第二章 实数 单元巩固测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学第二章实数单元暑假巩固卷，覆盖无理数、二次根式、平方根等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养抽象能力、运算能力及几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|无理数性质、二次根式意义等|通过正误判断（1题）考查推理意识| |填空题|6/18|无理数识别、规律探究等|结合数轴与正方形面积（14题）体现几何直观| |解答题|8/72|新定义运算、几何应用等|以木工截木板（22题）、程序运算（16题）考查应用意识|

第二章 实数 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求， 即， 解不等式得． 3．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 4．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 5．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 6．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 7．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化． 根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D 8．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 9．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 10．如图，在中，于点，若，，则的长为（    ） A．4 B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．根据勾股定理得出，设，则，即可得出，求出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为4． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 12．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13．若，则___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 14．如图，面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上，以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M，则点M表示的数是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积是10，先求出边长，再在数轴上求出点M对应的数． 【详解】解：∵面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上， ∴ ∵以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M， ∴， ∴点M所表示的数为． 15．小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 【答案】 【分析】（1）根据前4个等式写出第5个等式即可； （2）根据前5个等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个等式为，即 第2个等式为，即， 第3个等式为，即， 第4个等式为，即， 第5个等式为，即， 归纳推得：第n个等式为，其中n为正整数． 16．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 【答案】 【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． 【详解】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得，是无理数，所以输出的数为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算题 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将根号内的多项式化为完全平方式，再利用 的性质进行化简计算． 【详解】解：， ∴， ， 把代入得： 原式 20．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 21．定义一种新运算“”如下：当时，；当时，． (1)计算：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据定义新运算的运算法则即可求解； （2）分类讨论，①当时，运用计算；②当时，运用，根据的取值判定符合条件的值即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴． （2）解：①当时，， ∴，解得， ∵， ∴符合题意； ②当时，， ∴，解得， ∵， ∴不符合题意，故舍去， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，理解定义新运算的运算规程，掌握有理数的运算法则，解方程的方法，分类讨论的思想是解题的关键． 22．如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； (2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能截出，见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为； （2）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（1）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 23．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 24．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过分母有理化直接化简； （2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小； （3）先对分母有理化，再直接代入计算． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵ ∴ ∴ （3）解： ∴ ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 3．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 4．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 5．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 6．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 7．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 9．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，于点，若，，则的长为（    ） A．4 B． C．1 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在，，，，，中，无理数有________个． 12．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 13．若，则___________． 14．如图，面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上，以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M，则点M表示的数是________． 15．小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 16．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算题 (1) (2) (3) 18．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 21．定义一种新运算“”如下：当时，；当时，． (1)计算：； (2)若，求x的值． 22．如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； (2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 23．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 24．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $