精品解析：安徽省十校联盟2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测数学试题（北师大版）A

2024级高二7月初期末质量检测 数学（北师大版）A 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果数列的前n项和满足：，那么的值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 2. 用0～6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. 240 B. 210 C. 180 D. 150 3. 某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560的天数，则的值约为（ ） A. 68 B. 82 C. 84 D. 95 4. 设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则王同学第2天去餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.55 C. 0.65 D. 0.7 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -35 B. 35 C. -105 D. 105 7. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ） A. B. C. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 若随机变量且，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，则下列说法正确的有（ ） A. 服从超几何分布 B. C. D. 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得为常数列 B. 若，则 C. 若，使得时， D. 若，则为递增数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点在曲线上，记数列的前项和为，则__________． 13. 某班一天8节课，上、下午各4节.现安排上午两节语文课连上，上、下午均有一节数学课，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，则不同的排法有__________种.（用数字作答） 14. 设事件，为两个随机事件，已知，，且，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021～2025年的年份代码分别为1～5，下表为2021～2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 （1）根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系； （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年中国智能小家电的市场规模． 附：①样本相关系数，； ②经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式为． 16. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. （1）根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （2）采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量，有关联；当时，有95%的把握判断变量，有关联；当时，有99%的把握判断变量，有关联. 17. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. “OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名.其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程.某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对，，三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立. （1）求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列； （2）若系统对于生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为，否则准确率为.若系统模型对于生产线的检测准确率不低于0.7，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？ 19. 若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为. （1）记数列前项和为，证明：数列是下界数列； （2）记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由； （3）若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二7月初期末质量检测 数学（北师大版）A 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果数列的前n项和满足：，那么的值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求得 【详解】由题意 故选：D 2. 用0～6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. 240 B. 210 C. 180 D. 150 【答案】C 【解析】 【详解】数字不能放首位，所以优先考虑首位，其他位置可以任选，共有个没有重复数字三位数. 3. 某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560的天数，则的值约为（ ） A. 68 B. 82 C. 84 D. 95 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得均值，标准差. 区间 可化为 . 根据3σ准则的常用近似值. 由对称性， 所以. 100天中符合条件的天数服从二项分布，其中. 则期望，因此100天内约有天满足条件. 因此的值约为82. 4. 设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数， 即“是常数列”可推出“是常数列”， 取，，显然有，且是常数列，但不是常数列， 所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则王同学第2天去餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.55 C. 0.65 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式即可. 【详解】记事件：第1天去餐厅；事件：第2天去餐厅；事件：第1天去餐厅. 则，所以. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -35 B. 35 C. -105 D. 105 【答案】B 【解析】 【详解】原式可写成， 由二项式定理，. 在中，的系数计算如下： 由第一项得； 由第二项得（因为）. 因此的系数为. 7. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求出的分布列，然后由期望公式求解. 【详解】由题意的可能值为2或3， ，， 即的分布列为 2 3 所以，解得或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 若随机变量且，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的方差的性质可判断A；由正态分布求解判断出B；由二项分布即可判断选项C；由概率分布列的性质求出，进而求出判断D. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，随机变量且， 所以， 所以，故B正确； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量，故C正确； 对于D，，，，故D正确． 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，则下列说法正确的有（ ） A. 服从超几何分布 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可知服从超几何分布，可取，再分别求出对应概率，计算期望及方差进行判断即可． 【详解】由题可知，总候选人，甲班候选人，抽取名，为甲班人数， 所以服从超几何分布，且可取，故A正确， ，，，，故B错误； 则的分布列为： 0 1 2 3 ，C正确； ，D错误． 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得为常数列 B. 若，则 C. 若，使得时， D. 若，则为递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，可判断选项正误；对于BCD，由题可得，令，可得当时，通项公式，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，令，解得或，故A正确； 由，得，令，则. 若，则，此时；若，则当时，. 所以当时，有，所以， 即当时，. 对于B，若，则，当时，. 因函数在R上单调递减，又，则. 故当时，，故B正确； 对于C，若，则，当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当当时，，故C错误； 对于D，若，则，且， 所以.又当时，. 则当时，. 因函数在R上单调递增，又，则当时，单调递增， 则也单调递增，所以当时，单调递增，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：对于数列单调性相关问题，常见思路为求出通项公式，研究与通项公式相关函数单调性来研究数列单调性；也可利用作差法或作商法，比较数列中相邻几项的大小关系，从而判断单调性. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点在曲线上，记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义判断数列为等比数列，利用等比数列的前项和化简求解即可. 【详解】由点在曲线上，则，所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 13. 某班一天8节课，上、下午各4节.现安排上午两节语文课连上，上、下午均有一节数学课，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，则不同的排法有__________种.（用数字作答） 【答案】576 【解析】 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】先安排上午连上的语文课，则可能有3种，再安排数学课，上午还剩下两节课， 所以上午数学课有2种选择，下午有四节课，所以下午数学课有4种选择， 最后安排英语、物理、体育、音乐，共种，所以共种. 14. 设事件，为两个随机事件，已知，，且，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用条件概率公式计算求解. 【详解】根据条件概率公式可得，， 结合题设，代入，， 可得，所以解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021～2025年的年份代码分别为1～5，下表为2021～2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 （1）根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系； （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年中国智能小家电的市场规模． 附：①样本相关系数，； ②经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式为． 【答案】（1）因为相关系数非常接近于1，故可以用线性回归模型拟合与的关系． （2），2.54千亿元． 【解析】 【分析】（1）利用数据计算出相关系数即可. （2）利用公式计算经验回归方程即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 则， ， ， 于是， 因为相关系数非常接近于1，故可以用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 由（1）中数据，得， 则，故关于的经验回归方程为． 当时，， 则估计2026年中国智能小家电的市场规模为2.54千亿元． 16. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生. （1）根据已知条件补充完整下表，并判断是否有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关； 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （2）采用样本比例分配的分层随机抽样的方法从喜欢军事的学生中随机抽取15人进行一次军事知识竞赛，其中有3人可以获得“军事百科达人”的称号，记这3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量，有关联；当时，有95%的把握判断变量，有关联；当时，有99%的把握判断变量，有关联. 【答案】（1） 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关. （2） 0 1 2 3 数学期望. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算进行判断； （2）因为的可能取值为0，1，2，3，根据古典概型计算公式、数学期望公式，列出分布列求期望即可. 【小问1详解】 因为喜欢军事的学生中有是男生， 所以喜欢军事的学生中有是女生， 所以喜欢军事的男生与女生人数之比为， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． 因为， 因此可以认为不成立，即有99%的把握认为该校学生喜欢军事与性别有关． 【小问2详解】 由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为， 所以随机抽取15人中男生的人数为、女生人数为， 的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，再利用累加法可求. （2）利用，计算，从而得到，再利用错位相减法可求和. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，由累加法，得 ， 当时，，满足上式， 综上所述，． 【小问2详解】 由（1）得，，则， ， ， 所以 ， 所以． 18. “OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名.其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程.某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对，，三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立. （1）求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列； （2）若系统对于生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为，否则准确率为.若系统模型对于生产线的检测准确率不低于0.7，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？ 【答案】（1） 第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列为 X 0 1 2 3 P （2） 3次 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量的所有可能取值，结合独立事件概率乘法公式计算各取值对应的概率，即可得到分布列； （2）设第天生产线检测准确的概率为，推导递推关系后构造等比数列求通项，解不等式得到最大正整数. 【小问1详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为，且三条生产线的检测结果相互独立. ； ； ； .  因此的分布列如下所示： X 0 1 2 3 P 【小问2详解】 设为第天生产线检测准确的概率，， 由题意得初始值，当时，递推关系为  ，变形得， 因此数列是首项为，公比为的等比数列. 故通项公式为. 令，即，移项化简得.  当时，，不符合要求， 因此一个检测系统模型最多可以检测3次就要调整. 19. 若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为. （1）记数列前项和为，证明：数列是下界数列； （2）记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由； （3）若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：． 【答案】（1） 由题意知，， 故数列是下界数列. （2）数列不是下界数列，理由： 由，知， ． 因为， 所以， 故数列不是下界数列． （3）由题意知，an+1=2n， ， 因为， 所以，所以． ，当时，， 当时， ， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的前项和公式即可求出，根据下界数列的定义，即可证明； （2）由，可分别求出，根据下界数列的定义，即可判断数列不是下界数列； （3）根据等比数列通项公式可得，利用放缩法可得，有．从而可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：充分理解“下界数列”的定义是解题关键，本题考查数列的综合应用，不等式放缩法的运用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $