精品解析：福建省某校2025-2026学年高三上学期毕业班第一次质量检测数学试题

高三毕业班第一次质量检测数学试题 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以. 2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以复数的虚部是． 3. 一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】该组数据的平均数为， 该组数据共8个数，则中位数为第4个和第5个数的平均数，是， 该组数据的众数， 所以. 4. 的展开式的第3项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式的第3项是． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式，及同角三角函数的关系可求得，进而利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由，可得， 由，可得，所以， 所以， 所以. 故选：B. 6. 一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，这个数列的公比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的性质求解. 【详解】设该等比数列前项和为，公比为， 由于该等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50， 可知，， ， 所以，， 即，. 7. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先确定截面与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出，体积， 最后求最小值． 【详解】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.每小题有多个选项是符合题意的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 曲线有三条过点的切线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D． 【详解】对于B，由题， 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，故B正确； 对于A，由B可知的极大值，极小值， 因为在单调递增，且， 所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误； 对于C，令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向下移动个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为， 代入，可得， 整理得，即即 解方程得：或 则过点的切线方程有两条，D错误． 10. 如图，在四棱台中，，平面，底面为正方形，则（ ） A. BD⊥平面 B. 该四棱台的体积为 C. 二面角的大小为 D. 四棱锥的外接球的球心在上 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用线面垂直的判定定理即可证明；B选项，代入棱台的体积公式即可求得；C选项，利用定义找出二面角的平面角即可；D选项，根据球的截面性质即可找出球心. 【详解】对于A：因为底面为正方形，所以，因为平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B：该四棱台的体积为，故B正确； 对于C：因为平面，平面，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以，又因为，所以二面角的平面角即为， 因为，所以，故C错误； 对于D：因为平面，底面为正方形，所以四棱锥的外接球的球心在过正方形的中心且垂直于平面的直线上， 同时也在过的外心且垂直于平面的直线上，易知是以为直角的直角三角形， 则两直线的交点为的中点，所以四棱锥的外接球的球心即为的中点，故D正确． 11. 如图在正方形中，圆以点为圆心且与相切，过定点的直线与线段相交于点，直线与圆相交于不同的两点，，且点在线段上，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 若，则的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合圆的性质及直角三角形的性质证明即可；对于B，结合弦心距公式及临界条件求解判断即可；对于C，结合直角三角形余弦公式及向量的数量积求解即可；对于D，设，得到；过点作交于，得到，令，结合三角形相似及临界条件求出的范围，根据向量的线性运算求得，进而得到，即可求解. 【详解】对于A，设与的交点为，则为、中点，且 因为为弦的中点，所以，即， 所以，且， 所以，则， 所以，A正确. 对于B， 因为圆以点为圆心且与相切，圆的半径为，点到圆心的距离为. 是过点的割线，（共线时取到）， 趋近于切线时，， 所以，B错误. 对于C，在中，，在中，， 所以，C正确. 对于D，设，则. 过点作交于，则，，所以. 当为切点时，在中，，所以，则， 所以，即，所以， 又不能为切点，所以. 又共线，所以， 又，所以，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的公式求解即可. 【详解】因为，且， 则向量在向量上的投影向量为. 13. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与圆相切的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径，列式求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，根据对称性不妨取其中一条渐近线，即， 因为与圆相切， 则，得，即，， ∴. 14. 已知盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个红球，盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个白球，甲、乙两人分别从盒和盒中任意抽取小球，抽取的小球个数不限，且每人至少抽取一个，且两人的抽取结果相互独立，设为两人抽取的编号相同的小球个数，则的数学期望__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用期望的线性性质和对称性，把复杂变量拆分为单个变量的期望之和，求出总的可能抽取种数及抽到特定编号的种数，进而求出概率，求出特定元素的期望，进而利用期望的对称性求解． 【详解】设为指示变量，甲、乙两人都取到编号为的球时，否则， 则两人编号相同的小球个数， 由期望的线性性质，， 由题意知，， 甲、乙各自从各自的集合中随机抽取一个非空子集，有种等可能结果， 由于对称性，每个编号的概率相同，对固定编号， 如时，甲抽到该编号的子集有，共个， 甲抽到编号的概率为甲，同理，乙的概率也为乙， ， ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量垂直的坐标运算求得，再根据正弦定理化间得，进而得，即可求解； （2）根据余弦定理，三角形面积公式，建立，的方程即可整体解除，从而得的周长． 【小问1详解】 因为向量，，且， 所以，由正弦定理可得， 又，所以，所以， 又为三角形的内角，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以，又， 所以，所以， 又面积为，所以， 所以，所以，解得（负根舍去）， 所以的周长为． 16. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ，曲线在点处的切线方程为， 则，则 【小问2详解】 当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 17. 某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）； （2）这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）； （3）该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值． 附：相关系数． 【答案】（1）该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意计算出样本均值以及方差、协方差的求和项，代入相关系数公式求出r，并结合给定的判断区间得出结论. （2）先利用全概率公式求出“使用者对结果不满意”的总概率，再利用条件概率公式逆向推导出在“不满意”前提下“实际正确执行”的概率. （3）根据独立事件乘法公式列出“挑战成功”的概率解析式，利用已知条件进行代数消元与换元将其转化为一元二次函数，由二次函数的性质即可求得最值. 【小问1详解】 由题意知，，， ， ，． 所以 所以该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强． 【小问2详解】 记事件：机器人正确执行命令；事件：使用者对执行结果满意，则 ，，，． 所以， 所以， 故如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，机器人实际正确执行命令的概率约为． 【小问3详解】 设事件：机器人挑战成功，则 ． 由，得 ．令， 因为，，所以，所以 设，当，即或时，． 所以当时，机器人挑战成功的概率的最大值为． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆于点，，且的周长为12． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于两点，求的周长的取值范围； （3）在轴上是否存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，有为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，定点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义，由的周长求得，结合求得，即可写出椭圆方程； （2）利用椭圆中心对称性转化周长，联立方程组得到弦长表达式，借助的范围得到弦长的范围，进而得到周长的取值范围； （3）设点和直线，联立方程组后用韦达定理化简，用含项系数比值恒定，解出的值，验证得定点即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得的周长为，解得， 当时，，解得，则，解得， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 作出符合题意的图形如图所示，连接，，，， 设的周长为，由题意得， 联立方程组，得， 由韦达定理得，， 由弦长公式得 ， 因为，所以，可得， 得到，即， 则，故， 即，则. 【小问3详解】 设，，，当直线不是轴时的方程为， 则，， 联立椭圆方程，整理得， 所以，， 又，， 所以 ， 所以当且仅当，即时，（定值）， 即在轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为，直线为轴时，， 此时， 当点的坐标为，直线为轴时，， 此时， 所以定点坐标为． 19. 已知数列，，…，为个数，，…，的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质P． （1）当时，判断数列：1，5，3，4，6，2和数列：6，5，2，4，1，3是否具有性质P（结论不需要证明）； （2）若数列和（，，…，）均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数m，数列，，…，不具有性质P； （3）在所有由，，…，的排列组成的数列中，记具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，证明：对于任意m（），． 【答案】（1）数列不具有性质，数列具有性质. （2）设等差数列的公差为，则， 由，，得，故公差. 若，则，不满足题意， 所以，因此，； 同理可得，， 故数列为. 即数列中奇数项均为奇数，偶数项均为偶数， 可知对任意，均有与两者中一个奇数一个偶数， 所以不可能为偶数， 故对于所有的偶数，数列不具有性质； （3）设数列为任意一个不具有性质的数列， 因为为的一个排列， 由任意，由， 若，则或，由， 数列中不可能同时存在两项满足题意的，使得， 假设与均不在数列，则，且， 故且推出矛盾， 故与二者中有且仅有一项在数列中. 由上分析可知对于首项，由数列不具有性质，则. 故在中有且仅有一项，使得.   在数列中，将项移到项的前面，其余项的顺序保持不变， 得到新数列， 新数列仍为的一个排列，且不同于原数列， 显然数列具有性质. 且任意一个与不同的不具有性质的数列，通过上述移动首项的方法都得不到数列. （由于操作可逆，假设某数列通过同样方法得到数列，则由逆向操作移回后必与数列相同） 由题意具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T， 结合数列为任意一个不具有性质的数列，由上述方法必可以对应构造一个符合题意的具有性质的数列，因此可得.                    又因为数列具有性质， 在集合中，存在当时，， 其中，故至少个元素，满足. 假设存在某不具有性质的数列，通过上述移动首项方法可得到数列， 则通过逆向操作，移回数列，则在集合中， 依然存在至少个元素，满足. 数列必具有性质，产生矛盾，故假设错误， 所以任何一个不具有性质的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列. 故. 综上可知，. 【解析】 【分析】（1）对数列中的每个数字进行验证； （2）由数列都是等差数列，可以得到，从而证明； （3）设数列为任意一个不具有性质的数列，通过构造一个数列项的平移方法，可得到具有性质的新数列，从而得到，再通过特例数列，说明这种构造方法之下，此数列具有性质，反向却得不到不具有性质的数列，从而可知即可证明. 【小问1详解】 数列不具有性质，数列具有性质.理由如下： 若数列具有性质， 则集合中至少有一个元素，使得， 验证：由， 可知任意相邻两项差的绝对值均不等于， 即不存在，使得，所以数列不具有性质. 对于数列，集合中存在元素时， 满足，所以数列具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三毕业班第一次质量检测数学试题 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式的第3项是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，这个数列的公比等于（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.每小题有多个选项是符合题意的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 曲线有三条过点的切线 10. 如图，在四棱台中，，平面，底面为正方形，则（ ） A. BD⊥平面 B. 该四棱台的体积为 C. 二面角的大小为 D. 四棱锥的外接球的球心在上 11. 如图在正方形中，圆以点为圆心且与相切，过定点的直线与线段相交于点，直线与圆相交于不同的两点，，且点在线段上，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 若，则的取值范围为． 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为__________． 13. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 14. 已知盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个红球，盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个白球，甲、乙两人分别从盒和盒中任意抽取小球，抽取的小球个数不限，且每人至少抽取一个，且两人的抽取结果相互独立，设为两人抽取的编号相同的小球个数，则的数学期望__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）； （2）这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）； （3）该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值． 附：相关系数． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆于点，，且的周长为12． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于两点，求的周长的取值范围； （3）在轴上是否存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，有为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列，，…，为个数，，…，的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质P． （1）当时，判断数列：1，5，3，4，6，2和数列：6，5，2，4，1，3是否具有性质P（结论不需要证明）； （2）若数列和（，，…，）均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数m，数列，，…，不具有性质P； （3）在所有由，，…，的排列组成的数列中，记具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，证明：对于任意m（），． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $