福建省福州第一中学2025-2026学年第一学期第二学段考试高三数学试卷

福州一中2025一2026学年第一学期第二学段模块考试 高三数学学科试卷 (完卷120分钟满分150分) 班级 座号 姓名 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知集合4=xe2, B={xy=V3-x),则A∩B=() A.{2} B.{4) C.{2,3} D.3,4} 2.已知a,为非零向量，'则存在实数元，使a=场”是“a+引=+”的（) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.己知直线x+b(6∈R)为曲线y=了的一条切线，则（) Af=+1B.f=6 C,f(x)=In(2 D.f(x)=2+sinx 4.已知函数f(y为R上的奇函数，当x<0时，()=2-号，则f()小<0的解集为（) A.(-3,0U(0,3) B.（-3,3) C.（-0,-3)U(0,3) D.{-o,-3U(3,+o) 则m(a+引（) A. B.g c. D. 6.已知直线l:3x+4y+12=0及抛物线x2=8y上一动点M(xM,yM),记M到1的距 离为d,则yM+d的最小值为() A.√5-2 B.2 C.5 /D.4 试卷第1页，共4页 7.现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列 构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个 盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是() A.7千克 B.6千克 C.5千克 D.4千克 8.已知三棱锥D-ABC中，B=6,AC=3,BC=35,三棱锥D-ABC的体积为215 ，其 外接球的体积为，则动点D的轨迹长度为(） A.4π B.8元 C.9元 D.16m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.研究小组在一次实验中记录如下一组10个样本数据5,12,6,15,1,29,5,4,8,5，则下列说法 正确的有() A.这组数据的众数是5 B.这组数据的中位数是6 C.这组数据的第80百分位数是12 D.原数据中最左侧4个数据的方差比最右侧4个数据的方差大 10已知双曲线G苦y°=1与C,:少-千1，则（) A.C2的离心率大于C的离心率 B.动直线x-2y+m=0(meR)与C,C2的交点的个数之和为0或2 C.C,绕坐标原点顺时针旋转90°可得到C2 D.G的两条渐近线夹角的正切值为号 11,高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子”的称号，用其名字 命名的“高斯函数”为：设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x称为高斯函 数如[-35]=4，[3.5]=3.已知函数f:,)=cosx+osx,函数g(x)=[f(x)则下列说法中正确 的有() A.函数f(x)在区间(O,)上单调递增B.函数f(x)图象关于直线x=r(化∈Z)对称 C.函数g(x)的值域是{01,2} D.方程g(x)=x只有一个实数根 试卷第2页，共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 2.若复数：=产，则 13.有编号为1,2,3的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子若每个盒子中所放球 的个数不大于其编号，则不同的放法共有种 4.实数ab满足户e+2a=6+2h+1,ceR,则、a-e旷+6+的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.记△ABC的内角所对的4，B,C边分别为ab,c, 2acosA-bcosC=c. cosB (1)求A; (2)若bc=2,求△ABC外接圆面积的最小值. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是梯形， BC//AD,PC=27,AD=AB=2BC=4. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)若AB L AD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 试卷第3页，共4页 17.已知数列{a}的前n项和为Sn，S。=n2,数列{色}满足：b4=b,b42,且a2+1,a4+1分别为 数列{也}第二项和第三项. (1)求数列{a}与数列{}的通项公式， 32”-2 2)若数列6，(-l川60.-可，求频列仁}的前2n项和工 (3)当n21时，设集合Mn={色，+b32”<b,+b,<32,1≤1<j,ij∈N}),集合Mn中元素的个数 记为dn,直接写出数列{d,}的通项公式（不用说明理由）. 18.已知函数f(x)=(+1)e*-1(x≥0)，设f()在A,f()处的切线为直线1. (1)求直线！的方程： (2)若f(x)的图象在直线1的上方（除点A外）， ①求a的取值范围： ②证明：对于任意的正整数n, (i ≤时x)成立 ,已知椭圆C名+1的左、右焦点分捌为、乃，焦距为2，过点乃作直线交椭圆于 B两点，'△AFB的周长为4W5 (1)求椭圆C的方程： (2)直线2与l,垂直且与y轴交于点M(0,m),若∠AFM=∠BFM, ①证明：直线2过定点； ②记①中的定点为N,若△AMN与△BMN的面积之比为3，求m的值 P米体A石什A而 福州一中2025一2026学年第一学期第二学段模块考试 高三数学学科试卷答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C A B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD ABD BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 7 13.38 14.√2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) bcosC-2acosA (1)由 cosB 整理得：bcosC+ccosB=2 acos4, 由正弦定理，可得sinBcosC+sinCcosB=2sin4cosA, 即sinA=sin(B+C）=2 sinAcos4,…3分 因为sn4≠0，所以2cs4=1,即cos1= 1 又因为A∈(0，元)，所以A= 3 …6分 a a (2)由正弦定理，△ABC外接圆的半径r= 2sin4√3 要使外接圆的半径最小，只需☑最小，…8分 由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccos4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=2, 当组似当6-6-5时取等号，此时a-万，则。-6 …11分 3 2元 故△ABC外接圆面积的最小值为元》 …13分 3 16.(15分) (1)取AD中点O,连接OC,OP, 因为△PAD是等边三角形，又AD=4,所以OP=√4-22=23，OP⊥AD, 又BC∥AD,BC=2,所以BC=AO,所以四边形ABCO是平行四边形， 所以OC=AB=4,所以OC2+OP2=16+12=28=CP2,所以OP⊥OC, 又OC∩AD=O,OC,ADC平面ABCD,所以POL平面ABCD,…4分 又POC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…6分 (2)若AB⊥AD,由(1)可得OC⊥AD,所以OC,OD,OP两两垂直， 以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,-2,0),B(4,-2,0),C(4,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2N3), 则AB=(4,0,0),A亚=(0,2,2√3)，DC=(4,-2,0),DP=(0,-2,23), …7分 设设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), nAB=4x=0 则 nAP=2y+2√3z=0 令y=V5,则x=0,z=-1, 所以平面PAB的一个法向量为n=(0,√3，-I),… …10分 设平面PCD的一个法向量为m=(p,9,r), iDC=4p-29=0 则 DP=-2q+2v3r=0 令q=2W3,则p=V3,r=2, 所以平面PCD的一个法向量为m=(5,2V3,2),…13分 设平面PAB与平面PCD所成的角为O, cos0=lcos(m m 6-2 219 m:团√3+1x√3+12+4 …15分 19 17.(15分) (1)(1)Sn=n2(n∈W), 当n≥2时，a。=Sn-Sn1=n2-(n-1)=2n-1, …2分 当n=1时，4=S=1,满足上式，。 …3分 所以a=2n-1,所以6，=a:+1=4,6=4+1=8,则9 b32， 所以b=27；…6分 @重6ria 3.2”-2 (20-1(2-”-2k-LkeN 2-3.2 Cn= 2”-1217n=2k-1,k∈r 1 1 3.2”-2 (2-121m=2,ken 2-121-1n=2k,keN …9分 则Tn=G+6+G,+…c' 六小 1 =-1+ 22m+1-1 …12分 (3)集合M,中元素个数等价于满足32”<2+2<321的不同解(i,j)的个数， 若j<n+2,则2+2/≤2+2≤2”+21=32，与已知矛盾； 若j>n+2,则2+2/≥2+2+3>32+，与已知矛盾，所以，j=n+2, 又因为(2+22）-3.2”=2+2”>0， 所以，3.2”<2+2+2<22+2+2<…<2”+2+2<21+2+2=3.21， 即i=1、2、3、.、,共n个解(6，j),故dn=n.…l5分 (不用说明理由) 18.(17分) 解：(1)由题得，f'(x)=(ax+1+a)e*,所以f'(1)=(2a+1)e,f(1)=(a+1)e-1 所以f(x)在A1,f(1)处的切线1为y-(a+1)e+1=(2a+1)e(x-1), 即y=(2a+l)ex-ae-l… …3分 (2)①令g(x)=f(x)-(2a+1)ex-ae-1)=(ar+1)e-(2a+1)ex+ae 所以g(x)=(a+1+ae-(2a+1)e,g"(x)=(ax+2a+1)e (I)当a≥0时，g"(x)≥0，所以g(x)在[0，+o)上单调递增 又因为g(1)=0, 所以当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减： 当x∈(1，+o)时，g(x)>0,g(x)单调递增： 所以g(x)≥g(1)=0… …6分 (II)当a<0时，令h(x)=e-ex,H(x)=e-e 当x∈(0,1)时，H(x)<0,h(x)单调递减： 当x∈(1，+o)时，H(x)>0,h(x)单调递增： 所以h(x)≥h(1)=0,即e≥ex 取>子则有a+1<0,所以(a战1)e三(a-1ex,则有 g(x)≤(ax。+1)ex。-(2a+1)ex+ae=aex,2-2aex+ae=ae(x2-2x。+1)<0 与g(x)≥0矛盾，舍去… …9分（用极限说明给1分) 综上，a≥0 ②先证：H元∈(0,1]，f(x)≤f(x) 令F(x)=f(x)-f(x),则F'(x)=f'(x)-元f'(x)=[f'(x)-f'(x)] 当a≥0时，f"(x)=(ax+2a+1)e≥0，f'(x)在[0，+o）上单调递增 所以f'(x)<f'(x)，即F'(x)<0,F(x)在[O,+oo)上单调递减 所以F(x)≤F(O)=0,即对∈(0,1]，有f(x)≤f(x) 所以f）5f0.i=-1,22r1…1B分 所以定倒 1… -动 <1-x2+x4+… 21×21=n 因为f'(x)=(ac+l+a)e≥0 所以f(x)在[0，+o)上单调递增，f(x)≥f(0)=0 所以2：f(创≤f),艺/（}s时(7分 19.（17分) 解：(1)依题意得， 2c=2 c=1 (4a=4V2'所 (a=5 椭圆C倒方程为：兰)少2-13分 (2)①由题得，12斜率存在，从而1斜率不为零， 设：x=四y+1,A(x,h),B(x,2) 则FA=(x+1,y),FB=(x2+1,⅓2)，FM=(1,m) 因为∠AFM=∠BFM, FA·FM FB·FM 所以cos∠AFM=cos∠BFM,即 FARM FBFM …4分 +1+my=飞+1+my2 所以店1+好+山+ 因为(++-6++1-号号2+2-+2 22 同理（飞H)驴片-+2月 所以占+1+m生+1+my …6分 x+2 x2+2 即(x+1)(x2+2)+m%(x2+1)=(x+1)(x+2)+my2(:+1) x2+2x+2+my(ny2+3)=x+2x2+2+my2(y+3) 所以x-x,+3m(h-y2)=0 所以y-y2+3m(y-y2)=(n+3m)y-y2）=0 所以n+3m=0，m= …9分 3 因为l⊥l,所以直线：y=-x+m,即y=-nx+号 3 所以，恒过定点 …10分 ②设1，与1交于点P(x,) 因 S4L=3,所以 SABMN BP 设：x=y+1,A(,),B(,2),其中>0，y2<0 联立 g-