精品解析：安徽宿州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学 满分：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解． 【详解】，当时，， 所以曲线在点处的切线斜率为． 2. 已知数列为等差数列，若，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据公差的计算公式即可求解． 【详解】． 3. 现将某市一热门饮品店月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过最小二乘法求得与的经验回归方程为，则当时，利润额的残差为（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润额（万元） 1.9 2.3 2.6 2.9 3.3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算预测值，再代入残差公式，即可求解. 【详解】当时，， 所以时，利润额的残差为. 4. 暑假期间，小明和小红打算从黄山、九华山、宏村、天柱山四个安徽著名景点中各随机挑选2个进行游玩，则两人所选不同景点的总数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用计数原理求出选取的方法数，再根据古典概型概率公式计算. 【详解】两人各选2个景点的方法数是， 所选不同景点的总数为3，则其中一个景点重复，方法数是， 所以概率为. 5. 已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式即可求公比，结合数列各项为负的条件舍去负根，再代入公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，易知， ，代入，， 得  ，化简得， 解得或（舍去）， 所以 . 6. 已知，为同一随机试验的两个随机事件，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入全概率公式，即可求解. 【详解】， ，得. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题可知时，恒成立，分离常数后得，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调性，从而求得函数最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】函数定义域，导数， 由题意可知当时，导数恒成立， 即，所以在时恒成立. 令函数， 则， 令函数，则导数， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 设圆和渐近线的交点除原点外，另一交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理，用赋值法求解. 【详解】对于选项A，由题意，A正确； 对于选项B，令得， 所以，B正确； 对于选项C，令得， 所以，C错误； 对于选项D，由得， 其中令得，D.正确. 10. 已知随机变量，则（ ） 参考数据：若，则，，． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用正态分布关于对称的性质，计算的取值；选项B，将区间转化为的形式，再利用正态分布对称性和总概率为1，计算概率；选项C，去绝对值转化为或的形式，再计算概率；选项D，利用正态分布关于对称的性质，计算的取值. 【详解】由正态分布的定义，可得均值，方差， 即标准差， 选项A：正态曲线关于对称，因此，A正确. 选项B：，由参考数据，可得： ，B错误. 选项C：即或， 由， 因此：，C正确. 选项D：，， 因此： ，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 若，，则函数在上的最大值和最小值分别为4和0 B. 若，，则曲线关于中心对称 C. 若，，过点仅能够作两条直线与曲线相切 D. 若恰有两个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出最值；对于B，设的对称中心为，通过求得对称中心即可判断；对于C，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断；对于D，由题设重根为，另一根为，则，可得，，从而得到，求导利用函数的单调性求解即可判断. 【详解】对于A，若，，则， 求导可得， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 又因为， 所以函数在上的最大值和最小值分别为4和0，故A正确； 对于B，若，，则，所以， 设的对称中心为，则， 所以， 化简得，所以， 解得，，故B正确； 对于C，若，，则，， 设切点，切线斜率：， 所以切线方程为. 将代入化简得， 令，则， 令，得，令，得 所以在单调递增，在单调递减， 且，，时，，时，， 所以有三个根， 即过点能够作三条直线与曲线相切，故C错误； 对于D，若恰有两个不同的零点，则有一个重根，设重根为，另一根为, 即， 所以，解得， 则， 令，则，， 令，解得. 所以在上单调递减，上单调递增， 且，所以. 即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若首项为2的数列满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将递推公式变形构造等比数列，求出数列的通项后代入计算即可. 【详解】因为，所以， 设，即 ， 所以，解得，即. 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 所以. 13. 小明、小强等5人组队参加的比赛，其中1人作为替补，为了了解他们的位置，小明和小强去问体育老师，体育老师对他们两人说：“虽然我还没有决定最终的位置顺序，但你们一定都不是第一棒”，对小强说“你不是替补”，基于体育老师的话，这5人的位置排列的种数为________． 【答案】 54 【解析】 【详解】先安排小强的位置，因为小强不能是第一棒且小强不能是替补，所以小强仅可选择第二、三、四棒，共种选法； 再安排第一棒，因为第一棒不能是小明或小强，第一棒只能从除小明、小强外的3名队员中选取，共种选法； 剩余3个位置无额外约束，将剩余3人全排列，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排列种数为. 14. 已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量关系写出点 的坐标，再依次求出点 、直线 及直线 的方程，从而得到点 的参数坐标，消去参数即可得到轨迹方程． 【详解】取 的一种情形 因为 ，且 ，所以 点 ， 在 轴上的投影分别为 又点 在直线 上的投影为 ，而直线 的方程为 ，所以 直线 经过 ，，故其方程为 直线 的方程为 因此直线 与 的交点为 设 ，则 消去参数 ，得 因为 ，所以 ． 反之，对于满足 的任意 ，取 ，均可得到相应的点 ． 故点 的轨迹方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． （1）若，求，，的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出对应向量坐标，根据向量相等构造方程组求解系数； （2）求出平面法向量，利用线面角的向量计算公式完成求解. 【小问1详解】 不妨设正方体棱长为3. 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是、交点，故， 是靠近的三等分点，则， 向量，，，， 因为， 则， 即，解得. 则. 【小问2详解】 ，，，设平面法向量， 则， 令，得， 设线面角为，满足， 因为， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知数列的前项和为，其中． （1）若，记数列的前30项和为，求证：； （2）求的最大值； 【答案】（1）因为所以 因此 即 故 ． （2） 【解析】 【分析】（1）先求出 ，再将 裂项，利用裂项相消法求 ； （2）由 ，根据 的正负判断 的增减情况，从而求出最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可知当 时，； 当 时，； 当 时，． 所以数列 先递增，在 ， 时取得相同的最大值，此后递减． 又. 且 ，故 的最大值为 ． 17. 甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响． （1）求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率； （2）若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【解析】 【分析】（1）先列出所有可能情况：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，再分别用独立事件概率乘法公式计算各情况概率，最后用互斥事件概率加法公式求和. （2）先计算单轮中“至多有1人完成拼豆”的概率，再根据二项分布的性质写出分布列、计算数学期望 【小问1详解】 设事件为“甲在规定时间完成拼豆”，为“乙在规定时间完成拼豆”，为“丙在规定时间完成拼豆”， 由题意知相互独立，且，对应对立事件概率为. 恰有1人完成拼豆包含3个互斥事件：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，因此所求概率 又，， 所以. 【小问2详解】 单轮内0人完成的概率， 由（1）得，单轮1人完成的概率为， 故单轮内至多有1人完成拼豆的概率. 3轮试验相互独立，每轮结果只有两种，故，的可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 由二项分布期望公式得. 18. 已知函数． （1）若，求在上的最大值； （2）已知，，求证：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）时，， 则导数，令， 则导数，令， 则导数，因为，所以， 即函数在上单调递增，所以， 即函数在上单调递增，所以， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数，由导数求得函数的单调性，从而求得在所求区间上的最大值； （2）代入得到函数，利用导数即可证明函数的单调性； （3）通过分离参数，然后构造函数，由函数的导数求得函数的最值，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 时，， 则导数，因为， 所以，即函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，即在上的最大值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 当时，， 因为在上恒成立，即在上恒成立， 令函数，则导数， ， 所以， 由（2）知，函数在上为增函数， 故当时，，即， 因为，所以， 当时，，即，则函数在上单调递减， 当时，，即，则函数在上单调递增， 所以当时，， 所以. 19. 已知椭圆：，椭圆：，在内部，且，的离心率相同；分别过椭圆的右顶点与上顶点任作椭圆的一条切线，． （1）求椭圆的离心率； （2）求直线，的斜率之积的绝对值； （3）若，直线过第二、四象限，过定点的直线与椭圆交于，两点，与交于点．若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据离心率的定义求出椭圆的离心率，进而即可得到椭圆的离心率； （2）先设直线，的斜率分别为，，从而根据题意得到直线，的方程，再分别联立椭圆的方程，再根据椭圆切线的定义得到，，从而得到，，进而即可求出； （3）先结合（2）求出直线的方程，设，，，，当斜率存在时，结合韦达定理求出点和的值；再验证当斜率不存在时，得到的点是否同时满足条件①：此时直线与椭圆有两个不同的交点，条件②：，进而即可得到点的坐标． 【小问1详解】 依题意可得椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 则其半焦距为， 所以椭圆的离心率为， 又，的离心率相同，所以椭圆的离心率为． 【小问2详解】 显然直线，的斜率都存在，不妨设直线，的斜率分别为，， 又椭圆的右顶点为，则直线的方程为， 结合（1）得，得， 联立，整理得， 又是椭圆的一条切线，则，得， 又椭圆的上顶点为，则直线的方程为， 联立，整理得， 又是椭圆的一条切线，则，得， 所以，得， 故直线，的斜率之积的绝对值为． 【小问3详解】 由，则结合（2）得， 又直线过第二、四象限，则，即， 所以直线的方程为， 设，，，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，则， 即，整理得（*）， 联立，解得， 联立，整理得， 由韦达定理得，， 将，，，代入（*）式化简得， 又上式对任意实数都成立，则， 若，得，代入（2）式，得，解得，或； 若，即，代入（2）式，得，解得，， 验证当斜率不存在时，，，是否满足题意． 对于，过该点的竖线与椭圆只有一个交点，不符合题意； 对于，过该点的竖线与椭圆只有一个交点，不符合题意； 对于，过该点的竖线与椭圆有两个交点， 联立，解得，，即，，， 此时，，满足，符合题意． 综上，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分：150分考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等差数列，若，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 3. 现将某市一热门饮品店月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过最小二乘法求得与的经验回归方程为，则当时，利润额的残差为（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润额（万元） 1.9 2.3 2.6 2.9 3.3 A. B. C. D. 4. 暑假期间，小明和小红打算从黄山、九华山、宏村、天柱山四个安徽著名景点中各随机挑选2个进行游玩，则两人所选不同景点的总数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为同一随机试验的两个随机事件，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变量，则（ ） 参考数据：若，则，，． A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 若，，则函数在上的最大值和最小值分别为4和0 B. 若，，则曲线关于中心对称 C. 若，，过点仅能够作两条直线与曲线相切 D. 若恰有两个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若首项为2的数列满足，则________． 13. 小明、小强等5人组队参加的比赛，其中1人作为替补，为了了解他们的位置，小明和小强去问体育老师，体育老师对他们两人说：“虽然我还没有决定最终的位置顺序，但你们一定都不是第一棒”，对小强说“你不是替补”，基于体育老师的话，这5人的位置排列的种数为________． 14. 已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． （1）若，求，，的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列的前项和为，其中． （1）若，记数列的前30项和为，求证：； （2）求的最大值； 17. 甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响． （1）求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率； （2）若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望． 18. 已知函数． （1）若，求在上的最大值； （2）已知，，求证：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆：，椭圆：，在内部，且，的离心率相同；分别过椭圆的右顶点与上顶点任作椭圆的一条切线，． （1）求椭圆的离心率； （2）求直线，的斜率之积的绝对值； （3）若，直线过第二、四象限，过定点的直线与椭圆交于，两点，与交于点．若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $