精品解析：福建省漳州市2025-2026学年高三上学期期末数学试题

2025-2026学年（上）期末高中教学质量检测 高三数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3. 在的展开式中常数项是（ ） A. B. 120 C. D. 20 4. 已知是等差数列，，，则，，， ，的第60百分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手打分的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 专业组的打分极差是13 B. 专业组的打分平均分高于观众组的打分平均分 C. 观众组的打分方差高于专业组的打分方差 D. 观众组的打分中去掉最高分和最低分后平均分变高 10. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点.过，，三点作平面，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 该正方体被平面截得的截面的面积为 11. 已知函数为非常数函数，对，，，则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线是曲线的切线，则_____. 13. 在中，角、、的对边分别为、、.若，，，是的中点，则_____. 14. 已知，是非零向量，是单位向量，且，，则的最小值是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，且满足. (1)求证为等比数列； (2)求数列的前项和. 16. 某公司举办抽奖活动，活动分为，两个项目，规则为：每位参与者先掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加项目抽奖；若掷出点数为3，4，5，6，则参加项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次，已知，两个项目中奖的概率分别为，，中奖者可获得价值200元的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券. （1）求每位参与者中奖的概率； （2）已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为元，求的分布列和期望. 17. 已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 18. 已知函数（，，）的部分图象如图1所示，，分别为图象的最高点和最低点，，是图象与轴的交点，是图象与轴的交点.现将绘有该图象的纸片沿着轴翻折成如图2所示的直二面角.翻折后，的面积为， （1）求纸片翻折后，线段的长度； （2）求函数的解析式； （3）求纸片翻折后，平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知函数. （1）若是增函数，求实数的取值范围； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）当时，对，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）期末高中教学质量检测 高三数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用交集和补集的概念求出答案. 【详解】由题可知，, 故由交集和补集的概念阴影部分表示的集合为. 故选：B. 2. 若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，结合纯虚数的定义求解. 【详解】复数，由为纯虚数，得， 所以. 故选：A 3. 在的展开式中常数项是（ ） A. B. 120 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，求得常数项时对应的，然后计算可得． 【详解】由题意展开式的通项为， 令，，所以常数项为． 故选：C． 4. 已知是等差数列，，，则，，， ，的第60百分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等差数列通项为，再由百分位数的计算方法得到第60百分位数是. 【详解】因为，所以， 设等差数列公差为，则，即，解得， 因此，等差数列通项为：， 因为，向上取整得到7， 所以第60百分位数是第七项，. 故选：C. 5. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点到双曲线渐近线的距离得出与的关系后解出离心率即可. 【详解】由双曲线的性质可得：焦点到渐近线的距离为， 结合题目条件可得， 由，即， 离心率. 故选：C 6. 若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用求得，再利用奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数所以，即 当时，， . 故选：A 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元法表示，再 由二倍角公式计算可得. 【详解】令，，， ， 由题可知，， 所以. 故选：C. 8. 某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图为半圆得，再计算圆锥的外接球半径即可求得表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆， 所以，即，故 所以圆锥的高为， 设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为， 如图，，，， 所以，即，解得 所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手打分的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 专业组的打分极差是13 B. 专业组的打分平均分高于观众组的打分平均分 C. 观众组的打分方差高于专业组的打分方差 D. 观众组的打分中去掉最高分和最低分后平均分变高 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据折线图分别利用极差、方差、平均数的定义依次分析求解即可. 【详解】由折线图可知，专业组最高分为55，最低分为42，则专业组的打分极差是13，故A正确； 由折线图可知，专业组打分除了第二人、第七人略高于观众组得分，其余均低于或等于观众组得分，分析得到专业组的打分平均分低于观众组的打分平均分，故B错误； 由折线图可知，观众组打分对比专业组打分更分散，由方差的定义得到观众组的打分方差高于专业组的打分方差，故C正确； 观众组最高分为72，最低分为36，最高分相对于平均分距离更近，最低分相对于平均分更远，所以观众组的打分中去掉最高分和最低分后平均分变高，故D正确； 故选：ACD. 10. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点.过，，三点作平面，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 该正方体被平面截得的截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，可求得平面的法向量为，平面的法向量为，利用向量法即可验证A正确；求得平面的一个法向量为，利用向量法即可验证B错误；利用空间中点到平面的距离公式即可得到点到平面的距离为 验证C正确；取 中点 ，利用向量法可以证明 为菱形，所以平面α截正方体的截面为菱形，即可验证D错误. 【详解】如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， ，则， 设平面的法向量为 ， 则，令， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 因为，所以平面平面，故选项A正确. 平面的一个法向量为， 计算，所以平面与平面不垂直，故选项B错误； ，所以点到平面的距离为，故C正确； 取 中点 连接 ，则，所以，， 所以，同理可得，所以为菱形， 所以平面α截正方体的截面为菱形， 因为 ， ， 所以截面的面积为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数为非常数函数，对，，，则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，利用赋值法，恒有成立，可得；B项，先证明任意，，再由关系代入，可得，进而得到，再由符号判断可得B选项；C项，由特殊函数举例可判断；D项，分别转化用表达，利用基本不等式应用可得. 【详解】A项，由，，， 可令，得， 即对任意恒成立， 因为函数为非常数函数， 所以，即，故A正确； B项，由，，, 假设存在，使得， 任意，，则由， 可得， 这与已知函数为非常数函数矛盾， 故任意，； 令，任意，则， 又；则由，可得， 可得， 令，则， 由A可知，，则， 由任意，，可知，则， 则任意，成立， 即任意，，故B项正确； C项，令， 任意，则， 且， 所以满足题意， 但是减函数，故C项错误； D项，由B项分析可知， 则， 由，可得， 则， 故， 当且仅当时等号成立，显然当时等号取到，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线是曲线的切线，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】设切点为，进而根据几何意义求得切点，再将切点坐标代入直线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，直线的斜率为， 所以，解得，代入曲线得，， 所以切点为，代入直线方程得，， 故答案为： 13. 在中，角、、的对边分别为、、.若，，，是的中点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的长. 【详解】因为，由正弦定理可得，故，又因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以 ，故. 故答案为：. 14. 已知，是非零向量，是单位向量，且，，则的最小值是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将向量夹角和模长条件分别转化为射线和圆，将向量差的最小值问题转换为几何上的点到曲线距离问题，利用点到直线的距离公式求出圆心到射线的距离，结合圆上点到直线的距离规律，通过比较半径得到最终的最小值. 【详解】设，由，可知的终点在从原点出发、与轴夹角为的射线上， 该射线为（），即， 对于，由得： 即的终点在以为圆心、半径的圆上， 表示射线上的点与圆上的点的距离， 问题转化为：求圆上的点到射线的最小距离， 令射线的方程：， 圆心到该直线的距离为： 代入验算，垂足坐标为，满足且在射线上，因此可用该距离公式， 由对称性可知当射线的方程为时，结果一样， 因为圆心到射线的距离大于圆的半径， 圆上点到射线的最小距离为 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，且满足. (1)求证为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【详解】试题分析： （1）由可得，两式相减后整理得，所以，由，从而可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）可得到，故 ，再用分组求和法可得数列的前项和． 试题解析： （1)证明：当时，， 解得. 因为① 所以② ①-②得： ， 整理得， 所以， 即， 又， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列. (2)由（1)知， 所以， 所以， 所以 ． 16. 某公司举办抽奖活动，活动分为，两个项目，规则为：每位参与者先掷一枚质地均匀的骰子一次，若掷出点数为1或2，则参加项目抽奖；若掷出点数为3，4，5，6，则参加项目抽奖.每位参与者仅抽奖一次，已知，两个项目中奖的概率分别为，，中奖者可获得价值200元的购物券，未中奖者可获得价值100元的购物券. （1）求每位参与者中奖的概率； （2）已知甲、乙、丙3人参加抽奖活动，记3人获得的购物券总价值为元，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） 300 400 500 600 . 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）首先求出的所有取值，然后根据二项分布的概率公式求出对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式即可求解. 【小问1详解】 设“参与者参加项目抽奖”，“参与者参加项目抽奖”， “参与者中奖”， 则，，，. 所以. 所以每位参与者中奖的概率为. 【小问2详解】 依题意得，的所有可能取值为300，400，500，600. ，， ，， 所以的分布列为 300 400 500 600 所以的期望. 17. 已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，法一：借助作差法推理得证；法二：借助作商法计算推理得证. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，由，得， 解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得， ，，， 而，则 ， 所以. 法二：直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得，， ，，， 而，则， ，所以 18. 已知函数（，，）的部分图象如图1所示，，分别为图象的最高点和最低点，，是图象与轴的交点，是图象与轴的交点.现将绘有该图象的纸片沿着轴翻折成如图2所示的直二面角.翻折后，的面积为， （1）求纸片翻折后，线段的长度； （2）求函数的解析式； （3）求纸片翻折后，平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)如图代入三角函数值计算分析即可； (2)由建立方程组计算可得； (3) 以，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，计算法向量后计算可得. 【小问1详解】 在图1中分别作轴，轴，垂足为和， 由三角函数的性质可知：，，所以， 在图2中，，， 所以， 所以， 解得，从而. 【小问2详解】 在图2中，平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以. 设函数最小正周期为， 在中，， 在中， 联立两式可得：，， 所以. 将代入得， 又，所以，所以. 【小问3详解】 由知，，，. 以为原点，以，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面法向量为，平面法向量， 由得 令，则，，故. 由得 令，则，，故. 因此. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）若是增函数，求实数的取值范围； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）当时，对，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 方法一：设，则有， 所以， 又因为的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，其图象关于原点中心对称.将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度可得到的图象， 所以曲线是关于点成中心对称的图形. 方法二：因为， 所以， 所以，. 因此，曲线上的点关于的对称点也在曲线上， 所以曲线是关于点成中心对称的图形. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调性，利用分离参变量，构造函数利用基本不等式求最值，即可求参数范围； （2）方法一是构造奇函数，再通过平移变换得到对称中心；方法二是证明恒等式，从而说明中心对称; （3）先利用中心对称性，再结合单调性，可以化不等式为，方法一是利用分类讨论，含参分析，来求参数范围，方法二是分离参变量，再利用求导判断单调性，最后要用到洛必达法则来求解，可得参数范围. 【小问1详解】 依题意，得， 因为是增函数，所以，即在上恒成立， 方法一：因为（当且仅当时等号成立）， 方法二：因为， （当且仅当时等号成立）， 所以， 经检验，当时，是增函数,所以实数的取值范围； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：不等式可化为， 由（2）知，， 当，时，，所以， 又是增函数，所以. 因此，对，恒成立. 令，则. 当时： ①若，则，又因为，所以，， 所以，，所以， 所以在单调递减，所以，所以符合题意. ②若，令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递减. 又，， 所以存在唯一，使得. 因此当时，，在上单调递增， 所以，所以对任意不恒成立， 所以不符合题意. 由①②可知，当时，若，恒成立. 当时，若，则恒成立. 综上所述，的取值范围为. 方法二：不等式可化为， 由（2）知，， 当，时，，所以， 又是增函数，所以. 因此，对，恒成立. 因为，，所以恒成立. 令，，则. 令，，则. 因为时，所以，所以， 所以在上单调递减. 因此，，所以，所以在上单调递减. 又因为，所以. 因此，，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $