第五章 分式与分式方程 暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程暑假复习单元卷，通过基础巩固、情境应用与创新探究的分层设计，强化分式概念、方程解法及模型应用，适配暑假复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式概念、最简分式、分式方程解|结合《九章算术》古算题，考查数学文化与抽象能力| |填空题|5/15|分式有意义条件、分式值变化规律|融入逆向思维（如第14题），培养推理意识| |解答题（一）|3/21|分式方程求解、化简求值|设置解题错误辨析（第18题），强化运算严谨性| |解答题（二）|3/27|分式方程含参问题、黄金分割数应用|结合购书盈利情境（第21题），发展模型观念| |解答题（三）|2/27|规律探究、新定义“雅中式”|设计“雅中式”创新题型（第23题），提升创新意识|

第五章 分式与分式方程 暑假复习巩固 2025--2026学年北师大版八年级数学下册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在式子：，，，中，分式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．方程的解是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 3．下列分式为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 5．实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克．如何处理能将该容器内食盐水的含盐百分比提高到原来的倍？晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（    ） A．加入的食盐量 B．减少的食盐量 C．增加的水量 D．蒸发掉的水量 6．如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不变 7．已知（，），，，…，，则（    ） A． B． C． D． 8．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 9．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 10．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若分式有意义，则的取值范围是_______． 12．若，则__________． 13．若关于的方程的解为，则的值是_____． 14．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____． 15．如图，甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，，按如图所示的两种方式放置．图①中阴影部分面积为16，图②中阴影部分面积为12，则的值是______． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解分式方程：． 17．先化简，再求值：，其中． 18．小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 20．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 21．某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 23．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5，求所代表的代数式． (3)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4，求，的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D A C D B B 11． 12．23 13． 14．或27 15． 16． 【详解】解： 解得 检验：时，， ∴原方程的解为． 17．， 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再运算乘法，然后运算减法，得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： 当时，． 18．(1)第一步 (2)，过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意：解分式方程，最后需要检验，避免出现增根． （1）根据解题过程逐步判断解答； （2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母， 故答案为：第一步 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数． （1）将“▲”替换为后，先统一分式的分母，再通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可得到方程的解． （2）先设“▲”为，将原分式方程化为整式方程，分式方程无解包含两种情况，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别分析求解即可得到“▲”的值． 【详解】（1）解：当“▲”时，原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 移项得 合并同类项得 解得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． （2）解：设“▲”表示的数为， 原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 整理得 原分式方程无解 分两种情况讨论 情况一：整式方程无解，此情况不存在． 情况二：整式方程的解是原分式方程的增根，原分式方程的增根满足， 即 将代入 得 解得 所以“▲”表示的数是． 20．(1)， (2)， 【分析】本题考查的是黄金分割数的含义，二次根式的混合运算，分式的加法运算； （1）直接代入，进行计算即可； （2）由，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． （2）解：∵，， ∴． ． 21．(1)第一次购书的进价是元一本 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案． 【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得： ． 解得：． 经检验，是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本； （2）解：第二次购书进价为（元）， 数量为（本）， 根据题意，得 整理得， 、为正整数，且， 当，； 当时，； 当时，． 22．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【详解】（1）解：， （2）根据题意可得： （3） （4） 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 23．(1)C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，正确理解“雅中式”和“雅中值”是解题的关键． （1）根据分式的减法运算法则求出的结果，再根据“雅中式”和“雅中值”的定义证明求解即可； （2）根据定义可得，则，据此去分母求解即可； （3）根据定义可得，则，则可推出，根据式子恒成立得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3，证明如下： ∵，， ∴ ， ∴C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3； （2）解：∵分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：∵分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵式子恒成立， ∴， 解得，即． 答案第6页，共7页 答案第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $