25.2 降次—解一元二次方程 假期自主学习同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学上册《25.2降次—解一元二次方程》暑假同步练习，以“基础巩固-综合应用-思维拓展”三阶分层设计，覆盖解法、判别式及实际应用，适配自主学习中知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|判别式计算、配方变形等单一知识点|单选1-3、填空8-9强化运算能力，直接对应概念理解| |综合应用|根与系数关系、几何情境应用等跨知识点|单选5-6、解答15-17结合三角形边长等实际问题，培养推理意识| |思维拓展|新定义运算、阅读理解型问题|单选7、解答20通过创新情境（如自定义运算）发展模型观念与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2降次—解一元二次方程》 假期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．关于的一元二次方程 ，判别式的值为（      ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 6．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 7．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 二、填空题 8．关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 9．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 10．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 11．已知一元二次方程的两个实数根为，，则代数式的值为_________． 12．方程的正根介于正整数与之间，则________． 13．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______． 14．若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 三、解答题 15．解下列方程： (1)； (2)． 16．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 17．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 18．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 19．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 20．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 参考答案 1．B 【分析】先确定一元二次方程的各项系数，再代入判别式公式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其判别式为 ， ∵方程 中，，， ∴，即判别式的值为． 2．C 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 3．A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 4．C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 5．C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 6．A 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. 7．B 【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 8．1 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得：， 解得：． 9． 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 10． 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 11． 【分析】根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】，是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系得，， ． 12．2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 13．， 【分析】本题考查一元二次方程的解，利用换元思想对比已知方程与待求方程的结构，根据已知方程的解即可得到待求方程的解． 【详解】解：将已知方程整理得 ，其解为． 将待求解方程 变形为 令，则方程变为 ，可得， 即或， 解得． 14．或 【分析】分类讨论，的取值情况，根据方程根情况确定的取值，然后计算三角形周长． 【详解】解：当腰长为时，此时或， 把代入，得，解得， 方程为，解得，， 此时等腰三角形的周长为． 当底边长为4时，此时，∴方程有相等的实数根， ∴，解得， 当时，方程为，解得， 此时，等腰三角形的周长为． 当时，方程为，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，等腰三角形的周长为或． 15．(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴方程的解为，． （2）解：， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得，． 16．(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 17．(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 18．(1)证明见解析 (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，勾股定理． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：和是的两个根， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ，即， 解得：，（，不合题意，舍去）， 的值为3． 19．(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 20．(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $