程的根与系数的关系 【典例1】已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【分析】 根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【解析】 方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，，从而解得：，k＝-7． 方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7． 设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，从而， 故方程的另一根为，k的值为-7． 【点睛】 根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值． 【即学即练1】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值． 【答案】另一根为-1；的值为-3．　 【典例2】已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0． (1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根； (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【解析】 解：(1)△=(m+2)2﹣8m =m2﹣4m+4 =(m﹣2)2， ∵不论m为何值时，(m﹣2)2≥0， ∴△≥0， ∴方程总有实数根； (2)解方程得，x= ， x1=，x2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，m=2不合题意， ∴m=1． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根． 考法02 一元二次方程的根与系数的关系的综合应用 【典例3】关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____． 【答案】4 【分析】 根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得答案． 【详解】 解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2， ∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k， ∵x12+x22=4， ∴(x1+x2)2-2x1x2=4， (2k)2﹣2(k2﹣k)=4， 2k2+2k﹣4=0， k2+k﹣2=0， k=﹣2或1， ∵△=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣k)≥0， k≥0， ∴k=1， ∴x1•x2=k2﹣k=0， ∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4， 故答案为4． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键． 【即学即练2】设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______. 【答案】5 【详解】 试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5 考点：根与系数的关系 【典例4】已知实数，满足条件，，则________． 【答案】 【分析】 由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】 由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题． 【典例5】关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0． (1)证明：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根． 【答案】(1)证明见解析；(2)x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或 【解析】 试题分析：(1)根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根； (2)根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解. 试题解析：(1)一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0， ∵a=1，b=﹣(m﹣3)=3﹣m，c=﹣m2， ∴△=b2﹣4ac=(3﹣m)2﹣4×1×(﹣m2)=5m2﹣6m+9=5(m﹣)2+， ∴△＞0， 则方程有两个不相等的实数根； (2)∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3， ∴x1，x2异号， 又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2， 若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2， ∴m﹣3=﹣2，即m=1， 方程化为x2+2x﹣1=0， 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， 若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣(x1+x2)=﹣2， ∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5， 方程化为x2﹣2x﹣25=0， 解得：x1=1﹣，x2=1+． 5．关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根． (1)求实数k的取值范围． (2)若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值． 【答案】(1)k﹥；(2)k=2． 【分析】 (1)根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；(2)首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】 解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ＝(2k+1)2－4(k2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0 解得：k﹥； (2)∵k﹥， ∴x1+x2 =－(2k+1)＜0 又∵x1·x2=k2+1﹥0 ∴x1＜0，x2＜0， ∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－(x1+x2)=2k+1 ∵｜x1｜+｜x2｜=x1·x2 ∴2k+1=k2+1， ∴k1=0,k2=2 又 ∵k﹥ ∴k=2． 考点：根的判别式；根与系数的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $