专题4.3 多边形和圆的初步认识（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题4.3 多边形和圆的初步认识 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）多边形及相关概念 1 【★题型1】多边形及相关的角 1 知识点（二）多边形的对角线 3 【★题型2】多边形的对角线 3 【★题型3】多边形的对角线与三角形关系 4 知识点（三）正多边形 5 【★题型4】正多边形 5 知识点（四）圆及相关概念 6 【★题型5】圆心角的概念及简单计算 7 二．同步练习​ 8 【★基础巩固（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 8 【★★能力提升（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 13 1． 知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点（一）多边形及相关概念 在同一平面内，由 不在同一直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 多边形的边 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 顶点 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 n边形 ．多边形 相邻两边组成的角 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 延长线 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 不相邻两个顶点 的线段叫做多边形的对角线． 【★题型1】多边形及相关的角 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）在四边形中，边的对边是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的定义，属于基础题，比较简单． 根据多边形的定义判断即可． 解：在四边形中，边的对边是， 故答案为：． 【变式2】（21-22七年级上·全国·课后作业）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【答案】见分析 【分析】根据图形的特征作答即可． 解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 【点拨】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点. 知识点（二）多边形的对角线 (1) 过n边形一个顶点有n-3条对角线，得到n-2个三角形； (2) n边形有条对角线； 【★题型2】多边形的对角线 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 【答案】代数式的值为125． 【分析】本题考查多边形的性质．由多边形的对角线条数，可以得到方程，解出数值代入代数式求值即可． 解：因为m边形从一个顶点发出的对角线有条，所以， 因为n边形没有对角线，所以， 因为过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形，所以， 所以． 故代数式的值为125． 【变式1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有4条对角线，则这个多边形的对角线共有 条． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．先由n边形从一个顶点出发可引出条对角线，求出n的值，再根据n边形对角线的总条数为即可求出这个多边形所有对角线的条数． 解：设这个多边形的边数是n，由题意，得， 解得， 所以这个多边形共有对角线：． 故答案为：14． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）从n边形的一个顶点出发可以连接条对角线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线性质，熟记公式是解答本题的关键； 根据边形从一个顶点出发可引出条对角线的性质，列方程求解； 解：∵从边形的一个顶点出发可引出条对角线， 由题意可得：从n边形的一个顶点出发可以连接条对角线， ∴， ∴； 故选：D 【★题型3】多边形的对角线与三角形关系 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线，利用多边形的对角线性质列式计算即可． 解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成三角形的个数为（个）， 故答案为：5． 【变式1】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】可以得到4个三角形，三角形的个数等于边数减1 【分析】根据图形找出三角形的个数，再分析出三角形个数与边数的关系即可． 解：根据图形可知， 图中共有4个三角形，三角形的个数等于边数减1． 【点拨】本题主要考查了多边形的知识，正确找出三角形的个数是解题关键． 知识点（三）正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 【★题型4】正多边形 【例题4】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）下列说法正确的有（　　）个． ①两点之间，直线最短；②各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；③若线段，则点B为线段的中点；④两点间的线段叫做两点间的距离． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查的是线段的性质、正多边形的概念、两点之间的距离的定义．依据相关的定义进行判断即可． 解：①两点之间，线段最短，故①说法错误； ②各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，②说法正确； ③若点B在线段上，，则点B是的中点，故③说法错误； ④两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，原④说法错误； 综上，说法正确的有1个， 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的定义，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键． 根据正多边形的定义依次判定各项后即可解答． 解：直角三角形，长方形，圆不是正多边形，正方形是正多边形． 故选：B． 知识点（四）圆及相关概念 如图：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O为圆心，线段OA为半径，圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB经过这条弧的端点的两条半径OA，OB 组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角。 【★题型5】圆心角的概念及简单计算 【例题5】（24-25六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为 ． 【答案】120 【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案． 解：根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为： 故答案为：120． 【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解． 【变式2】（24-24六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），见分析；（2） 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 解：（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点拨】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 一、单选题 1．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 3．（21-22九年级上·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断. 解：A、不是圆心角，故不符合题意； B、不是圆心角，故不符合题意； C、是圆心角，故符合题意； D、不是圆心角，故不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键． 4．（2023·贵州遵义·一模）如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式、数学思想等知识点，掌握转化的数学思想是解题的关键． 根据题意即可解答． 解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出条对角线，将n边形分割成个三角形，这个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想． 故选D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 【答案】六/ 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，可得答案． 解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是， 故答案为：六． 6．（23-24八年级上·青海西宁·期中）若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引2条对角线，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，进行求解即可． 解：由题意得，， ∴， 故答案为：5． 7．（25-26八年级上·青海西宁·期中）将一个六边形进行三角剖分可以剖成 个三角形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，多边形三角剖分后三角形的个数与边数有关．根据n边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数为解答即可． 解：对于一个n边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数为． 六边形的边数， 因此三角剖分后得到的三角形个数为． 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线，利用多边形的对角线性质列式计算即可． 解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成三角形的个数为（个）， 故答案为：5． 三、解答题 9．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 【答案】，， 【分析】本题主要考查了扇形的圆心角，用分别乘以各个扇形所占的百分比，求出各个扇形圆心角度数即可． 解：周角是， ， ． 10．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线； 故答案为：； （4）当时，， ∴十边形有35对角线． 故答案为：35． 【★★能力提升（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 一、单选题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心的确定方法，网格内的图形问题须充分利用格线互相垂直的特点． 圆心是圆中两条不平行的弦的垂直平分线的交点，因此看图中弦的垂直平分线是否为网格线便可求解． 解：观察图形，根据圆的轴对称性，可知是正确的． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案． 解：由题可得． 故选D． 3．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点；②若，则：③在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是；④过五边形一个顶点的所有对角线把五边形分成3个三角形；⑤若，，则 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查立体图形，绝对值，钟面角，多边形，角的和差，根据相关知识逐一判断各说法的正确性即可． 解： ①五棱柱上下底面均为五边形，各有5个顶点，共个顶点，故①正确． ②若，则或，故②错误． ③时针1分钟经过，分针1分钟经过， 时，时针与分针夹角为，故③正确； ④五边形从一个顶点出发可作2条对角线，分割为个三角形，故④正确． ⑤分两种情况讨论：若射线在内部，如图， 则． 若射线在外部，如图， 则． ∴，为或，故⑤错误． 综上，正确的有①③④，共3个． 故选：B． 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 6．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点拨】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 7．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一只狗被一根米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．（精确到平方米，取） 【答案】平方米 【分析】本题考查了圆的面积公式． 根据题意可知：狗的运动范围是以12米为半径的圆的面积的，加上2个以米为半径的圆的面积的，利用圆的面积公式：，把数代入计算即可． 解：如图所示， （平方米）． 10．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 多边形和圆的初步认识 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）多边形及相关概念 1 【★题型1】多边形及相关的角 1 知识点（二）多边形的对角线 2 【★题型2】多边形的对角线 2 【★题型3】多边形的对角线与三角形关系 2 知识点（三）正多边形 3 【★题型4】正多边形 3 知识点（四）圆及相关概念 3 【★题型5】圆心角的概念及简单计算 4 二．同步练习​ 4 【★基础巩固（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 4 【★★能力提升（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 6 1． 知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点（一）多边形及相关概念 在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线． 【★题型1】多边形及相关的角 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）在四边形中，边的对边是 ． 【变式2】（21-22七年级上·全国·课后作业）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点. 知识点（二）多边形的对角线 (1) 过n边形一个顶点有n-3条对角线，得到n-2个三角形； (2) n边形有条对角线； 【★题型2】多边形的对角线 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 【变式1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有4条对角线，则这个多边形的对角线共有 条． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）从n边形的一个顶点出发可以连接条对角线，则（   ） A． B． C． D． 【★题型3】多边形的对角线与三角形关系 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 【变式1】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 知识点（三）正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 【★题型4】正多边形 【例题4】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）下列说法正确的有（　　）个． ①两点之间，直线最短；②各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；③若线段，则点B为线段的中点；④两点间的线段叫做两点间的距离． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 知识点（四）圆及相关概念 如图：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O为圆心，线段OA为半径，圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB经过这条弧的端点的两条半径OA，OB 组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角。 【★题型5】圆心角的概念及简单计算 【例题5】（24-25六年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【变式1】若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为 ． 【变式2】（24-24六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 一、单选题 1．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 3．下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 二、填空题 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ． 6．（23-24八年级上·青海西宁·期中）若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引2条对角线，则 ． 7．（25-26八年级上·青海西宁·期中）将一个六边形进行三角剖分可以剖成 个三角形． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 三、解答题 9．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 10．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【★★能力提升（选择题4题、填空题4题、解答题2题）】 一、单选题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 3．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点；②若，则：③在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是；④过五边形一个顶点的所有对角线把五边形分成3个三角形；⑤若，，则 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 6．（23-24七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 7．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 三、解答题 9．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一只狗被一根米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．（精确到平方米，取） 10．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $