第五章 二元一次方程组 单元巩固测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，涵盖概念、解法及应用，通过清源山文创、趣味数学游戏等真实情境，融合整体思想与函数图像，强化模型意识与运算能力，适配暑假单元巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二元一次方程概念、解的应用、图像法|结合函数图像考方程组解，体现几何直观| |填空题|6/18|几何图形中的方程组、函数与方程综合|长方形内小长方形尺寸问题，强化空间观念| |解答题|8/72|实际应用（文具店、工程问题）、整体思想|观光车过隧道问题，融合行程模型与运算能力|

第五章 二元一次方程组 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如果，是关于，的方程的解，那么的值为（     ） A． B．2 C．1 D． 3．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 5．清源山景区售卖特色文创礼盒，每个大盒含6枚石刻徽章，每个小盒含4枚茶花书签，两种礼盒共45盒，文创物品总数为230件．设大盒有盒，小盒有盒，根据题意列出的方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 6．在解二元一次方程组时，老师要求先消掉未知数y，得到一个关于x的一元一次方程，下面是甲、乙两名同学的答案：甲：由①，得③，将③代入②，得．乙：，得．下列说法正确的是（     ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 7．已知二元一次方程组，则的值为（     ）． A．2 B．-2 C．20 D．4 8．如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 9．如图，直线与直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是（     ） A． B． C． D． 10．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知二元一次方程的一组解为，则________． 12．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 13．已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 14．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则___________________ ． 15．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 16．在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为12和18，已知，则的值是__________ 三、解答题解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．设适当的未知数，列出二元一次方程组： (1)甲、乙两数的和为14，甲数的比乙数的2倍少7，求这两个数； (2)摩托车的速度是货车速度的倍，两车从相距75km的两地同时出发，相向而行，45min后相遇，求摩托车和货车的速度； (3)某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元，求时装和皮装的单价． 18．解方程组： (1)代入消元法解； (2)加减消元法解． 19．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 20．按要求完成下列各题： (1)解方程组； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 21．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 22．某文具店购进钢笔和圆珠笔共100支，钢笔每支进价8元，圆珠笔每支进价3元，全部购进共花费500元． (1)求钢笔和圆珠笔各购进多少支？ (2)若钢笔售价12元，圆珠笔售价5元，全部卖出可获利多少元？ 23．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 24．如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据定义：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为1的整式方程是二元一次方程，逐项判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义逐项判断： 选项A中，含未知数的项的次数为2，不符合定义，∴A错误； 选项B中，只含有1个未知数，且最高次数为2，不符合定义，∴B错误； 选项C中，不是整式方程，不符合定义，∴C错误； 选项D中，含有两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义，∴D正确． 2．如果，是关于，的方程的解，那么的值为（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】已知解代入原方程，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】∵是关于，的方程的解， ∴将，代入方程得 ， 解得 ． 3．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】两个方程组解相同，说明公共解满足所有方程，先利用第一个方程组消元求出x，再代入第二个方程组的第二个方程求出y，最后计算得到n的值． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴把代入得， 解得， ∴． 4．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程中，左边右边，故是方程的解，符合题意； B．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； D．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意． 5．清源山景区售卖特色文创礼盒，每个大盒含6枚石刻徽章，每个小盒含4枚茶花书签，两种礼盒共45盒，文创物品总数为230件．设大盒有盒，小盒有盒，根据题意列出的方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设大盒有盒，小盒有盒，两种礼盒共盒， ∴可得方程 ； 又∵每个大盒含枚文创物品，每个小盒含枚文创物品，文创物品总数为件， ∴大盒的物品总数为，小盒的物品总数为，可得方程 ； 因此列出的方程组为 ． 6．在解二元一次方程组时，老师要求先消掉未知数y，得到一个关于x的一元一次方程，下面是甲、乙两名同学的答案：甲：由①，得③，将③代入②，得．乙：，得．下列说法正确的是（     ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的消元法，分别验证甲乙的计算过程，即可判断正误。 【详解】解：先验证甲的计算： ∵ 由① 移项得， 将代入②得： ， 展开得， 与甲得到的不一致， ∴甲错误； 再验证乙的计算：①得， 与②相加得， 合并同类项得，与乙得到的结果一致， ∴乙正确． 7．已知二元一次方程组，则的值为（     ）． A．2 B．-2 C．20 D．4 【答案】A 【分析】将两个方程直接相减得到所求的值． 【详解】解： ， 用式减去式：对左边计算得 对右边计算得 ． 8．如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 9．如图，直线与直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据两个一次函数的图象交于点，得方程组的解为； 10．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知二元一次方程的一组解为，则________． 【答案】 【分析】由二元一次方程解的定义得出，然后将代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵二元一次方程的一组解为， ∴， ∴． 12．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 13．已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 【答案】 【分析】一次函数图象互相平行，则一次项系数相等，设出解析式后代入已知点坐标即可求出常数项，得到函数解析式． 【详解】解：设所求一次函数的解析式为， 该一次函数的图象与直线平行， ∴． 该一次函数过点， ， 解得， 该一次函数的解析式为． 14．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则___________________ ． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再依据三角形的面积公式建立关于k的方程，通过解方程并结合绝对值的性质求出k的值． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，则该函数图象与y轴的交点为， 当时，，解得，则该函数图象与x轴的交点为， 已知该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为， 根据三角形面积公式可得， 化简得，即， 由绝对值的性质可知， 因此． 15．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 16．在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为12和18，已知，则的值是__________ 【答案】 【分析】根据题意得到二元一次方程组，利用整体代入思想和加减消元法即可求解． 【详解】解：由题意可得： 由可得： 整理得 ∵ ∴ 解得． 三、解答题解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．设适当的未知数，列出二元一次方程组： (1)甲、乙两数的和为14，甲数的比乙数的2倍少7，求这两个数； (2)摩托车的速度是货车速度的倍，两车从相距75km的两地同时出发，相向而行，45min后相遇，求摩托车和货车的速度； (3)某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元，求时装和皮装的单价． 【答案】(1)设甲数为，乙数为，二元一次方程组为 (2)设货车速度，摩托车速度，二元一次方程组为 (3)设皮装单价元，时装单价元，二元一次方程组为 【分析】（1）设甲数为，乙数为，根据“甲、乙两数的和为14，甲数的比乙数的2倍少7”，即可得出关于的二元一次方程组； （2）设货车速度，摩托车速度，根据“摩托车的速度是货车速度的倍，两车从相距75km的两地同时出发，相向而行，45min后相遇”，即可得出关于的二元一次方程组； （3）设皮装单价元，时装单价元，根据“某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元”，即可得出关于的二元一次方程组． 【详解】（1）解：设甲数为，乙数为， 依据题意：甲乙和为14，得：； 甲数比乙数2倍少7，即，整理：， 故方程组： ． （2）解：设货车速度，摩托车速度， 由摩托速度是货车倍：；， 相向相遇路程和75：， 方程组： ． （3）解：设皮装单价元，时装单价元， 时装单价是皮装1.4倍：， 5件皮装比3件时装贵700：， 方程组： ． 18．解方程组： (1)代入消元法解； (2)加减消元法解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把②代入①可得到的值，把的值代入②可得的值； （2）可得③，③包含与①中相同的，可得到的值，把的值代入②可得的值． 【详解】（1）解：， 把②代入①得，化简得，解得， 把代入②得， 故原方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，，解得， 把代入②得，解得， 故原方程组的解为． 【点睛】代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一个一元一次方程；解：解这个一元一次方程；求：把求得的未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；写：写出方程组的解． 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；写解：写出方程组的解． 19．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 20．按要求完成下列各题： (1)解方程组； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ①，得， ②，得， ④③，得， 把代入②中，得， ∴原方程组的解为． （2）解： ②①得， ， 把代入①中，， ， ， 将，代入中，得， ． 21．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 22．某文具店购进钢笔和圆珠笔共100支，钢笔每支进价8元，圆珠笔每支进价3元，全部购进共花费500元． (1)求钢笔和圆珠笔各购进多少支？ (2)若钢笔售价12元，圆珠笔售价5元，全部卖出可获利多少元？ 【答案】(1)钢笔和圆珠笔各购进40支和60支 (2)280元． 【分析】（）设钢笔购进支，圆珠笔购进支，根据钢笔和圆珠笔共100支，全部购进共花费500元，列方程求解即可； （）分别求出钢笔和圆珠笔的获利，然后相加即可． 【详解】（1）解：设钢笔购进支，圆珠笔购进支， 根据题意得： ， 解得：， 答：钢笔和圆珠笔分别购进40支和60支； （2）解：钢笔获利：（元），圆珠笔获利：（元）， 总获利：（元）． 23．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 24．如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的交点求方程组的解即可； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，则，由代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线，和变于点， ∴方程组的解为； （2）解：直线分别交轴，轴于两点， 当时，，则， 直线分别交轴，轴于，两点， 当时，，则， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $